2025-2026学年贵州省黔南州长顺县民族高级中学等校高二下册5月素养训练数学试题 含解析

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列满足，则（）A.2 B.0 C. D.12.若函数，则的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.3.函数的极小值为（）A. B. C.1 D.24.某次数学竞赛中有3名男同学和2名女同学获得外出参加比赛的资格，现从中选出2名同学担任正、副组长，选出的同学中至少有1名女同学的方案数为（）A.12 B.14 C.20 D.85.随机变量，则（）A. B.C. D.6.袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（）A. B. C. D.7.若抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.168.已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.若数列为等差数列，则数列为等差数列B.若数列为等差数列，则为等比数列C.若数列为等比数列，则为等比数列D.若数列为等差数列，则为等差数列10.如下图，这是杨辉三角．结合杨辉三角，下列结论成立的是（）A. B.C. D.11.事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（）A.事件A，B相互独立 B.若，则恒成立C.若，则 D.P(A三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，若，则________．13.一组数据的方差为2，则的方差为________．14.在棱长为1的正方体内放置两个半径相同的铁球，则铁球的最大半径为________．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机选择一家食堂就餐，若他第一天去甲食堂，则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率为0.6．（1）求小张第二天去乙食堂的概率；（2）若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率．16.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面，且，点E满足．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.已知函数f(x)=（1）讨论的单调性；（2）当时，求在[1,e]上的最小值．18.设椭圆的离心率，且点在C上．（1）求C的方程；（2）过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值．19.不透明的盒子中装有除颜色不同外其他均相同的4个红球和3个白球．按如下规则进行操作：从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则将该球放回盒子中并摇匀；若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补1个红球放入盒子中并摇匀．记操作n次后，盒子中红球的个数为，操作了n次，摸到白球的次数为．（1）求．（2）求．（3）假若规则修改如下：若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补个红球放入盒子中并摇匀，其余规则不变．记操作n次后，盒子中红球的个数为，若，，求的取值范围．参考公式：对任意X，Y，恒有．数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列满足，则（）A.2 B.0 C. D.1答案：C解析：解答过程：由递推公式，将代入，得a2=2.若函数，则的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：将函数求导得，则切线的斜率，又，则切线方程为，即．3.函数的极小值为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：解答过程：，当或时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为．4.某次数学竞赛中有3名男同学和2名女同学获得外出参加比赛的资格，现从中选出2名同学担任正、副组长，选出的同学中至少有1名女同学的方案数为（）A.12 B.14 C.20 D.8答案：B解析：解答过程：若选1名女生和1名男生，则有N1若选2名女生，则有N2=A5.随机变量，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：由正态密度曲线知，故A错误．由正态密度曲线的对称轴方程为，可知P(ξ因P(因P(6.袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和2个黑球．从袋中每次随机取1个球，有放回地取3次，设取出红球的个数为X；从袋中每次随机取1个球，无放回地取3次，设取出红球的个数为Y．下列说法不正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题可知，服从超几何分布Y∼H(5,3,3)所以P(X=1)=，，所以A，B，C均正确，D错误．7.若抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.16答案：C解析：思路：方法一：设直线的方程为，，再结合焦半径公式，韦达定理得即可求得答案；方法二：设直线AB的倾斜角为，进而得，，再结合三角函数性质即可求得答案.解答过程：方法一：由题意知，抛物线的焦点为，设直线的方程为，，联立方程得，故，由焦半径公式得，所以|AF=m2−4所以的最小值为.方法二：设直线AB的倾斜角为，由抛物线的定义可知|AF|BF所以|AF所以的最小值为.8.已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D.解答过程：易知点M(cosα对于A，B，圆心O到直线的距离为−2k2则dmax=−2所以或5取不到，因此A，B均错误；对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离dmax=−2即21+k2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.若数列为等差数列，则数列为等差数列B.若数列为等差数列，则为等比数列C.若数列为等比数列，则为等比数列D.若数列为等差数列，则为等差数列答案：ABD解析：解答过程：对于A，设的公差为d，则Snn由（常数）可得数列为等差数列，故A正确；对于B，数列为等差数列，设其公差为d，，则（常数），则（常数），所以数列为等比数列，故B正确；对于C，数列若取，则，，，故不是等比数列，故C错误；对于D，设的公差为d，因，S2n可知是以为首项，为公差的等差数列，故D正确.10.如下图，这是杨辉三角．结合杨辉三角，下列结论成立的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用组合数公式，结合裂项法求和推理判断ABD；利用二项式定理求出指定项系数判断C.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，而的展开式中含项的系数为，的展开式中含项的系数为，因此，C正确；对于D，当时，，即，因此，D正确.11.事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（）A.事件A，B相互独立 B.若，则恒成立C.若，则 D.答案：BCD解析：思路：设事件AB,AB,AB,AB的概率分别为a，b，c，d，得到，且，由P(B|A)+P(A|B)=1，得，再由得，进而bc=125，．对于A，由事件A，B相互独立，与d是可变数不符；对于B，即可判断；对于C，由解答过程：样本空间Ω=AB+设事件AB,AB,AB,AB的概率分别为a，b用表格表示如下：

B合计Aabcd合计由P(B|A)+由，得，所以bc=125，b对于A，由，即，化简得b+c=1−2a=而事实上d只要满足bc=125，即可，即对于B，若，则ba+所以，则P(A对于C，若PAB=310而=(对于D，因为b+c=1−所以PA三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，若，则________．答案：解析：解答过程：因为，所以，即1×(−1)+2×1+(−1)×λ解得，则|b|=13.一组数据的方差为2，则的方差为________．答案：8解析：解答过程：记的方差为，由方差的性质知的方差为．14.在棱长为1的正方体内放置两个半径相同的铁球，则铁球的最大半径为________．答案：解析：思路：根据题意，要使铁球半径最大，可将铁球的球心置于平面（或平面）内，且其中一个铁球与该正方体的上底面、前侧面、左侧切，另一个铁球与该正方体的下底面、右侧面、后侧切，作出轴截面图，利用建立方程，计算即得答案.解答过程：如图，正方体的棱长为1，要使铁球半径最大，可将铁球的球心置于平面（或平面）内，且其中一个铁球与该正方体的上底面、前侧面、左侧切，另一个铁球与该正方体的下底面、右侧面、后侧切．取平面内的轴截面，问题等价于内有两个半径相等的圆M，N内切于矩形的边AC,C1A且圆心M，N到边的距离均为，在中，|MN|2=|即(2r)2=(1−2又因为1−2r>0,2−22四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某单位有甲、乙两家食堂，员工小张第一天随机选择一家食堂就餐，若他第一天去甲食堂，则他第二天去乙食堂的概率为0.8；若他第一天去乙食堂，则他第二天去甲食堂的概率为0.6．（1）求小张第二天去乙食堂的概率；（2）若小张第二天去了乙食堂，求他第一天去甲食堂的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据已知条件和条件概率性质求P(B2（2）利用贝叶斯公式求解P(（1）设事件“第i天去甲食堂”，“第i天去乙食堂”，，由题意得，P(所以P(由全概率公式得小张第二天去乙食堂的概率为：P(（2）由（1）可知P(则他第一天去甲食堂概率为P(16.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面，且，点E满足．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）线线平行证明线面平行；（2）空间向量法求面面角余弦值.（1）证明：如图1，连接，交于点，连接．因为，所以E为的中点．又因为F为的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）如图2，建立空间直角坐标系．不妨设，则，，，，设平面的法向量为，则，即，取，得．易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17.已知函数（）．（1）讨论的单调性；（2）当时，求在上的最小值．答案：（1）答案见解析（2）f(思路：（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可.（2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值.（1）由题意可得：的定义域是，且f'(x令，则或,①当时，若或，则，若，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，②当时，因为，所以在上单调递增，③当时，若或，则，若，则，所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由（1）可得：在上单调递减，所以，①当时，在[a,e]上单调递增，在所以在处取得最小值，为f(a)=②当时，在上单调递减，所以在处取得最小值，为f(e)=综上，f(18.设椭圆的离心率，且点在C上．（1）求C的方程；（2）过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据椭圆上一点坐标、离心率以及椭圆中的关系来确定椭圆方程中的参数和.（2）先根据三角形面积公式得出面积与的关系，再通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出，最后通过换元法结合函数单调性求出面积的最大值.（1）由题意得点在椭圆上，所以02a2即1b2=1又因为，所以，即c=63又因为c2=a即23a2所以C的方程为．（2）设过的直线方程为，，则

的面积为：S=1又因为∣OM∣=联立直线与椭圆方程可得：x=my+1由韦达定理得：y1所以∣y1−令t=m2+2(则函数在单调递增，最小值为f(2)=因此Smax=33219.不透明的盒子中装有除颜色不同外其他均相同的4个红球和3个白球．按如下规则进行操作：从盒子中随机摸出1个球，若摸到红球，则将该球放回盒子中并摇匀；若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补1个红球放入盒子中并摇匀．记操作n次后，盒子中红球的个数为，操作了n次，摸到白球的次数为．（1）求．（2）求．（3）假若规则修改如下：若摸到白球，则将该球取出不再放回盒子中，同时补个红球放入盒子中并摇匀，其余规则不变．记操作n次后，盒子中红球的个数为，若，，求的取值范围．参考公式：对任意X，Y，恒有．答案：（1）（2），（3）m