2025-2026学年广西玉林市九校高一下册期中质量监测数学试题 含解析

/数学总分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.2.若直线在平面内，则符号表示正确的是（）A. B. C. D.3.下列关于平面向量的说法正确的是（）A.若是共线的单位向量，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（）A. B. C.12 D.105.已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知向量，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.7.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形8.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，复数，，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.的虚部为-510.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则或3 D.若，则与的夹角为11.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.外接圆的面积为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，则__________.13.圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的____倍.14.已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.平面内给定两个向量，.（1）求的坐标；（2）若，且、、三点共线，求的值.16.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．（1）求圆柱的底面半径；（2）求三棱柱的体积．17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.（1）求两点间的距离；（2）求大楼的高度.18.在中，内角的对边分别为，且，.（1）求的大小；（2）若，求的面积；（3）求的最大值.19.三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为．（1）求证：；（2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（3）若，试判断的形状．

数学总分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据复数的定义判断即可.解答过程：复数的虚部为.故选：C.2.若直线在平面内，则符号表示正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：逐一分析选项，根据直线与平面不同位置关系的定义，判断每个选项对应的位置关系是否与题干“直线在平面内”一致解答过程：对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确；对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误；对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误；对于D：表示直线与平交于点，不符合题意，D错误.3.下列关于平面向量的说法正确的是（）A.若是共线的单位向量，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：B解析：思路：由共线向量、相等向量和数量积的概念逐项判断即可.解答过程：选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时，A错误；选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若，必有，B正确；选项C：时，两向量夹角为或，夹角为时，C错误；选项D：若是零向量，零向量与任意向量平行，此时与可以不平行，D错误.4.已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（）A. B. C.12 D.10答案：D解析：思路：求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得.解答过程：梯形中，，而，则梯形的高，因此梯形的面积，而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，所以原图形OABC的面积为.故选：D5.已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立，即可得.解答过程：如图，正方体中，，，平面为平面，其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的必要不充分条件.6.已知向量，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解答过程：向量在上的投影向量为.7.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案：B解析：思路：根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.解答过程：由几何意义知，对应向量在的角平分线上，由，即的角平分线与边垂直，所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.故选：B8.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解.解答过程：因为，，，由余弦定理得：，所以.因为，所以，又因为，所以为正三角形.则当为线段的中点时，，即取最小值，此时；又因为，，三点共线，所以，由平面向量基本定理，得，解得.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，复数，，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.的虚部为-5答案：BD解析：思路：求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D.解答过程：因为的共轭复数为，所以A错误；因为，，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以虚部为，所以D正确.10.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则或3 D.若，则与的夹角为答案：BCD解析：思路：由向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示，即可求解.解答过程：A：若，则，解得，故A错误；B：若，则，解得，故B正确；C：，令，解得或，故C正确；D：若，，，则，因为，所以，故D正确.11.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（）A. B.外接圆的面积为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为答案：BC解析：思路：A.利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解.解答过程：因为，由正弦定理得，因为，所以，则，即，故A错误；由正弦定理得外接圆的半径为，即，所以外接圆的面积为，故B正确；由余弦定理得，即，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确；由，得，则，当且仅当时，等号成立，所以三角形的周长为，故D错误，故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，则__________.答案：解析：思路：根据模长公式即可得解.解答过程：因为，则.故答案为.13.圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的____倍.答案：2解析：思路：根据圆锥的体积公式即可求解.解答过程：设圆锥的底面半径以及高分别为，则变化之后的半径和高分别为，则原来的体积为，变化后的体积为,故,故214.已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为______.答案：解析：思路：求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.解答过程：因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；，当时，取得最大值.过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，因为，，所以由余弦定理知，所以，易得.所以.因为，设内切球的半径为，则根据等体积法，有：，即，解之得，所以其内切球的表面积为故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.平面内给定两个向量，.（1）求的坐标；（2）若，且、、三点共线，求的值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得；（2）首先求出，的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.（1）因为，，所以，.（2）由题意可得，，，又、、三点共线，则可得，即，解得.16.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．（1）求圆柱的底面半径；（2）求三棱柱的体积．答案：（1）2；（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解.（2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解.（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得，所以圆柱的底面半径为2.（2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长，所以三棱柱的体积.17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.（1）求两点间的距离；（2）求大楼的高度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，利用正弦定理计算即可求解；（2）根据题意可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.（1）因为，在中，由正弦定理得，即，所以m，即AC两点的距离为m；（2）在中，因为，，所以，又，所以m，即大楼的高度为m.18.在中，内角的对边分别为，且，.（1）求的大小；（2）若，求的面积；（3）求的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得；（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值.（1）由正弦定理得：，又，，即，又，，，又，.（2）由余弦定理得：，解得：，.（3）由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，又，；，令，，则在上单调递增，，即，的最大值为.19.三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为．（1）求证：；（2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（3）若，试判断的形状．答案：（1）证明见解析；（2）存在，；（3）正三角形.解析：思路：（