2025-2026学年海南海口英雅盛彼德高级中学高一下册期中检测数学试题 含解析

/数学一、单选题1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.已知向量，且，则实数的值为（）A.4 B.1 C.－1 D.－43.已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（）A.0 B.1 C.2 D.1或24.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形5.若，且，则（）A. B. C. D.6.若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（）A. B. C. D.7.在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（）A. B. C. D.8.若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题9.在等边三角形中，点D是边的中点，则（）A. B. C. D.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.若，则C.在区间上单调递增 D.的图象关于点中心对称11.中，，，则（）A. B.的角平分线交AB于D，则C. D.在上的投影向量是三、填空题12.已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______．13.已知向量满足，则与的夹角大小为_______.14.已知，则__________.四、解答题15.在中，，，分别为角，，的对边，且．（1）求角；（2）若的面积为，，求边上的高的长．16.已知平面四边形的四个内角均小于，，，且．（1）若，求的面积；（2）若，求．17.如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.（1）若，求，的值；（2）若，，求.18.如图，是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式.（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.①求函数在上的单调递增区间；②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.（1）分别根据下列已知条件求；①，；②，；（2）记，，，且满足，，，求的最大值.

数学一、单选题1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解.解答过程：由不等式，解得，所以，又由集合，所以.故选：C.2.已知向量，且，则实数的值为（）A.4 B.1 C.－1 D.－4答案：A解析：思路：由，可知，再根据平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果你解答过程：因为，所以，即，所以.故选：A.3.已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（）A.0 B.1 C.2 D.1或2答案：B解析：思路：根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果.解答过程：因为，由正弦定理，得到，所以，又因为，故，.故选：B.4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案：D解析：思路：利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．解答过程：由余弦定理得，则，即，所以.∵∴是等边三角形.故选D.方法提示：本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键．5.若，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解.解答过程：因为，所以，又，所以，所以.6.若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可.思路：如图：设，，则，依题意.过作，垂足为，则，即的最小值是.故选：C.7.在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：建立平面直角坐标系，根据共线定理及中点坐标公式求出的坐标，然后根据数量积的坐标公式求解.解答过程：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．由，，得，，．因为，且点满足，所以，从而．又点为的中点，所以．因此，，故．8.若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据平移变换得到平移后的函数解析式，再利用函数关于轴对称的性质列出等式，进而求出关于的表达式，最后结合确定的最小值.解答过程：函数的图象向右平移个单位长度所得函数为：，则图象关于轴对称，即，则，因为，所以当时，的最小值为.二、多选题9.在等边三角形中，点D是边的中点，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：A：在等边三角形中，因为点D是边的中点，所以，正确.B：因为两向量方向不同，所以错误.C：因为点D是边的中点，所以，正确.D：由为等边三角形，且点D是边的中点，所以，所以，正确.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.若，则C.在区间上单调递增 D.的图象关于点中心对称答案：AC解析：思路：利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D.解答过程：利用辅助角公式化简.选项A，最小正周期，A正确；选项B，若，则，即，得：，即，因此，B错误；选项C，当时，令，则在上单调递增，因此在上单调递增，C正确；选项D，若函数关于点中心对称，则满足，则，D错误.11.中，，，则（）A. B.的角平分线交AB于D，则C. D.在上的投影向量是答案：ACD解析：解答过程：由余弦定理，得，故，A正确；因为，所以是等腰三角形，平分，所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确；由，，所以，因为是等腰三角形，所以，

，所以C正确；向量在上的投影向量为

，，故投影向量为，所以D正确.三、填空题12.已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______．答案：解析：解答过程：因为A，B，C三点共线，所以，使得，因为向量与不共线，所以有，解得，.13.已知向量满足，则与的夹角大小为_______.答案：##60°解析：解答过程：设与的夹角为，向量夹角范围为将两边平方得：

即

，所以，又，所以.14.已知，则__________.答案：解析：解答过程.四、解答题15.在中，，，分别为角，，的对边，且．（1）求角；（2）若的面积为，，求边上的高的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理边角互化即可求解，（2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解.（1）由结合正弦定理可得因为，则所以．则有故．（2）由得因，所以由余弦定理得所以，解得所以．16.已知平面四边形的四个内角均小于，，，且．（1）若，求的面积；（2）若，求．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）利用余弦定理求出BD，由是等腰直角三角形，求出,利用面积公式求出的面积；（2）在中，根据正弦定理可得，，利用两角和余弦公式求出.解答过程：（1）在中由余弦定理得：，解得．，．由条件可知是等腰直角三角形，，．所以．（2）因为，所以，在中，根据正弦定理得：，可得，从而，所以．方法提示：在几何图形中解三角形，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．17.如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.（1）若，求，的值；（2）若，，求.答案：（1），.（2）解析：思路：（1）根据题意，得到，结合，即可求解；（2）由，，结合向量的夹角公式，即可求解.（1）解：在菱形中，是的中点，，则，可得，又因为，所以，.（2）解：因为，，所以，且，因为，，所以，又因为，，所以.18.如图，是函数图象的一部分.（1）求函数的解析式.（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.①求函数在上的单调递增区间；②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）根据最值可得；根据最小正周期可得，求得，由此可得解析式；（2）①将整体代入正弦函数单调递增区间中，即可构造不等式求得递增区间；②根据正弦函数的图像求解即可.（1）由图像可知，函数最大值为，最小值为，且，得.，所以周期.又，，因此.将最高点代入得：，则，解得.因为，所以.因此函数解析式为.（2）①向右平移​个单位，则，再纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），则.令，解得.因为，所以在上的单调递增区间为.②当时，令​，则.因为方程在区间上恰有两个不同的实数解，则​在上恰有两个不同解.由在的图象可知，当时，方程恰有两个不同解，解得.因此的取值范围为.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形