2025-2026学年河北省秦皇岛市第三中学高二下册5月期中考试A数学试题 含解析

/数学考试时间120分钟，满分150分.单选题8个，每小题只有一个正确答案，每题5分，共计40分；多选题3个，每小题有2个或3个正确答案，每题6分，共计18分；填空题3个，每题5分，共计15分；解答题5个小题，共计77分.一、单选题1.若，则在处的切线方程为（

）A. B.C. D.2.的展开式中，系数最大的项是（）A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项3.下列函数的导数正确的是（）A. B.C. D.4.下列各式正确的是（）A. B. C. D.5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A.有2个极值点 B.在处取得极大值C.在上单调递增 D.有极小值，没有极大值6.的展开式中，常数项为（）A. B. C.16 D.2407.甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（）A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题9.已知函数，则（）A.在单调递增B.有两个零点C.曲线在点处切线的斜率为0D.是偶函数10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（

）A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲乙不相邻的排法种数为82种D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.e是函数定义域内的极小值点.B.的单调减区间是.C.若方程（）有两个不同的实根，则.D.在定义域内无最小值，无最大值.三、填空题12.设是函数的导函数，若，则______．13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有____________________(用数字作答)14.已知函数在时有极值0，则=______.四、解答题15.田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序．（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率．16.已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1．（1）求a；（2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程．17.某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、（1）求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率；（2）若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率.18.已知展开式中前三项的二项式系数和为.（1）求的值；（2）求展开式中含的项的系数；（3）求展开式中系数最大的项.19.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若有极值，且的最大值大于，求的取值范围；（3）若恒成立，求的取值范围．

数学考试时间120分钟，满分150分.单选题8个，每小题只有一个正确答案，每题5分，共计40分；多选题3个，每小题有2个或3个正确答案，每题6分，共计18分；填空题3个，每题5分，共计15分；解答题5个小题，共计77分.一、单选题1.若，则在处的切线方程为（

）A. B.C. D.答案：A解析：思路：首先确定切点坐标，再利用复合函数求导法则计算导函数得到切线的斜率即可求解.解答过程：将代入中，得，因此切点为，，，即切线斜率为且过点，故切线方程为，整理得.2.的展开式中，系数最大的项是（）A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项答案：D解析：思路：结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解.解答过程：因为的展开式的通项公式为，所以的展开式的各项系数分别为，第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且，所以系数最大的项是第5项和第7项.故选：D3.下列函数的导数正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：对于A，，故正确；对于B，，故错误；对于C，，故错误；对于D，，故错误.4.下列各式正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：对于A，因，而，故A错误；对于B，因，故B错误；对于C，因，而，故C正确；对于D，因，而，故D错误.5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A.有2个极值点 B.在处取得极大值C.在上单调递增 D.有极小值，没有极大值答案：D解析：思路：利用导函数图象确定函数的单调性，再逐项判断即可.解答过程：由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确.故选：D6.的展开式中，常数项为（）A. B. C.16 D.240答案：D解析：思路：由二项式展开通式直接计算即可.解答过程：由展开式的通项得，令，得，常数项为.7.甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”，事件表示“从乙盒中取出的两球都是白球”.由全概率公式得，由题意可知，，当发生时，乙盒中有3个红球，3个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为，当发生时，乙盒中有2个红球，4个白球，则从乙盒取两球均为白球的概率为，代入全概率公式计算可得.故取出的两球都是白球的概率为.8.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题.解答过程：解：由题意知，因为函数在上单调递增，所以恒成立，即在区间上恒成立.令，，则，当时，，所以，因此在上单调递增，则，所以.二、多选题9.已知函数，则（）A.在单调递增B.有两个零点C.曲线在点处切线的斜率为0D.是偶函数答案：AC解析：思路：通过对函数求导，即可得出结论.解答过程：由题意，，在中，，∴当时，，∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；A项，当时，，故在单调递增，A正确；B项，当时，，当时，，所以只有0一个零点，B错误；D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.故选：AC.10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（

）A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲乙不相邻的排法种数为82种D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种答案：ABD解析：思路：对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断.解答过程：对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确；对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确；对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确；对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确.故选：ABD11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.e是函数定义域内的极小值点.B.的单调减区间是.C.若方程（）有两个不同的实根，则.D.在定义域内无最小值，无最大值.答案：ACD解析：思路：应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，数形结合判断D.解答过程：对于A，定义域为，，令可得，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以是函数的极小值点，A正确；对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确；对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e，当时，，当时，，当时，，简图如下，由图可知，方程（）有两个不同的实根，则，C正确；对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D正确三、填空题12.设是函数的导函数，若，则______．答案：2解析：思路：先对函数求导，然后将代入计算即可.解答过程：因为，所以，所以.故213.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有____________________(用数字作答)答案：450解析：思路：利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.解答过程：由题知，名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种，分人数为的三组，共有种；第二种，三舱人数都为2，共有种；所以不同的安排方法共有种．故45014.已知函数在时有极值0，则=______.答案：解析：思路：对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果.解答过程：∵，，函数在时有极值0，可得即，解得或，若时，函数，所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍，所以，所以故．四、解答题15.田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序．（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案.（2）首先设事件，事件，列举出事件的个数，利用条件概率公式即可的得到答案.（1）将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，并且用马的记号表示该马上场比赛．设事件，事件，由题意得，，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是；（2）设事件，事件，由题意得，，则本场比赛田忌胜利的概率是．16.已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1．（1）求a；（2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案；（2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程.（1），因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，解得.（2）由（1）知，，设切点坐标为，则，切线的方程为，又点在曲线上，所以，代入得，即，整理可得，故l的方程为，即.17.某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、（1）求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率；（2）若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果；（2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得.（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”，事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”.根据题意，，两两互斥，且.由题意得，，，，，.由全概率公式，得=16所以消费者给出好评的概率为.（2）由（1）知，因此.根据题意，得.因为，，两两互斥，且，由贝叶斯公式，得，所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为.18.已知展开式中前三项的二项式系数和为.（1）求的值；（2）求展开式中含的项的系数；（3）求展开式中系数最大的项.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据及组合数公式得到方程，