2025-2026学年河北省石家庄市张家口市部分学校高二下册5月期中测试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面给出四个随机变量：①1天内的温度；②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码；④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为．其中是离散型随机变量的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（）A.12种 B.10种 C.7种 D.5种3.若的展开式中各二项式系数和为64，则（）A.4 B.6 C.8 D.104.若，则（）A.3 B.4 C.5 D.65.已知随机变量的分布列如下表所示，则（）0120.30.3A.0.3 B.0.6 C.0.9 D.16.袋子中有大小、质地相同的4个球，其中标号为的球有2个，标号为a，b的球各有1个．从袋中任取2个球，已知有一个球标号为，则另外一个球标号也为的概率为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A.2 B.4 C.6 D.648.已知函数在处取得极大值，则（）A.1 B.7 C.21 D.7或21二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（）A. B. C. D.10.已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（）A. B. C. D.11.蔚县（非遗与古堡文化）、阳原县（人类起源与考古）、怀来县（生态与湿地）是张家口地区的三大文化研学地．现有甲、乙、丙、丁位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，事件为“乙同学前往阳原县（人类起源与考古）研学”．则（）A.事件发生有12种方案 B.C.事件发生有4种方案 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的单调递减区间为______．13.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列an:2,3,3,4,6,4，，则______．14.为研究不同性别学生对“豆包”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解豆包”，“学生为女生”，据统计，将样本的频率视为概率，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校从6名男教师，5名女教师中选出4名参加支教活动．（1）求共有多少种不同的选法？（用数字作答）（2）从中选出4名教师，并安排到4个不同的学校，每个学校安排1名教师，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答）16.中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人．（1）求该机器人是甲品牌合格品的概率；（2）求该机器人是合格品的概率．17.在的展开式中，第5项为常数项．（1）求的值，并求该展开式中二项式系数最大的项（结果的系数用数字表示）；（2）若在展开式中任取3项，其中无理项的个数为，求的分布列和数学期望．18.已知函数，．（1）求的极值点；（2）若在区间内单调递减，求的取值范围；（3）若，比较与1的大小．（其中）19.某学校田径队有甲、乙等10名运动员，现将这10人随机平均分成A，B两组进行集训，分组后两组人员固定．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长．（1）求甲、乙两人都在组的概率；（2）求甲在两天内至少担任一次组长的概率；（3）记为这两组在连续两天中至少担任一次组长的总人数，求的概率分布列和数学期望．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面给出四个随机变量：①1天内的温度；②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码；④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为．其中是离散型随机变量的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：离散型随机变量是指其可能取到的值可以一一列举出来的随机变量.对于①，一天内的温度可以取某一区间内的任意数，不能一一列举出来，故①不是离散型随机变量；对于②，一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可以是等，这些值可以一一列举出来，故②是离散型随机变量；对于③，从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码可以是，这些值可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；对于④，一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置可以取直线上的任意一点，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量.综上，②③是离散型随机变量.2.李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（）A.12种 B.10种 C.7种 D.5种答案：A解析：思路：由分步计数原理结合题设可得答案.解答过程：根据分步乘法计数原理，共有种不同的布置方案.3.若的展开式中各二项式系数和为64，则（）A.4 B.6 C.8 D.10答案：B解析：思路：根据二项式系数的性质求解即可.解答过程：由题意得，解得．4.若，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：D解析：解答过程：因为，解得或（舍去），则．5.已知随机变量的分布列如下表所示，则（）0120.30.3A.0.3 B.0.6 C.0.9 D.1答案：B解析：解答过程：由，解得，∴E.6.袋子中有大小、质地相同的4个球，其中标号为的球有2个，标号为a，b的球各有1个．从袋中任取2个球，已知有一个球标号为，则另外一个球标号也为的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：记取出的2个球中，至少一个标号为为事件，2个球标号都为为事件，则，，．7.已知，则（）A.2 B.4 C.6 D.64答案：C解析：解答过程：因为，所以的展开式的通项公式为，所以．8.已知函数在处取得极大值，则（）A.1 B.7 C.21 D.7或21答案：B解析：思路：由极大值点为，可得，然后由组合数定义可得答案.