2025-2026学年贵州黔南布依族苗族自治州都匀市都匀湘才学校高二下册5月期中数学试题 含解析

/数学2．本试卷共4页（分为试题和答题卡两部分）．满分150分．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.13.某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（）A.3种 B.4种 C.7种 D.12种4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A.10种 B.20种 C.25种 D.32种5.2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（）种.A.48 B.64 C.72 D.1206.如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（）A.48种 B.72种 C.64种 D.256种7.若，则（）A. B.C. D.8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（）A.可以组成18个不同的数B.可以组成8个奇数C.可以组成12个偶数D.若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数10.甲、乙、丙、丁四名大学生到A，B，C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是（）A.共有36种不同的安排方法B.若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法C.若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法D.若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法11.已知，则（）A. B. C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在点(0，1)处的切线方程为________．13.校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有______种．14.函数的单调递增区间是_____________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15.计算下列各式．（1）；（2）；（3）解方程.16.已知二项式.（1）求展开式的第4项；（2）求展开式中的有理项；（3）求展开式中的常数项.17.现在4本不同的书，按以下方式进行分配．（1）分成两堆，每堆2本，则有多少种分法；（2）分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法；（3）分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法；（4）分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法．18.（1）用0，1，2，3，4五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数；（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法；（3）有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程，从中选出4门安排在上午的四节课中，其中物理不安排在第一节和第四节，上午的课程共有多少种安排方法．19.已知函数fx（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数在区间−2，1（3）若时，单调递增，求的取值范围．

数学2．本试卷共4页（分为试题和答题卡两部分）．满分150分．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出集合后结合交集的定义可求.解答过程：，故，故选：D.2.已知，则（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：由复数除法即可求解.解答过程：因为，所以.故选：A.3.某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（）A.3种 B.4种 C.7种 D.12种答案：C解析：思路：利用分类计数原理求解即可.解答过程：选择课程的方法有2类：从类课程中选一门有3种不同的方法，从类课程中选1门有4种不同的方法，∴共有不同选法（种）．故选：C.4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A.10种 B.20种 C.25种 D.32种答案：D解析：思路：由分步乘法原理计算．解答过程：由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.故选：D5.2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（）种.A.48 B.64 C.72 D.120答案：C解析：思路：利用插空法和分步乘法计数原理即可求解.解答过程：根据题意，分两步进行：第一步：安排3名同学站成一排合影，不同的站法共种；第二步：安排2名老师，采用插空法，不同的站法共种；由分步乘法计数原理可得：不同的站法共种.故选：C6.如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（）A.48种 B.72种 C.64种 D.256种答案：A解析：思路：利用分步乘法原理求解即可解答过程：从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法；由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色，则D有2种颜色花卉摆放方法.故共有种绿化方案.故选：A7.若，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简即可一一判断.解答过程：因（*）对于A项，当时，代入（*）可得，故A项错误；对于B项，当时，代入（*）可得，故B项错误；对于C项，当时，代入（*）可得，则，故C项错误；对于D项，当时，代入（*）可得，则，故D项正确.故选：D.8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出将5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的社区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率．解答过程：将甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3、1、1或2、2、1，所以不同的分法种数为C5现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所在社区有人，需从另外人中选人与甲、乙同组，再将此人组和另外两个人组安排到三个社区，分法种数为C31A若甲、乙所在社区只有他们两人，需将剩余人分为一个人组和一个人组，再将这三组（甲、乙组，人组，人组）安排到三个社区，分法种数为C32A综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（）A.可以组成18个不同的数B.可以组成8个奇数C.可以组成12个偶数D.若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数答案：ABD解析：思路：A先排千位，再排其它三位；B、C分步分类计数求出奇数个数，即可得偶数个数即可判断；D分千位为3、千位、百位为1和2两种情况求个数，结合排列、组合数求四位数的个数.解答过程：A：千位的选法有，其它三位任意排有，故组成不同的数有个，正确；B：奇数个数：先把1或3安排到个位有种，则千位有种，其它数位有种，共有个，正确；C：由B知：偶数有个，错误；D：当千位为3，将1和2全排有种，作为整体与0全排有种，则有个；当千位、百位为1和2有种，再将0和3作全排有种，则有个；所以可以组成8个不同的数，正确.故选：ABD10.甲、乙、丙、丁四名大学生到A，B，C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是（）A.共有36种不同的安排方法B.若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法C.若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法D.若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法答案：ABC解析：解答过程：先将四人分为三组，人数为2,1,1，有种分法，分配到三家公司，有种分法，所以共有种不同的安排方法，故A正确；若C公司需要两名大学生，先选2人去C公司，有种；剩余2人必须分别去A和B，有种，共

