2025-2026学年江苏省苏州市高三下册考前练习卷数学试题 含解析

/数学满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（）A. B. C. D.4.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.2405.在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（）A. B. C. D.6.已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第一次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列的前项和记为，且，则（）A.B.为等差数列C.中既有最大项也有最小项D.中有最大项但无最小项10.已知正四棱柱中，，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.直线与平面所成角的余弦值为C.三棱锥的外接球的半径为D.三棱锥的内切球的半径为11.已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（）A. B.为偶函数C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知下表中是关于变量，的5组观测数据，甲同学根据表中数据通过模型得到经验回归方程为，则______.1234513.在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与从左到右依次交于，两点，则______.14.球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆）.已知为球的直径，点，在球面上，且是等边三角形，若，，则，两点的球面距离为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，.（1）求的值；（2）若，，求的周长.16.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的短轴长为4，离心率.（1）求的标准方程；（2）若斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，求的值.17.如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形.，，，，，.（1）证明：；（2）已知是线段上的一点，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值.18.袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为.（1）当，时，求的分布列；（2）当时，求；（3）求.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，（为常数），①证明：当时，函数存在两个零点，；②在①的条件下，若，证明.

数学满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系.解答过程：由，得，即，则“”是“”的必要不充分条件.2.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用投影向量的公式计算即可.解答过程：由已知，，所以在方向上的投影向量为.3.已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先根据最小正周期求出，然后根据正切函数的性质求出对称中心.解答过程：因为函数的最小正周期为，所以，所以，所以.令，化简得.所以，所以是图象的对称中心.4.的展开式中的常数项为（）A.60 B.120 C.160 D.240答案：A解析：解答过程：展开式的通项为，令，得，所以的展开式中的常数项为.5.在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：联立方程组求出公共直线的方程，计算原点到直线的距离，根据圆心角与弦心距、半径的关系求出的大小.解答过程：联立方程组，可得直线的方程，原点到直线的距离为，在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点，，在中，，所以，所以.6.已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解.解答过程：由题意可知钝角三角形的三边分别为，，，则，解得，所以实数的取值范围为.7.已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由令，gx=x2+1x2−解答过程：令fx得k=令，gx=即与gx=g'当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递减，所以当时，有极小值，为，当时，有极小值，为，当时，，再由gx可得的大致图象如下图:所以当时，函数有两个零点.8.已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第一次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先计算得到，和，再由事件与事件相互独立可得，化简可得结果.解答过程：，，，由事件与事件相互独立，可得，即，化简可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列的前项和记为，且，则（）A.B.为等差数列C.中既有最大项也有最小项D.中有最大项但无最小项答案：ABC解析：思路：利用、求出可判断A；利用等差数列的定义可判断B；利用求出判断出单调性可判断CD.解答过程：对于A，当时，，当时，，所以，故A正确；对于B，由已知，所以，当时，，且，所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确；对于C，当时，，所以，所以当时开始单调递增且为负数，且当时，为最大项，为最小项，可得中有最大项也有最小项，故C正确D错误.10.已知正四棱柱中，，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.直线与平面所成角的余弦值为C.三棱锥的外接球的半径为D.三棱锥的内切球的半径为答案：AD解析：思路：先利用线线平行的传递性求得为异面直线与所成角，再在中利用余弦定理即可得解判断A，根据线面角的定义证明为直线与平面所成角，解三角形求其余弦即可判断B，对于C，结合条件可得等价于求正四棱柱的外接球半径，结合长方体性质可求半径，由此即可判断，对于D，由条件结合内切球性质求半径即可判断.解答过程：对于A，因为在正四棱柱中，，所以四边形是平行四边形，则，所以为异面直线与所成角，