解答过程：由题意有，令，解得或，当，此时在R上单调递增，无极值，不满足题意；当，，，则在和上单调递增，在上单调递减，从而为极大值点，但此时与矛盾；当，，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以为极大值点，可得．因此，．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：设Px0,所以在点处的切线斜率k=f则，又，所以得α∈0,π对照选项，只有选项AC符合题意．10.已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：根据分布列的性质求得，结合数学期望对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：根据题意，随机变量的分布列为，则，解得，故A正确；，故B正确；则，故C正确；，故D错误．11.蔚县（非遗与古堡文化）、阳原县（人类起源与考古）、怀来县（生态与湿地）是张家口地区的三大文化研学地．现有甲、乙、丙、丁位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，事件为“乙同学前往阳原县（人类起源与考古）研学”．则（）A.事件发生有12种方案 B.C.事件发生有4种方案 D.答案：ABD解析：思路：先算出4名同学分配的总基本事件数为36，再分两类求出甲去蔚县且阳原、怀来都有人的分配共12种，判定事件A正确并算出概率为即B正确；接着分析甲去蔚县且乙去阳原的交事件情况数为5，得出C错误；由A、B概率相等结合条件概率公式，推得两个条件概率相等，判定D正确，最终选ABD.解答过程：事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，此时其余3名同学的分配需保证阳原县和怀来县都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与甲同往蔚县，其余2人在阳原县和怀来县一人一地排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与剩下的1人在阳原县和怀来县排列，共有种，故A正确；由题可知，总基本事件数为，所以，故B正确；事件AB：当甲同学前往蔚县研学，乙同学前往阳原县研学时，有两种情况，①怀来县有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况；②蔚县或阳原县有两位同学研学，在丙丁2人中先选1人去怀来县，另1人去蔚县或阳原县，共有种情况；所以事件共有种情况，故C错误；同理可得，因为，所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的单调递减区间为______．答案：解析：思路：在定义域范围内，利用导函数判断单调性，导函数小于零的解集为原函数单调递减区间．解答过程：因为，，故，令得，解得，故的单调递减区间为．13.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列，，则______．答案：21解析：思路：根据该数阵第行有个数，从左向右分别为，第行最后一项位于原数列第项即可求解解答过程：将数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…变成以下数阵：第1行2第2行33第3行464第4行510105……则因为，所以在该数阵第6行的第2个位置，故．14.为研究不同性别学生对“豆包”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解豆包”，“学生为女生”，据统计，将样本的频率视为概率，则______．答案：##0.6解析：解答过程：已知，抽取男生和女生各50名，所以．根据条件概率公式，可得．根据条件概率公式，可得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某学校从6名男教师，5名女教师中选出4名参加支教活动．（1）求共有多少种不同的选法？（用数字作答）（2）从中选出4名教师，并安排到4个不同的学校，每个学校安排1名教师，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答）答案：（1）（2）解析：（1）从6名男教师，5名女教师中选出4名教师的选法种数为；（2）从6名男教师，5名女教师中选出4名教师，再将选出的教师安排到4个学校，每个学校安排1名教师的安排种数为．16.中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人．（1）求该机器人是甲品牌合格品的概率；（2）求该机器人是合格品的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）已知甲品牌的占比和甲品牌的合格率，根据条件概率乘法公式，可直接计算出机器人是甲品牌合格品的概率；（2）要求该机器人是合格品的概率，需要分别计算出甲，乙，丙三个品牌的合格品概率，再根据进行计算.（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则，所以该机器人是甲品牌合格品的概率（2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，结合（1）得．17.在的展开式中，第5项为常数项．（1）求的值，并求该展开式中二项式系数最大的项（结果的系数用数字表示）；（2）若在展开式中任取3项，其中无理项的个数为，求的分布列和数学期望．答案：（1），（2）分布列见解析，解析：思路：（1）求出展开式的通项，根据第5项为常数项求出，再根据二项式系数的性质即可得解；（2）先确定展开式中无理项的项数，进而可得出的所有可能取值，再求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.（1）的展开式的通项为Tr+1因为第5项为常数项，所以当时，有，解得，所以该展开式共有9项，二项式系数最大的项为第5项，；（2）由（1）知3x−3由，可得，即展开式中有理项的个数为3，无理项的个数为6，故随机变量的可能取值为0，1，2，3，则，，，，的分布列为0123因此．18.已知函数，．（1）求的极值点；（2）若在区间内单调递减，求的取值范围；（3）若，比较与1的大小．（其中）答案：（1）为的极大值点，为的极小值点（2）（3）解析：思路：（1）先求导，然后通过分析函数的单调性即可求解；（2）由（1）知在1,1k上单调递减，则在区间内单调递减可转化为(1,2)⊆1,1（3）由（1）知f′(x)=kx−（1）的定义域为，f′因为，所以，由，可得或，由，可得，因此在和上单调递增，在区间1,1k上单调递减；故为的极大值点，为的极小值点．（2）由（1）得在1,1k要想在内单调递减，则(1,2)⊆1,1k即，解得，又，则的取值范围为．（3）由（1）知f′(x①当即时，又，则，即在上单调递减，则，所以；②当时，即，当时，；当时，，即在1,1k上单调递减，在1所以在上的最大值为与中的较大者，而，，，即，所以；综上，当且时，.19.某学校田径队有甲、乙等10名运动员，现将这10人随机平均分