2025-2026学年河北省沧州市沧衡八县联考高一下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（）A. B.2 C. D.2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.23.下列说法正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体C.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体4.在中，若，则（）A. B. C. D.5.若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（）A.只有一条，不在平面内 B.有无数条，不一定在平面内C.只有一条，且在平面内 D.有无数条，且在平面内6.如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（）A. B. C. D.7.已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（）A. B.或C.或 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，10.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（）A.圆台的表面积为 B.圆台的体积为C.圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D.圆台的外接球的表面积为11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（）A.B.若，则b的最大值为C.若的面积为，则a的最小值为2D.若，，，，则动点D的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______．13.在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．14.已知向量，满足，且在上的投影向量为，与的夹角为，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数．（1）若复数z在复平面内对应点，求实数m的值；（2）若复数，求m的值．16.如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点．（1）证明：平面PAC；（2）证明：平面平面PBC．17.如图，在中，，，，．（1）用，表示；（2）若，，求．18.如图，在中，，D为边AC上一点，且，．（1）若．（ⅰ）求；（ⅱ）求的面积；（2）若，求的取值范围．19.如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若与平面所成角的正弦值为，求的值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（）A. B.2 C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，则，其虚部为2．2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.2答案：C解析：解答过程：，又，，解得．3.下列说法正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体C.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体答案：D解析：解答过程：对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误；对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误；对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误；对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确．4.在中，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由正弦定理，，不妨设，，，则由余弦定理，，因为，所以．5.若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（）A.只有一条，不在平面内 B.有无数条，不一定在平面内C.只有一条，且在平面内 D.有无数条，且在平面内答案：C解析：解答过程：设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A，由面面垂直的性质定理可知，，假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行，又因为都过点P，所以这两直线重合，因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内，6.如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A．7.已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：以单位向量为基底建立坐标系，将用夹角表示，通过向量模长公式将转化为含的三角函数，再结合，确定的范围，利用三角函数的值域求解模长的取值范围．解答过程：因为是在同一平面内的三个单位向量，且，所以，设与的夹角为，与的夹角为，又因为，，所以且，即与和的夹角均为锐角，又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间，如图所示，其中，，，则有，则，因为即，所以，则，则，即．8.已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（）A. B.或C.或 D.答案：B解析：思路：先由正四棱锥外接球表面积，求出外接球半径；结合正四棱锥性质，可知外接球球心在顶点到底面的投影所在直线上.设，利用勾股定理推导底面边长，再通过均值不等式求出的最大值及取等条件、；最后分球心在棱锥内部（高）和外部（高）两种情况，计算出正四棱锥的对应体积和.解答过程：设正四棱锥外接球的半径为，则有，所以.因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面.因为是正四棱锥，则点O一定在直线上.如图1所示，连接OA，因为，所以.设，则，所以.则.当且仅当，即时等号成立，即，．当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为.则正四棱锥的体积.当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时，正四棱锥的高为.则正四棱锥的体积．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：ABD解析：思路：对于选项A，B使用三角形全等判定定理即可判断；对于选项C，利用正弦定理判断；对于D使用余弦定理计算即可判断.解答过程：对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误；对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确．10.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（）A.圆台的表面积为 B.圆台的体积为C.圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D.圆台的外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：利用圆台表面积公式，代入已知半径和母线计算可判断A；由轴截面几何关系求出高，再代入圆台体积公式计算可判断B；圆台侧面展开图的圆心角可由底面半径差与母线长关系求得，从而判断C；设外接球心在轴线上，根据勾股定理列方程解得半径平方，再求表面积即可判断D.解答过程：如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为，由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为，，则，对于A选项，圆台的表面积，所以A正确；对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确；对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误；对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以，解得，所以外接球的表面积，所以D正确．11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列命题正确的是（）A.B.若，则b的最大值为C.若的面积为，则a的最小值为2D.若，，，，则动点D的轨迹长度为答案：BCD解析：思路：根据正弦定理进行边角转换，结合三角形内角和与三角函数恒等变换公式可求角，判断A的真假；利用正弦定理表示边，结合三角函数的值域确定的最大值，判断B的真假；利用三角形的面积公式结合角的值，可求的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求边的最小值，判断C的真假；利用向量判断点的轨迹为三角形角的角平分线，再利用面积法求三角形角平分线的长度，可判断D的真假.解答过程：对A，因为，所以，则，则，因为，所以，即，因为，所以，故A错误；对B，因为，，由正弦定理得：，即，所以，当时，b取最大值，且最大值为，所以B正确；对C，若的面积为，则有，即，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以a的最小值为2，所以C正确；对D，因为，，即，，则，则点D在角A的内角平分线所在直线上．当时，，则D，B，C三点共线，设AD与边BC的交点为E，则当时，点D的轨迹就是的角A的角平分线AE．则，根据，，，则，所以D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______．答案：解析：解答过程：由复数，可得复数的实部为，虚部为，因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得，所以实数x的取值范围为．13.在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．答案：解析：思路：棱CD上取一点P，使得，，进而得到异面直线与所成的角即为，再设出正方体边长为6，根据勾股定理求出三角形的每个边长，再根据余弦定理即可求出异面直线与所成角的余弦值即可.解答过程：如图，因为，所以点M在棱AB上，且，由得，点N为棱BC的中点，在棱CD上取一点P，使得，连接，PN，则，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角．设正方体棱长为6，则，，所以，，．所以，异面直线与所成角的余弦值为．14.已知向量，满足，且在上的投影向量为，与的夹角为，则的最大值为______．答案：##解析：思路：根据投影向量，求出，，的夹角为，设，，作图，利用正弦定理求外接圆的半径，再由求最值即可.解答过程：在上的投影向量为，即，所以，因为，所以，设，的夹角为，则，又因为，所以．如图，设，，，则，，由已知可得，，，．连接AB，则，又因为，在中，由正弦定理得：，即，所以的外接圆的半径为2，设圆为的外接圆，点C为优弧上任意一点，则，取AB的中点M，则，求的最大值，即求的最大值，当C，，M三点共线时，即点C在优弧的中点时，最大，又因为是边长为2的正三角形，所以，即的最大值为，所以的最大值为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数．（1）若复数z在复平面内对应点，求实数m的值；（2）若复数，求m的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数对应的点的坐标建立方程组求解即可；（2）由可知为纯虚数，建立方程求解即可.（1）若复数z在复平面内对应点，则有，解得；（2）设复数，若为负实数，则有，则有且，即为纯虚数．因复数，则复数z为纯虚数，即，解得．16.如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点．（1）证明：平面PAC；（2）证明：平面平面PBC．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可；（2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可.（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点，又因为点D为BC的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；（2）因为点C在底面圆周上，所以，又因为点D为BC的中点，所以，因为AB为底面直径，所以，又因为，所以，而，PD，平面POD，所以平面POD，因为平面PBC，所以平面平面PBC．17.如图，在中，，，，．（1）用，表示；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用已知向量条件推得点的位置关系，把用基底线性表示，再由模长和垂直条件列出向量平方与数量积方程，整理得到及数量积的关系式；（2）将所求向量数量积展开为基底运算形式，代入前面推得的等量关系整体代换化简，求出最终数值结果.（1）因为，所以.所以．因为，所以为线段的中点.所以；（2）因为，，所以．，所以．所以，所以①，因为，所以，所以①．18.如图，在中，，D为边AC上一点，且，．（1）若．（ⅰ）求；（ⅱ）求的面积；（2）若，求的取值范围．答案：（1）（i）；（ⅱ）