种，故B正确；若甲不能安排在C公司，分类计算：第一类：C公司安排1人，甲不能去C，因此从剩余3人中选1人去C，共种选法；剩余3人分到A，B公司（每家至少1人），共有种安排，这类总方法.第二类：C公司安排2人，甲不能去C，因此从剩余3人中选2人去C，共种选法；剩余2人全排列到A，B公司，共种安排，这类总方法.总安排方法为种，因此C选项说法正确；甲，乙在同一家公司的安排方法有种，所以甲，乙不能在同一家公司的安排方法有种，故D错误.11.已知，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：移项可得，，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．解答过程：由题可得，，设，，所以，即函数在上递增，所以由可得：．对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误；对于B，易知函数在上递增，所以当时，，即，B正确；对于C，当时，若，则，C错误；对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D正确．故选：BD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在点(0，1)处的切线方程为________．答案：解析：思路：对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程．解答过程：解：，切线的斜率为则切线方程为，即故13.校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有______种．答案：解析：思路：先安排铅球工作，再安排其他两项工作进而求解.解答过程：依题意，分两步：①在甲乙之外人中任选人，承担铅球记录工作，有种情况；②在剩下的人中任选人，承担跳高和跳远记录工作，有种情况，则不同的安排方法有种故14.函数的单调递增区间是_____________．答案：##解析：思路：求导，令求解即可.解答过程：因为的定义域为，则，且，令，则，解得，所以函数的单调递增区间是.故四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）15.计算下列各式．（1）；（2）；（3）解方程.答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）由排列数的定义即可算得；（2）由排列数的定义即可算得，注意提取公因式约分；（3）组合数的性质可知可知或，由此解得.（1）由排列数的定义可得；（2）由排列数的定义可得；（3）由组合数的性质可知或，解得或，验证发现其满足，故原方程的解为或.16.已知二项式.（1）求展开式的第4项；（2）求展开式中的有理项；（3）求展开式中的常数项.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）令，即可求得展开式的第4项；（2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项；（3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项.（1）的二项展开式通项是：，当时，展开式的第4项为.（2）由（1）知的二项展开式通项是，有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且，解得，因此有理项分别为：，，，.（3）由（1）知的二项展开式通项是，常数项即为变量的指数为0的项，令，解得，因此常数项为.17.现在4本不同的书，按以下方式进行分配．（1）分成两堆，每堆2本，则有多少种分法；（2）分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法；（3）分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法；（4）分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法．答案：（1）（2）（3）（4）解析：思路：根据题意，结合分组、分配的解法，结合排列组合数的计算公式，即可求解．（1）由平均分组计算；（2）由不平均分组计算；（3）由平均分组分配计算（4）由不平均分组分配计算（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序，综上所述，不同分法的种数为．（2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况，由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为．（3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况，由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为．（4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况，由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为．18.（1）用0，1，2，3，4五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数；（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法；（3）有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程，从中选出4门安排在上午的四节课中，其中物理不安排在第一节和第四节，上午的课程共有多少种安排方法．答案：（1）36（2）150（3）240解析：解答过程：（1）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步从1，3中任取