2025-2026学年河北省邢台市卓越联盟高二下册期中考试测评数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.62.已知函数的图象经过点，则曲线在点处的切线斜率为（）A.2 B.3 C.4 D.53.从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（）A.5 B.15 C.20 D.254.的展开式中的系数是（）A. B.8 C. D.325.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（）A. B. C. D.6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（）123A.4 B.5 C.6 D.98.信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为的概率是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.研究变量，得到一组样本数据，对其进行回归分析，下列说法正确的是（）A.用决定系数来刻画拟合效果，越小，说明拟合效果越好B.在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.2个单位C.若变量和之间的样本相关系数，则变量和之间的正相关性很强D.残差平方和越小的模型，拟合效果越好10.已知，若，则（）A.B.C.D.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.当时，有极值B.当时，只有一个零点C.当时，，D.若对任意的，都有，则实数的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量的分布列为，则______.13.已知一种电器的使用寿命超过10年的概率为，超过15年的概率为，若一个这种电器使用了10年时还能使用，则这个电器使用寿命超过15年的概率为______.14.设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：年份2019202020212022202320242025年份代码1234567利润亿元29333644485259（1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.16.现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的.（1）求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率；（2）设选出的4本书中有本是中国四大名著，求随机变量的分布列及数学期望.17.某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利.（1）求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率；（2）记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，.18.某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立.（1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点.（2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟.（i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求；（ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小.参考数据.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）证明：无零点.（3）若函数，证明.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：B解析：思路：根据正态分布的性质计算即可.解答过程：因为随机变量，所以，所以相应的正态曲线关于轴对称，则.2.已知函数的图象经过点，则曲线在点处的切线斜率为（）A.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：解答过程：因为，所以，，所以所求切线的斜率为.3.从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（）A.5 B.15 C.20 D.25答案：D解析：思路：利用分类和分步计数原理，结合组合数公式求解.解答过程：可分两种情况：第一种情况，只有1所中学入选，不同的选法有种；第二种情况，有2所中学入选，不同的选法有种.根据分类加法计数原理知，不同的选法有种4.的展开式中的系数是（）A. B.8 C. D.32答案：C解析：解答过程：展开式的通项是，根据题意，得，解得，所以的系数是.5.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用超几何分布即可求解.解答过程：由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布，则.6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题.解答过程：由，得在区间上恒成立，设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，所以，则，即，则的取值范围是.7.已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（）123A.4 B.5 C.6 D.9答案：B解析：思路：由求出，再分别由求出，由期望公式求出，最后由期望性质求出.解答过程：由题意可得，解得或（舍去）.因为，，所以，则.8.信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为的概率是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件，先计算条件概率，再代入全概率公式计算求解．解答过程：设事件表示“接收的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”，由题意可得，，，，则，，，．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.研究变量，得到一组样本数据，对其进行回归分析，下列说法正确的是（）A.用决定系数来刻画拟合效果，越小，说明拟合效果越好B.在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.2个单位C.若变量和之间的样本相关系数，则变量和之间的正相关性很强D.残差平方和越小的模型，拟合效果越好答案：BCD解析：思路：利用决定系数、经验回归方程、相关系数及残差平方和的定义及性质逐项判断即可得.解答过程：对于A，越大，说明拟合效果越好，故A错误；对于B，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.2个单位，故B正确；对于C，若变量和之间的样本相关系数，的绝对值接近1，则变量和之间的正相关性很强，故C正确；对于D，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D正确.10.已知，若，则（）A.B.C.D.答案：BC解析：思路：利用求导法和赋值法来求系数和.解答过程：对于A，因为，所以，，即，再令，得，令，得，所以，解得，故A错误.对于B，令，得，故B正确.对于C，令，得，令，得，则,故C正确.对于D，设，则，再令，得，所以，故D错误.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.当时，有极值B.当时，只有一个零点C.当时，，D.若对任意的，都有，则实数的取值范围为答案：BD解析：思路：对A：结合函数单调性与极值定义即可得；对B：利用函数单调性及即可得；对C：构造函数，利用导数计算其单调性可得，即可得时，有；构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解.解答过程：对于A，当时，，则，所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误；对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为，所以只有一个零点，所以B正确；对于C，当时，，令，则，可知在上单调递减，在上单调递增，，所以，所以，，故C错误；对于D，，即，设，则问题可转化为，因为是上的增函数，所以，即恒成立，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，于是，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量的分布列为，则______.答案：解析：思路：根据分布列的性质结合组合数及二项式系数和计算求解.解答过程：根据分布列的性质，得，解得.13.已知一种电器的使用寿命超过10年的概率为，超过15年的概率为，若一个这种电器使用了10年时还能使用，则这个电器使用寿命超过15年的概率为______.答案：解析：解答过程：设“一个这种电器使用寿命超过10年”为事件，“一个这种电器使用寿命超过15年”为事件，则，所以在这个电器使用了10年时还能使用的前提下，这个电器使用寿命超过15年的概率为.14.设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______.答案：解析：思路：利用超几何分布和数学期望的公式即可求解.解答过程：设事件“从第一个口袋中取出的2个球中有个白球”，则，，.的可能取值为，，，由，，，得.同理，由，，，得.由，，，得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表：年份2019202020212022202320242025年份代码1234567利润亿元29333644485259（1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润.参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.答案：（1），可以推断变量与线性相关且相关程度很强.（2），83亿元.解析：思路：（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小判断相关程度；（2）求出线性回归方程，利用回归方程估计即可.（1）由题设，且，，，，由于，可以推断变量与线性相关且相关程度很强.（2）因为，，所以关于的经验回归方程为，当2030年对应的年份代码时，，即预测该新能源汽车制造公司2030年的利润为83亿元.16.现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的.（1）求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率；（2）设选出的4本书中有本是中国四大名著，求随机变量的分布列及数学期望.答案：（1）（2）.01234解析：思路：（1）根据排列结合古典概型的概率公式可求对应的概率；（2）根据超几何分布可求的分布列及数学期望.（1）设事件为“4人每人得到的都是中国四大名著”，则事件所含有的基本事件有个，4人从中取出4本书的所有取法即基本事件总数为，所以室友4人每人得到的都是中国四大名著的概率.（2）随机变量的所有可能取值为，，，，.，，，，，所以的分布列为01234随机变量的数学期望.17.某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利.（1）求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率；（2）记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，.答案：（1）（2），解析：思路：（1）应用全概率公式结合条件概率计算求解；（2）应用对立事件及独立事件乘法公式计算求解.（1）设事件“分配到甲任务”，则“分配到乙任务”，事件“在一个阶段中成功完成任务”.依题意，，，，，因此，所以该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率为.（2）设事件“该技术员在第个阶段中成功完成任务”，则，当时，挑战显然不会终止，即，又各阶段完成任务与否相互独立，所以当时，第1，2阶段至少成功完成一次，，，同理可得.18.某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立.（1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点.（2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟.（i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求；（ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小.参考数据.答案：（1）（2）（i）