2025-2026学年贵州松桃民族中学高二下册期中素养训练数学试题 含解析

/数学一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知是函数的导函数，若，则（）A. B. C. D.3.已知数列是等差数列，，则（）A. B.40 C.80 D.4.从松桃民族中学高二年级的20个班中选出两个班分别参加3月12日早上和下午的植树节活动，共有多少种不同的选法？（）A.420种 B.380种 C.190种 D.400种5.点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.等比数列中，，，则（）A.4 B.5 C.6 D.77.截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况数为（）A.222 B.175 C.55 D.1458.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现规律．我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》一书中出现了这个表，我们称之为杨辉三角，如下左图所示：杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如上右图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.关于的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式中共有9项B.第3项为C.各项系数的和为256D.二项式系数的最大值为7010.已知直线，圆的方程为，则下列表述正确的是（）A.当实数变化时，直线恒过定点B.当直线与直线平行时，则两条直线的距离为C.当时，圆关于直线对称D.当时，直线与圆没有公共点11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若为的极小值点，则的取值范围为B.不存在，使得在上有且仅有一个零点C.当时，过点存在两条直线与曲线相切D.存在，使得三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．12.已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________．13.在的展开式中，含的项的系数是__________.14.已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是______四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若，，求：（1）的单调递减区间；（2）在上的最小值和最大值、极值．16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．（1）证明：平面；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上单调递增，求的值；（3）若存在极小值点且，求的取值范围．19.椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点.（1）求E的方程；（2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比；（3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

数学一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果.解答过程：因为，则，故的虚部为.2.已知是函数的导函数，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，，得.3.已知数列是等差数列，，则（）A. B.40 C.80 D.答案：C解析：解答过程：因为，并且数列是等差数列，所以，又因为，所以可得，，所以公差，所以，所以4.从松桃民族中学高二年级的20个班中选出两个班分别参加3月12日早上和下午的植树节活动，共有多少种不同的选法？（）A.420种 B.380种 C.190种 D.400种答案：B解析：解答过程：由题意，共有种不同的选法．5.点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：由抛物线的定义可得，所以.6.等比数列中，，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：A解析：解答过程：因为为等比数列，所以，解得或，因为等比数列，所以，则，所以，设公比为，则，所以．7.截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况数为（）A.222 B.175 C.55 D.145答案：D解析：思路：需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和.解答过程：若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种，若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种，故满足条件的所有不同情况共有种.8.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现规律．我国南宋数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》一书中出现了这个表，我们称之为杨辉三角，如下左图所示：杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如上右图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，新的三角数阵中第行的和为：，即，然后两边求导，赋值代入计算，即可得到结果.解答过程：新的三角数阵中第行的和为：，设，，两边求导得，，令得，，所以新的三角数阵中第行的和为.故选：B二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.关于的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式中共有9项B.第3项为C.各项系数的和为256D.二项式系数的最大值为70答案：ABD解析：解答过程：对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确；对于B，第3项为，故B正确；对于C，令，得各项系数的和为，故C错误；对于D，二项式系数的最大值为，故D正确.10.已知直线，圆的方程为，则下列表述正确的是（）A.