由已知，四边形为正方形，，平面，在中，，，则，由余弦定理得，A正确；对于B，因为平面，所以为直线与平面所成角，在中，，，，所以，即直线与平面所成角的余弦值为，B错误；三棱锥的外接球也是正四棱柱的外接球，正四棱柱的外接球的半径为，C错误，设三棱锥的内切球半径为，三棱锥的表面积为，体积为，则，由，，所以，所以，D正确.11.已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（）A. B.为偶函数C. D.答案：BCD解析：思路：令可得，再由为奇函数可得，令可得，令，可得，可判断A；令，可得，可判断B；由，可得，从而，可判断C；计算、、、、和的值，结合函数的周期性计算可判断D.解答过程：由，令，得，即，，由为奇函数，可得，即，即，所以函数关于点对称，令可得，令，得，可得，故A错误；令，可得，即，则，所以，或，当时，，当时，用替换得，所以，解得，满足，所以，，即，则为偶函数，故B正确；由，，可得，即，所以，则是以6为周期的周期函数，则，故C正确；由，，，，为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得，，，，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知下表中是关于变量，的5组观测数据，甲同学根据表中数据通过模型得到经验回归方程为，则______.12345答案：解析：解答过程：令，则，，两边同时取对数得，即，因为回归直线经过样本中心点，所以有，即，，解得.13.在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与从左到右依次交于，两点，则______.答案：##0.5解析：思路：根据抛物线标准方程求出焦点的坐标，写出直线的点斜式方程，联立直线方程和抛物线方程两点的坐标，进而利用抛物线的焦半径公式计算比值即可.解答过程：由抛物线，可得，焦点，准线，则过斜率为的直线方程为.联立方程，整理得：，即，解得（如图所示，在左，纵坐标更小，故的纵坐标为，为）.由，可得.14.球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆）.已知为球的直径，点，在球面上，且是等边三角形，若，，则，两点的球面距离为______.答案：解析：思路：首先通过向量数量积求等边三角形的边长，然后计算对应的球心角，最后根据球面距离的定义计算，两点的球面距离.解答过程：已知为球的直径，，所以球的半径为，，，，因为是等边三角形，所以，则，所以，所以，两点的球面距离为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，.（1）求的值；（2）若，，求的周长.答案：（1）3（2）解析：思路：（1）由已知条件及正弦边角关系，结合三角形内角和性质、和角正弦公式化简得，即可得；（2）根据已知得，结合、求得、，进而求出对应正弦值，应用正弦定理求边长，即可得.（1）由正弦定理得，又因为，所以，所以.因为在锐角中，所以.（2）因为，，所以，因为，所以，所以，所以，，由正弦定理，得，，所以的周长为.16.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的短轴长为4，离心率.（1）求的标准方程；（2）若斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，求的值.答案：（1）（2）12解析：思路：（1）根据条件求出的值，即可求得椭圆方程；（2）依题意，设的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用两点之间距离公式分别化简与，再代入计算即得定值.（1）由题意得，即，又，解得，则的标准方程为.（2）设，，，由题意设的方程为，由消去，可得，由，得，且，.又，同理，所以，即为定值12.17.如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形.，，，，，.（1）证明：；（2）已知是线段上的一点，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用勾股定理可得，再由面面垂直的性质可得平面，然后由线面垂直的性质即可证明；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求面面角，列式求出即可．（1）因为，，，所以，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）由（1）知，平面，因为平面，所以，同理，又因为，所以可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系，得，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，故可取，设，则，所以，，设平面的一个法向量为，则，故可取，由，得，所以．18.袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为.（1）当，时，求的分布列；（2）当时，求；（3）求.答案：（1）234（2）（3）解析：思路：（1）依题意，先推得的可能取值为2，3，4，分别求出其对应的概率值，列出分布列即可；（2）因，则的可能取值为或，分别求出其对应的概率值，利用期望与方差公式即可求得答案；（3）依题意，选取个不同的元素，有种方法，推理得到求出，再利用将其化简，结合组合数的性质即可求得答案.（1）当，时，随机从编号的4个小球中取出2个共有种情况，的可能取值为2，3，4，，，，分布列如表所示234（2）的可能取值为或，，，所以，因此.（3）选取个不同的元素，有种方法，要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选出的，所以，因为，所以.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，（为常数），①证明：当时，函数存在两个零点，；②在①的条件下，若，证明.答案：（1）当时，在上单调递增，当时，在时单调递减；，在时单调递增；（2）①证明见解析；②证明见解析解析：思路：（1）求导，分、两种情况结合导数的符号判断单调性即可；（2）①利用导数分析函数的单调性，根据单调性得到极值，