2025-2026学年贵州镇宁民族中学高一下册素养训练数学试题 含解析

/数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.2.已知复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（）A. B. C. D.4.如图，这是水平放置的的直观图，其中1，则在中，下列结论正确的是（）A. B.C. D.的面积为45.已知向量，，，若，则（）A.2 B.1 C. D.6.如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（）A. B. C. D.7.在中，角，，的对边分别是，，，若向量，，且，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形8.在中，，，，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法不正确的是（）A.共线向量一定是在同一条直线上的向量B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.若，则与的夹角为钝角D.若，则“”是“”的充要条件10.下列命题正确的是（）A.正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形B.经过圆台侧面一点，有无数条母线C.侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥11.在中，角，，的对边分别是，，，且，，则下列结论正确的是（）A.若，则有两解B.的面积有最大值C.的周长有最大值12D.若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数，则_______.13.在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______．14.在中，在边上，平分，若，，，则_______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在平行四边形中，．设，．（1）用表示，；（2）若，证明：，，三点共线．16.如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米．（1）求该漏斗的表面积和体积；（2）若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长．17.如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．（1）求的长；（2）求的值．18.在中，角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，，，求的长；（3）若为锐角三角形，且，求的取值范围．19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．已知点，，，为线段的中点，是直线与直线的交点．（1）求cosOE（2）求向量的坐标．（3）设，点在线段上，是否存在实数，使得不等式x2+y2−λx

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：．2.已知复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：求出，即可得答案.解答过程：因为，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．3.在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求，再利用正弦定理求解即可.解答过程：因为，，所以．由正弦定理，得．4.如图，这是水平放置的的直观图，其中1，则在中，下列结论正确的是（）A. B.C. D.的面积为4答案：B解析：思路：将水平放置的的直观图还原，再逐一判断即可.解答过程：将水平放置的的直观图还原，如图所示：可知，，且，，故A错误；由勾股定理得，则，故B正确；因为，所以C错误；的面积为，故D错误．5.已知向量，，，若，则（）A.2 B.1 C. D.答案：A解析：思路：根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.解答过程：由向量，，可得，又由，且，可得，解得.6.如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设正方体的棱长为，求得正方体的体积是，结合间接法，求得正三棱锥的体积为，进而得到正三棱锥的体积与正方体的体积之比.解答过程：设正方体的棱长为，可得该正方体的体积是，由三棱锥的体积为正三棱锥的体积为V2=所以正三棱锥的体积与正方体的体积之比为.7.在中，角，，的对边分别是，，，若向量，，且，则的形状一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：D解析：思路：使用正弦定理边化角求解.解答过程：因为，所以，由正弦定理得，，代入上式，化简得，即sinB−故或．当时，，所以，此时是直角三角形；当时，，又，，所以或（舍去），此时为等腰三角形．综上，的形状一定是等腰或直角三角形．8.在中，，，，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，得到是的中点，点是上靠近的三等分点，由，得到，结合向量的夹角公式，求得，即可求解.解答过程：因为，所以是的中点，又因为，所以是上靠近的三等分点，所以，因为，且，所以，化简得，可得，当且仅当时，等号成立，又因为，所以．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法不正确的是（）A.共线向量一定是在同一条直线上的向量B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C.若，则与的夹角为钝角D.若，则“”是“”的充要条件答案：ABC解析：解答过程：对于A，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故A错误；对于B，向量不能比较大小，故B错误；对于C，当时，与的夹角为或钝角，故C错误；对于D，因为，所以，反之当，且时，，故D正确．10.下列命题正确的是（）A.正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形B.经过圆台侧面一点，有无数条母线C.侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥答案：AC解析：解答过程：对于A，由正三棱锥的定义与性质知，正三棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故A正确；对于B，经过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故B错误；对于C，三棱柱的侧面是矩形，说明它是直棱柱，这些矩形又全等，底面就是正三角形，所以此三棱柱为正三棱柱，故C正确；对于D，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故D错误.11.在中，角，，的对边分别是，，，且，，则下列结论正确的是（）A.若，则有两解B.的面积有最大值C.的周长有最大值12D.若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为答案：ABD解析：思路：对于A，根据判断即可；对于BCD，均可先由正弦定理边化角得，，再依次由、、结合三角恒等变换公式以及三角函数值的范围即可研究面积、高和周长的取值范围.解答过程：对于A，由正弦定理得，所以bsinA=3<对于B，由正弦定理，得，，所以bc=64=16sin又，所以，所以sin2B−所以bc=32所以S△所以的面积有最大值，故B正确．对于C，由选项B得的周长为a+b=4+8=4+又，所以B+π12∈故的周长有最大值4+46+对于D，因为，，所以对于边上的高，角或角为钝角的情况是等价的，不妨令角为钝角．因为，所以由选项B有AD=由是钝角三角形，，得，所以2B−π所以AD∈0,43则边上的高的取值范围为，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数，则_______.答案：解析：思路：根据复数模的公式求解即可.解答过程：因为，所以．13.在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______．答案：解析：解答过程：在三棱锥中，，则，，两两垂直，三棱锥与以，，为棱的长方体有相同的外接球，因此球的半径，所以球的表面积为．14.在中，在边上，平分，若，，，则_______．答案：解析：思路：根据题意，利用，列出方程，求得，得到，求得，结合勾股定理，即可求解．解答过程：因为平分，所以，令，则，且，因为，，，可得，可得，所以，因为，可得，所以，则．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在平行四边形中，．设，．（1）用表示，；（2）若，证明：，，三点共线．答案：（1），（2）证明见解析解析：思路：（1）由向量的减法及线性运算求解即可；（2）由向量的线性运算可得AF⃗（1）由平行四边形，得．又，所以，所以．（2）由（1）得，又AF=3所以AF⃗又，有公共点，所以，，三点共线．16.如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米．（1）求该漏斗的表面积和体积；（2）若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据题意，根据面积公式，求得该漏斗的表面积，再由漏斗锥体部分的高米，结合体积公式，即可求解；（2）将漏斗表面展开，过点作，连接，在直角中，结合勾股定理，即可求解.（1）由题意得，该漏斗的表面积（平方米）．其中漏斗锥体部分的高米，所以该漏斗的体积（立方米）．（2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径，过点作，交的延长线于点，连接，则米，米．在直角中，可得（米），所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）．17.如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．（1）求的长；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，求得，在中，利用正弦定理，即可求解；（2）根据题意，得到为等腰三角形，在中，利用余弦定理，即可求解.（1）解：由题意知，在中，，，，则，在中，由正弦定理，可得，则．（2）解：在中，，所以为等腰三角形，所以．在中，由余弦定理得，即，所以．18.在中，角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，，，求的长；（3）若为锐角三角形，且，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，由正弦定理化简得，结合余弦定理，求得，即可求解；（2）根据题意，得到，结合向量数量积的运算律，即可求解；（3）根据题意，求得，得到，设，得到，利用正弦定理化简得到，结合正切函数和的性质，即可求解.（1）解：因为a+由正弦定理得，整理得，又由余弦定理得，因为，所以．（2）解：由，可得AM−AB=3AC则AM，所以AM=1034，即的长为（3）解：由为锐角三角形，可得且，解得，因为，设，所以，由正弦定理得t=由，可得，所以．设ft因为函数在上单调递减，在上单调递增，可得f(又x→12时fx→所以f(所以ft∈23,19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．已知点，，，为线段的中点，是直线与直线的交点．（1）求cosOE（2）求向量的坐标．（3）设，点在线段上，是否存在实数，使得不等式x2+y2−λx答案：（1）（2）（3