2025-2026学年海南海口市第四中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学考生注意：本试卷共有19题，时间为120分钟，满分为150分.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.5.在菱形中，点满足，则（）A. B.C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（）A. B.C. D.8.已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（）A.当时，有3个交点B.当时，有且只有1个交点C.当时，有2个交点D.当时，没有交点二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列选项中，正确的是（）A.在平行四边形中，B.在中，若，则为钝角三角形C.若是的重心，则D.若与的夹角为，则在方向上的投影向量为10.已知，则下列结论正确的是（）A.的最大值为 B.的最大值为9C.的最小值为 D.的最小值为11.已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（）A.当位于点时，的值最大B.当位于点时，的值最小C.的取值范围为D.的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知正方形ABCD的边长为4，为的中点，则________．13.已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______．14.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.记向量OM→=1,3的伴随函数为，当且时，的值为___________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤）15.已知内角的对边分别为.（1）若，求边和角A；（2）若，求角A.16.已知向量.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值；（3）当为钝角时，求的取值范围.17.已知函数.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）求在区间内的单调递增区间.18.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．（1）求函数的解析式；（2）当，方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．19.已知函数.（1）设.（i）计算的值，并求的最小值；（ii）求的单调递减区间.（2）对任意x1,x

数学考生注意：本试卷共有19题，时间为120分钟，满分为150分.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出集合，再根据集合的并集运算求解.解答过程：由，得，所以，由，得，即，所以，所以.故选：A2.已知向量，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据向量平行坐标关系结合充分必要条件定义判断即可.解答过程：向量，“”可以得出，即得，不能得出成立，可以推出成立，则“”是“”的充分不必要条件.3.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案：A解析：解答过程：易知，故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度.4.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据对数的性质及对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.解答过程：，因为在上为增函数，所以，即.又为增函数，所以，即，所以.5.在菱形中，点满足，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据平面向量基本定理计算即可.解答过程：分析可得，于是．6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，由，所以.7.若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：易得函数与的最小正周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案.解答过程：对于函数，令，解得，即的对称中心为；因为函数的相邻对称中心的距离都是半个最小正周期，且函数与函数图象的对称中心完全一致，所以函数与的最小正周期相等，又函数的最小正周期，所以，所以，则，令，则，故，解得，因为，所以．故选：C．8.已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（）A.当时，有3个交点B.当时，有且只有1个交点C.当时，有2个交点D.当时，没有交点答案：D解析：思路：作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可.解答过程：直线与直线有一个交点，联立直线，解得或，所以直线与直线的交点为，，在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示，当时，有3个公共点，分别为，A正确.当时，有且只有1个公共点，为，B正确.当时，有2个公共点，分别为，C正确.当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误.二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列选项中，正确的是（）A.在平行四边形中，B.在中，若，则为钝角三角形C.若是的重心，则D.若与的夹角为，则在方向上的投影向量为答案：ACD解析：解答过程：在平行四边形中，与方向相同，长度相等，所以，所以A正确；在中，与的夹角为，若，则BA→·BC→>0，所以为锐角，不能说明为钝角三角形，所以B错误；若是的重心，记的中点为，则AG→即，所以C正确；若a=23，b=2则在方向上的投影向量为a→·b所以D正确.10.已知，则下列结论正确的是（）A.的最大值为 B.的最大值为9C.的最小值为 D.的最小值为答案：AD解析：解答过程：A：由基本不等式：，两边平方得，即，等号成立当且仅当，即，符合条件，因此最大值为，A正确；B：，得到的最小值为，无最大值，B错误；C：将代入得：，这是开口向上的二次函数，对称轴，代入得最小值为，C错误；D：，等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确.11.已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（）A.当位于点时，的值最大B.当位于点时，的值最小C.的取值范围为D.的最大值为答案：BCD解析：思路：建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解.解答过程：我们通过建立平面直角坐标系求解：将放在原点，在轴上，则，设，由解得：，因此，选项A，的最大值为，在，在弧中点时取得最大值，A错误；选项B，的最小值为，在即在点和即在点都取得，因此位于点时，确实取最小值，B正确；选项C，，因为，所以，C正确；选项D，，最大值为，因此最大值为，D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知正方形ABCD的边长为4，为的中点，则________．答案：8解析：思路：利用基向量表示向量，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可解答过程：由已知得，所以，所以.故813.已知角的终边经过点，若角与的终边关于x轴对称，则______．答案：解析：思路：根据三角函数的定义可求出，再结合点的对称性可求出，最后根据诱导公式可求解.解答过程：因为角的终边经过点，所以.又角与的终边关于x轴对称，所以角的终边经过点，所以.所以.14.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.记向量的伴随函数为，当且时，的值为___________.答案：解析：思路：由伴随函数的定义得的解析式，根据辅助角公式、同角三角函数关系式及两角差的正弦公式即可求得的值.解答过程：由题意知，，当时，2sinx+π由，得，所以cosx所以sinx四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤）15.已知内角的对边分别为.（1）若，求边和角A；（2）若，求角A.答案：（1），；（2）.解析：思路：（1）根据余弦定理求出，再由余弦定理求；（2）根据余弦定理及条件化简即可得解.（1）由余弦定理，，即82=化简可得，解得或（舍去），所以，又，所以.（2），又因为所以，即，化简可得：，所以为直角三角形，其中为直角，所以角.16.已知向量.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值；（3）当为钝角时，求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：（1），因为，λa所以3λ（2），因为，所以，所以，.（3）角为钝角，即，且与不能反向共线，所以，因为，可得，且，综上.17.已知函数.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）求在区间内的单调递增区间.答案：（1）最小正周期，对称中心为；（2）和.解析：思路：利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标；（2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间.（1）函数=2sin所以的最小正周期，令2x−π3=的对称中心为；（2）令，解得，的单调递增区间为−π12当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为；在区间内单调递增区间和.18.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．（1）求函数的解析式；（2）当，方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；（2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围；（3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，所以，得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，因为，所以，故．（2），即有解，由，得，所以，所以，所以，即．（3），设，则，由“方程在区间上恰有三个实数根”，得“方程在区间上恰有三个实数根”，则的图象如下：即，由图得，，，即，综上．方法提示：关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.19.已知函数.（1）设.（i）计算的值，并求的最小值；（ii）求的单调递减区间.（2）对任意恒成立，求的取值范围.答案：（1）（i）；（ii）的单调递减区间为（2）解析：思路：（1）（i）换元令将原函数化为二次函数，代入计算函数值，通过二次函数配方求最小值.（ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原