2025-2026学年贵州省毕节市大方县高二下册期中质量监测数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知，则（）A.64 B.56 C.20 D.64.若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.5.过原点且与圆相切的直线的方程为（）A. B.C. D.6.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（）A. B.C. D.7.在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（）A. B. C. D.8.已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的图像关于直线对称B.函数的图像关于点对称C.将的图像向右平移个单位，得到函数的图像D.若，则是的整数倍11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数图象的对称中心为，则下列结论正确的是（）A.B.C.方程有三个根D.若关于的方程在区间上有两解，则或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.等比数列满足，，则______.13.某高校将名学生分配到所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有______种.14.一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，，，，则四边形的面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在数列中，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．16.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．17.如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，①证明：平面平面；②求直线与平面所成角的正弦值.18.已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2．（1）求双曲线的方程；（2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴；（3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据一元二次不等式求集合N，再根据交集运算求解.解答过程：因为或，所以.故选：D.2.复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数的模长计算公式与复数的除法运算计算即可.解答过程：．3.已知，则（）A.64 B.56 C.20 D.6答案：B解析：解答过程：因为，所以由组合数性质得，所以.4.若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.答案：C解析：思路：根据抛物线写出准线方程，结合抛物线的性质确定点到抛物线的准线的距离.解答过程：由题设，而抛物线的准线为，所以点到抛物线的准线的距离为.故选：C5.过原点且与圆相切的直线的方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解.解答过程：圆的圆心是，半径为.直线过原点，且斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立；当斜率存在时，设直线方程为：，即，圆心到直线的距离为，解得，即，即.故选：C6.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由图象可知，是奇函数，且，选项A：，，不符合；选项B：，导数是奇函数，且，符合；选项C：，定义域为R，且，所以是偶函数，不符合；选项D：，在上恒大于0，不符合．7.在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用垂直的数量积为0与余弦定理求解即可.解答过程：因为,所以,即,所以因为,故故选：B．方法提示：本题主要考查了向量垂直与数量积的运用以及余弦定理求角度的问题,属于基础题型.8.已知表面积为的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由已知得球的半径，作出圆台的轴截面，求出圆台的上、下底面半径，由圆台的体积公式即可得解．解答过程：设球的半径为，由，解得．作出圆台的轴截面，如图，设，则，由相切的性质可知，，易知，分别是，的平分线，即，，又，所以，所以，所以，又，则，所以，即，所以，所以，解得（负值已舍去），所以该圆台的体积为，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.答案：ACD解析：思路：利用赋值法和二项式系数性质分别计算判断.解答过程：令，得，故A正确；，故B错误；令，得，又，所以，故C正确；令，得，所以，故D正确.故选：ACD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的图像关于直线对称B.函数的图像关于点对称C.将的图像向右平移个单位，得到函数的图像D.若，则是的整数倍答案：AD解析：思路：利用辅助角公式进行化简，利用对称性，图像变换关系分别进行判断即可得到结论．解答过程：，由，，得，即，，当时，，即函数的图像关于直线对称，A正确，当时，，此时，即函数的图像不关于点对称，故错误，将的图像向右平移个单位，得到，故得不到的图像，故错误，，得，即，则，则，得，则，，即是的整数倍，故正确，故选：．11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数图象的对称中心为，则下列结论正确的是（）A.B.C.方程有三个根D.若关于的方程在区间上有两解，则或答案：ABC解析：思路：对函数求导，根据题意得到方程，从而得到的值，然后根据导数得到函数的单调性，从而判断根的个数，得到答案.解答过程：对于A，B，的对称中心为，由，可得，，所以，即，解得，故A、B正确；对于C，因为，，当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，则的图象如图所示：由图可知与有且仅有3个交点，所以方程有三个根，故C正确；对于D，，若关于的方程在区间上有两解，即与在区间上有两个交点，则，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.等比数列满足，，则______.答案：112解析：解答过程：由题意知，解得，故.13.某高校将名学生分配到所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有______种.答案：解析：解答过程：首先把名学生安排在同一所中学实习，分配方案有种，再把剩下的学生分配到剩下的中学，分配方案有种，由分步乘法计数原理得分配方案有种.14.一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，，，，则四边形的面积为______.答案：25.6解析：思路：根据题意得到椭圆的方程，然后利用面积公式即可求解.解答过程：设椭圆的方程为，由题意知，其中，令，代入椭圆方程得，所以，又，所以，结合，所以，，所以，所以四边形的面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在数列中，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）可知数列为等差数列，即可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减方法求和即可.（1）因为；即，所以数列为等差数列.又因为可列，即.所以.（2）数列的通项公式为...两式相减得.化简整理得.16.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质可求的值.（2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可.（3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求.（1）由题意.（2）因为评分在的频率为：，评分在的频率为.所以评分的第分位数在，由.所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为.（3）受访职工中评分在的人数为：人，设为，受访职工中评分在的人数为：人，设为，从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.2人评分都在的结果有：，，，共3个.所以此2人评分都在的概率为.17.如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，①证明：平面平面；②求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）①证明见解析；②解析：思路：（1）取中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可.（2）①根据线面垂直的判定定理先证平面，再由面面垂直判定定理证明即可；②根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.（1）证明：取中点为，连接，，∵，分别为，的中点，∴，.又四边形为正方形，∴，，又∵为的中点，∴，，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.（2）①证明：∵，，为的中点，∴，∵底面，∴，又，，∴平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面.②解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，，设平面的法向量为，则即令，则，设直线与平面所成角为，则.18.已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2．（1）求双曲线的方程；（2）已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．答案：（1）（2）证明见解析，解析：思路：（1）根据双曲线的性质，结合已知条件求出，进而求出双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和判别式构造方程，进而求出直线方程，证明结论．（1）双曲线：的一条渐近线为：，，即，右焦点到直线的距离为，解得，由，即，得，故，双曲线的方程为．（2）证明：由题得，设，，设的方程为，联立消去并化简得，，即，且，，，，即，化简得，解得或，且均满足，当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾；当时，直线的方程为，过定点，综上，直线过定点，且定点的坐标为．19.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴；（3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．答案：（1）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明见解析（3）．解析：思路：（1）先求出导函数，再根据导数的正负得出单调区间；