2025-2026学年河北石家庄市（藁城、新乐）七县高一下册4月期中学情分析监测数学试题 含解析

/数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，且，则（）A. B. C.4 D.23.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.4.在平行四边形中，为的中点．记，则（）A. B. C. D.5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（）A. B. C. D.6.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.7.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（）A. B. C. D.8.已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（）A.1 B. C.2 D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则（）A.的共轭复数的虚部为B.C.为纯虚数D.在复平面内，复数所对应的点位于第一象限10.在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（）.A.若，，，则的面积为.B.若，则为钝角.C.若为锐角三角形，则.D.若，，且有两解，则b的取值范围是.11.如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（）A. B.C.存在最小值 D.的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______．13.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______.14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.当m为何值时，复数,是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求.（2）若，且边上的中线长为，求的面积.（3）若，且角的平分线长为，求的面积.17.如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.（1）设，，试用，表示；（2）求；（3）设，，求的最小值.18.在中，.（1）求的值；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.19.我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．（1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积．（2）如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”．该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm．根据祖暅原理，求该球台的体积．（3）如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式．

数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：根据复数的运算法则求出，进而判断即可.解答过程：由，则，则复数对应的点为，在第三象限.故选：C.2.已知向量，，且，则（）A. B. C.4 D.2答案：A解析：解答过程：因为，所以.所以，故.3.已知向量，，若，则|（）A.2 B. C.3 D.答案：D解析：思路：根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解.解答过程：因为向量，，且，所以，解得，所以，所以．4.在平行四边形中，为的中点．记，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断.解答过程：因为四边形是平行四边形，所以，又因为为的中点，所以，在平行四边形中，，.故选：A.5.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解.解答过程：设此铁塔高，根据题意，可得，在直角中，可得，在中，由，可得，根据正弦定理，可得，解得．故选：A.6.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解.解答过程：以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则故,当时取到等号，故选：B7.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积.解答过程：设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，则，设棱台的高为，体积为，则棱台的高为，设其体积为，则，则，所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为.故选：B.8.已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（）A.1 B. C.2 D.答案：C解析：思路：根据已知条件应用正弦定理结合基本不等式得出最大值，再应用二倍角公式及弦化切计算求解.解答过程：因为，由正弦定理得，又因为，所以当且仅当，即时等号成立，即取最大值，又因为，所以，所以，由于，且，所以.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则（）A.的共轭复数的虚部为B.C.为纯虚数D.在复平面内，复数所对应的点位于第一象限答案：ABC解析：思路：利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可.解答过程：易知，对于A，易知，其虚部为，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，为纯虚数，故C正确；对于D，，对应的点为位于第四象限，故D错误.故选：ABC10.在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（）.A.若，，，则的面积为.B.若，则为钝角.C.若为锐角三角形，则.D.若，，且有两解，则b的取值范围是.答案：BCD解析：思路：根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.解答过程：A.在中，若，，，则由正弦定理得，解得，因为，所以或，故或，所以的面积或，故A错误.B.在中，若，则，因为，所以为钝角，故B正确.C.因为是锐角三角形，所以，故，因为，所以，又因为在上单调递增，所以，故C正确.D.如图所示，若有两解，则，解得，故D正确.故选：ACD.11.如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（）A. B.C.存在最小值 D.的最小值为答案：ABC解析：思路：建立坐标系，写出向量坐标，根据向量线性运算即可判断A，根据向量数量积的坐标运算即可判断BCD.解答过程：如图，以为原点，所在直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立直角坐标系，则,；,所以，A正确.，，B正确.因为位于以为圆心，1为半径的半圆上，设，；,，因为，所以，当时，即时，取到最小值，C正确.因为，所以，即，因为，所以，D不正确.故选：ABC方法提示：关键点点睛：本题求解的关键是圆弧上的点如何表示，以为原点建立坐标系，能简化点的坐标.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______．答案.解析：思路：根据给定条件，结合斜二测画法规则还原平面四边形，再计算边长作答.解答过程：在等腰梯形中，，，则，由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，，且，如图，显然四边形为直角梯形，于是得.故13.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______.答案：解析：思路：根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可.解答过程：由，由，，得，所以向量在向量上的投影向量为，故14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m．答案：解析：思路：根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.解答过程：因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.当m为何值时，复数,是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．答案：（1）或（2）且（3）解析：思路：（1）根据实数的定义进行求解即可；（2）根据虚数的定义进行求解即可；（3）根据纯虚数的定义进行求解即可.（1），当m满足，即或时，z为实数．（2）当m满足，即且时，z为虚数．（3）当m满足即时，z为纯虚数．16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求.（2）若，且边上的中线长为，求的面积.（3）若，且角的平分线长为，求的面积.答案：（1）（2）（3）.解析：（1）由正弦定理，得，，.代入已知式，两边乘以得：，整理得.由余弦定理，代入：，解得.因为为三角形内角，所以.（2）已知，边上的中线长为，对应边为，即.设为中点，则为中线，.中线公式为：，其中为边上的中线长，代入，：由余弦定理，代入，：，代入：，化简得：，解得或（舍）.代入得，所以.面积.（3）设角的平分线交于点，则，且.在中，由正弦定理：；在中，由正弦定理.又，且，所以.由,,在中，，，，由余弦定理：，则，解得.同理，在中，，，设，由余弦定理：，则.由角平分线性质：，所以，两边平方得，代入表达式：，解得或.若，则三角形为等腰三角形，，，此时，三角形为等边三角形，角平分线长应为，与不符，舍去；若，成立.所以，，面积.17.如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.（1）设，，试用，表示；（2）求；（3）设，，求的最小值.答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）利用给定的基底表示向量.（2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解.（3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.（1）由，得，所以.（2）在等边中，，由（1）得，，，，，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，而共线，则，又，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.18.在中，.（1）求的值；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值；（2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值；（3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围.（1）因为在三角形中，由射影定理代入，得，即，因为，所以.（2）在三角形中，由（1）知，由余弦定理得，又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立，所以，即，所以周长.因此周长的最小值为.（3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，，所以，解得.又由正弦定理得，所以，，因为，所以，因此.所以面积.19.我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．（1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