2025-2026学年湖南岳阳市汨罗市第二中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知全集，集合，，则A. B.C. D.2.命题：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知，，且，则的最小值是（）A.7 B.8 C.9 D.104.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.5.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（）A.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系6.已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A. B.C. D.7.函数图象的大致形状是A. B.C. D.8.已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列各式正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，则10.某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（）抗病虫害不抗病虫害合计种子经过该药处理60种子未经过该药处理14合计100附：．0.10.010.0050.0012.7066.6357.87910.828A.这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒B.这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒C.的观测值约为13.428D.根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效11.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（）A.为偶函数 B.为奇函数C.在上单调递增 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.“”是“”的______条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)13.化简的结果是______．14.已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角、、的对边分别是、、，已知，，．求：（1）的值；（2）的面积．16.如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．17.已知函数（1）求的值（2）求的最小正周期及单调递增区间.18.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.19.已知定义在上的函数满足且，.（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数取值范围；（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知全集，集合，，则A. B.C. D.答案：A解析：思路：本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.解答过程：，则

故选：A方法提示：易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.命题：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：思路：根据全称量词命题的否定的定义求解即可.解答过程：根据全称量词命题的否定，命题：，的否定是，.故选：B.3.已知，，且，则的最小值是（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：C解析：思路：由，则，化简用均值不等式求最值.解答过程：由题意可得，则，当且仅当，时等号成立，故的最小值为9.故选：C.方法提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果.解答过程：由题意可知，是关于的方程的两实根，且，则，解得，则不等式可化为，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：A5.对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（）A.由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系答案：C解析：思路：根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项.解答过程：对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对；对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错；对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对.故选：C.6.已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得.解答过程：正态分布的正态密度曲线关于直线对称，可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确；对C：由对称性可得，故选项C错误；对D：由对称性可得，所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确．故选：C．7.函数图象的大致形状是A. B.C. D.答案：C解析：思路：先由函数奇偶性，排除BD；再由函数值的大致范围，即可确定结果.解答过程：因为，所以，所以是偶函数，排除BD；又当时，，所以，当时，，所以，故排除D，选C.故答案为C方法提示：本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型.8.已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题.解答过程：解：因为是定义在上的奇函数，所以所以函数是定义在上的偶函数，因为对，且有，所以在上单调递增，所以，当时，则有，所以，即，所以在上单调递增，因为是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，因为，所以即为，所以，解得.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列各式正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，则答案：ABD解析：思路：利用对数的运算性质判断A、B，根据指对数的关系求x判断C、D.解答过程：A：，正确；B：，正确；C：由，即，错误；D：由，即，正确；故选：ABD10.某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．未填写完整的列联表如下，则（）抗病虫害不抗病虫害合计种子经过该药处理60种子未经过该药处理14合计100附：．0.10.010.0050.0012.7066.6357.87910.828A.这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒B.这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒C.的观测值约为13.428D.根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效答案：AD解析：思路：依题意完成列联表，根据列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可.解答过程：由题可将列联表补充完整如下：抗病虫害

抗病虫害不抗病虫害合计种子经过该药处理60666种子未经过该药处理201434合计8020100由上表可知A正确，B错误；由表可知，因此根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效，故C错误，D正确.故选：AD11.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（）A.为偶函数 B.为奇函数C.在上单调递增 D.答案：BCD解析：思路：根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项.解答过程：由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数，由已知当时，，令，可得，则，令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称，A选项错误，B选项正确；设，则，即，所以在上单调递增，则在上单调递增，又的图象是一条连续不断的曲线，且，所以在上单调递增，C选项正确；由，，得，则，所以，所以是以为一个周期的周期函数，所以，，易知在上单调递减，且，所以，D选项正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.“”是“”的______条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)答案：必要不充分解析：思路：根据定义直接分析即可解答过程：因为推不出,所以是的不充分条件因为能推出,所以是的必要条件所以是的必要不充分条件故必要不充分13.化简的结果是______．答案：解析：思路：利用根式的运算性质计算即可.解答过程.故答案为.14.已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____.答案：16解析：思路：二次函数和对数函数得到函数的单调区间，以及函数的最值和端点的值，由此得出函数图像，再由方程有4个不同解以及方程解的大小关系作出大致图像.由二次函数对称性得到，由对数函数得到，代入代数式后利用基本不等式即可求得其最小值.解答过程：由二次函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且，由对数函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且，故作分段函数图像如下：若有四个不同的解，则，即由二次函数的对称性可知，由对数函数可知，即，则，即，且.所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16.故16.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角、、的对边分别是、、，已知，，．求：（1）的值；（2）的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理可得出关于的等式，解之即可；（2）利用同角三角函数的基本关系求出，再结合三角形的面积公式求解即可.（1）由余弦定理可得，即，整理得，因为，解得.（2）因为，则为锐角，且sinB=1−故的面积为.16.如图为某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．答案：(1)；(2)分布列见解析，.解析：思路：(1)根据频率分布直方图小矩形的面积表示频率，总频率为1即可计算x；(2)由题可知X服从二项分布，根据二项分布概率计算公式即可求出其分布列和数学期望.解答过程：(1)依题意及频率分布直方图知，，解得.(2)由题意知，.因此，，，.故随机变量X的分布列为：X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为.17.已知函数（1）求的值（2）求的最小正周期及单调递增区间.答案：（1）2（2）的最小正周期为，单调递增区间为.解析：思路：（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简的解析式，得，代入可求得求的值；或直接代入，求的值.（2）根据最小正周期的公式求得的最小正周期；将看作一个整体，利用正弦函数的单调性求得的单调递增区间.（1）函数.所以.方法二.（2）由（1）知，，所以的最小正周期为.当，即时，单调递减，单调递增.所以的单调递增区间为.故的最小正周期为，单调递增区间为.18.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，求证即可求证；（2）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可；（3）计算平面的法向量，再计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系即可.（1）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，