当实数变化时，直线恒过定点B.当直线与直线平行时，则两条直线的距离为C.当时，圆关于直线对称D.当时，直线与圆没有公共点答案：ACD解析：思路：选项A，将直线化成，即可判断出结果的正误；选项B，根据选项条件得直线方程为：，再利用平行线间的距离公式，即可求解；选项C，根据条件，得出直线过圆心，即可判断出选项C的正误；选项D，求出圆心到直线的距离，再利用直线与圆的位置作出判断，即可得出结果.解答过程：对于选项A，由直线的方程，可化为，直线恒经过定点，故选项A正确，对于选项B，因直线与平行，所以，则直线方程为：，则两条直线的距离为，故选项B错误，对于选项C，圆的方程为，则圆的标准方程为，所以圆心，当，即时，直线经过圆心，所以圆关于直线对称，故选项C正确，对于选项D，当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线与圆没有公共点，故选项D正确，故选：ACD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若为的极小值点，则的取值范围为B.不存在，使得在上有且仅有一个零点C.当时，过点存在两条直线与曲线相切D.存在，使得答案：AD解析：思路：求出函数的导数并分类求出单调区间及极值判断AB；求出过点的切线方程并确定解的情况判断C；赋值求出判断D.解答过程：函数的定义域为，求导得，当时，由，得，由，得或，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得，由，得或，函数在上单调递减，在上单调递增，对于A，由为的极小值点，得，A正确；对于B，当时，函数在处取得极小值，解得，即当时，函数在上有且仅有一个零点，B错误；对于C，当时，，，设切点坐标为，切线方程为，由切线过点，得，令，求导得，当时，，当或时，，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极大值，在时，取得极小值，而，则函数的图象与轴有3个交点，即方程有3个不等实根，因此过点有三条直线与曲线相切，C错误；对于D，令，，则，令，得到，因此存在，使得，D正确.三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．12.已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________．答案：2解析：思路：根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解．解答过程：由题得，，解得．13.在的展开式中，含的项的系数是__________.答案：16解析：解答过程：易知含的项为，因此其系数为16.14.已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是______答案：解析：思路：先借助偶函数对称性，将全定义域零点问题转化为单侧（如）分析，把变形为“参数=函数”，转化为直线与构造函数的交点问题，再求构造函数的导数，分析其单调性、极值、极限趋势，最后结合构造函数的图像走势，确定参数使单侧有对应交点数，得到范围.解答过程：，，故关于轴对称，又，且恰有4个零点，所以当时，恰有2个零点，当时，恰有2个零点，当时，，，时，，当且时，即有2个解，令且，，则，解得或，所以或时，，单调递减，时，，单调递增，，，故函数图象如下：故时，有2个交点，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若，，求：（1）的单调递减区间；（2）在上的最小值和最大值、极值．答案：（1）（2）在上的最小值为，最大值为，极小值为.解析：思路：（1）对函数求导，进而确定函数的单调递减区间.（2）先确定函数在的单调性和极值点，进而确定最值和极值.（1）对函数求导得，当时，；当或时，；所以的单调递减区间为.（2）由（1）可知，当时，；当或时，；因为，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，无极大值.又.所以在上的最小值为，最大值为.16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，即可得出的值；（2）令，可得出的值；（3）解法一；设，分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，再结合赋值法可求得所求代数式的值；解法二：设，结合展开式通项可得，则，结合赋值法可得结果.（1）展开式通项为，令，可得.（2）令，则.（3）解法一：设，展开式通项为，则，当为偶数时，；当为奇数时，.所以，；解法二：的展开式通项为，则，设，的展开式通项为，则，所以，.17.在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．（1）证明：平面；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用中位线平行和平行四边形对边平行来证明线面平行；（2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值.（1）证明：取中点，连接，如下图所示：为的中点，，又四边形为平行四边形，又平面，平面，平面．（2）当时，，平面，平面，又平面，平面平面，以为原点，所在直线分别为轴、轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设是平面的一个法向量，则令，则，设是平面的一个法向量，则令，则，,因此平面与平面夹角的余弦值为．18.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上单调递增，求的值；（3）若存在极小值点且，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点求出方程即可.（2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值.（3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再解不等式即可.（1）当时，曲线在处的切线方程为，即.（2）设，则.①时，在上单调递增.当时，单调递减；当时，单调递增，不符合题意.②时，令，得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，故设，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则.当且仅当时，即时，在上单调递增，综上，（3）由(2)知，当时，存在极小值点且，不符合题意.当时，在上单调递增，不存在极小值点，不符合题意.当且时，，又当时，；当时，.当时，此时，且，结合（2）中单调性和零点存在性定理知有且仅有两个零点使得，且，又因为，则，，当时，