第十一讲二元随机变量函数的分布

第十一讲二元随机变量函数的分布第一页，共27页。第十一讲二元随机变量函数的分布第二页，共27页。一、二元连续型随机变量及其概率密度定义3.6

（P54）

对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数，使对

(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二元连续型随机变量，

为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～，(x,y)R2二元连续型随机变量第三页，共27页。联合密度的性质(P54)(1)非负性：

0,(x,y)

R2;(2)归一性：(4)重要公式:对于任意平面区域G

R2,第四页，共27页。边际密度函数（P55）第五页，共27页。第六页，共27页。第七页，共27页。三、连续型随机变量的条件分布(P57)第八页，共27页。四、随机变量的独立性（P58）定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是

F(x,y)=FX(x)FY(y) 定理：设(X,Y)是二元连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是第九页，共27页。要求：（1）会由二元连续型随机变量的联合密度求边际密度并能进行简单的相关概率计算。

(2)两个随机变量相互独立时，联合分布与边际分布的关系。第十页，共27页。

在第二章中，我们讨论了一元随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们只讨论几种特殊情形：当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数

Y=g(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的分布?第十一讲二元随机变量函数的分布第十一页，共27页。一、二元离散型随机变量函数的分布（P60）或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地若随机变量X的分布列为：XPk而随机变量Y是X的函数，Y=g(X)，则Y的分布列为：PkY第十二页，共27页。0.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.0500.050123450.150.200.350.150.10123123423450.10.10.050.050.050.10.050.050.20.10.1第十三页，共27页。0.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.05-3-2-10123460.050.050.350.10.150.10.050.1第十四页，共27页。0.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.251230.300.45第十五页，共27页。例3：已知两随机变量与相互独立，其分布如下：

P

0.3

0.5

0.2P

0.4

0.6

解：

P

0.120.380.380.12第十六页，共27页。解：依题意

例4若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,求Z=X+Y的分布i=0,1,2,…j=0,1,2,…即Z服从参数为的泊松分布.k=0,1，…X和Y相互独立第十七页，共27页。

设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度

Z=X+Y的分布函数是:这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.二、二元连续型随机变量函数的分布（P61）1、Z=X+Y的分布FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)第十八页，共27页。

化成累次积分,得由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式(P62).第十九页，共27页。

特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边际密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

这两个公式称为卷积公式

.（P62）第二十页，共27页。为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式即第二十一页，共27页。如图示:第二十二页，共27页。求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.P63设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布第二十三页，共27页。M=max(X,Y)

(M≤z)(X≤z,Y≤z)又由于X和Y

相互独立,M=max(X,Y)的分布函数为:FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)即有FM(z)=FX(z)FY(z)结论的运用可看一下P63例5=P63此处的x,y应改为z=P{max(X,Y)≤z}

第二十四页，共27页。

类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)(N>z)=(X>z,Y>z)第二十五页，共27页。设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,(i=0,1，…,n)它们的分布函数分别为

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: