湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DBBDCABBBDACD题号11答案BCD1．D【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.【详解】因为，所以，故选：D.2．B【分析】由余弦定理结合已知条件可得，从而可得，又由可知为等边三角形，从而可求出的值【详解】由余弦定理得：，又，，，，，．故选：B．【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题3．B【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数，因为，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC；当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象.4．D【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出.【详解】由于服从正态分布，且，故其均值.而服从二项分布，故，再由，就有，得.故选：D.5．C【分析】利用二项展开通项求解计算即可求的系数.【详解】的二项展开通项且，含的项为，所以的系数为.6．A【详解】由题意的可能取值为，且，，，故，.7．B【分析】利用样本相关系数的定义公式，结合与的线性变换关系，化简的表达式后与对比即可得结论．【详解】，由，，即．8．B【分析】设设，圆心，利用两点间距离公式及条件得到，，再利用圆的性质，即可求解.【详解】如图设，以为直径的圆的圆心为，则，

又，得到，所以，因为，得到，又，因为的最大值为，所以，所以的离心率为，故选：B.9．BD【分析】由是定义在上的奇函数，可得,,结合已知条件可得是周期为4的周期函数，进而可以求出的函数表达式为，从而可以对A、B、C、D四个选项作出判断.【详解】由是定义在上的奇函数，则,,又，则函数关于直线对称，用替换得，，再用替换得，，所以是周期为4的周期函数，选项A，由上可知，，所以选项A错误；选项B，由，，则在上的单调性与区间上的单调性一致，因为函数在上单调递增，又关于直线对称，所以关于对称的区间上，单调性相反，所以在区间上单调递减，即在上单调递减，选项B正确；选项C，对整数，由周期性可得的取值：，后续周期重复，则，即一个周期的和为0，又，所以，，因此，选项C错误；选项D，由，所以，由周期为4，则，因为，代入得，选项D正确.10．ACD【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断.【详解】对于选项A：因为的定义域为，且，可得，即切点坐标为，切线斜率为0，所以函数在处的切线方程为，故A正确；对于选项B：令，解得或；令，解得；可知在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值点为，极大值点为，故B错误；对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象：由图可知：当时，与有三个交点，即方程有三个实根，故C正确；对于选项D：因为，所以的图象关于点对称，故D正确.故选：ACD.11．BCD【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图象，由图可得答案.【详解】已知曲线，当，时，曲线；当，时，曲线；当，时，曲线；当，时，曲线；当，时，曲线为原点；因此，画出曲线的图象，如图所示，对于A，曲线的图象有条对称轴，故A错误；对于B，曲线上任意一点到原点的距离为，则，由于，所以，当且仅当时取等号，则，解得，所以曲线上任意一点到原点的最大距离为，故B正确；对于C，由图象可知，曲线所围成的图形是由个半径为的半圆和个边长为的正方形组成，因此曲线所围成的图形的面积为，故C正确；对于D，由于，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，且，，如图所示，当时，，在上单调递减，此时与曲线有个交点；当时，，在上单调递增，此时与曲线有个交点；因此函数的图象与曲线的图象在第一象限有个交点，根据函数的对称性，函数的图象与曲线的图象在第二象限也会有个交点，所以函数的图象与曲线的图象有且仅有个交点，故D正确.12．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．【详解】由曲线，则，所以，故曲线在点处的切线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．13．【详解】由题意得，所以，解得．14．/【分析】由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为.【详解】①已知，正态曲线图像关于对称，故，因此.②由题意，，满足，且与独立，由全概率公式：

(1)令，则,即等价于

(2)(1)(2)两式相加结合第一空的结论，得.15．(1)；(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，计算出等差数列的基本量，即可求得通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法，求得数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则得，解得，；（2），的前n项和．16．（1）0.95，与具有较强的线性相关关系（2）估计值为【解析】（1）直接利用公式计算得到，得到答案.（2）计算得到回归方程为，代入数据计算得到答案.【详解】，，，相关系数，因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系.（2）由可知，，，所以与之间线性回归方程为，当时，.当指标数为时，指标数的估计值为.【点睛】本题考查了相关系数，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.17．(1)证明：∵四边形为矩形，且为的中点

取中点，连接，，因则,且,又因是的中点， 且，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面∴平面.(2)【分析】(1)中没有现成的线线平行，构造平行四边形从而得到想要的线线平行(2)向量法各自求两个面的法向量，然后用计算二面角的公式得到；几何法需要证明面面平行后找到空间中面面角的平面角，从而通过三角函数计算得到【详解】（1）略（2）在矩形中，，又∵面平面，平面平面，平面∴平面∵，

，，平面∴平面∵∴平面又∵平面

∴方法一：以为原点建立空间直角坐标系如图所示，∵，∴∴，，，，∴，设平面的法向量为故可取依题意，可取为平面的一个法向量，∴设平面与平面夹角为，则∴平面与平面夹角的余弦值为.方法二：∵且，平面，平面，∴平面，又由(1)得,因平面，平面，则平面，又，平面，∴平面平面，∴平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，∵平面，平面，∴，又∵平面平面，，∴平面与平面夹角为，在中，，∴平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)0.8186；(2)①；②3【分析】（1）由频率分布直方图求得，得，判断产品为正品的质量差在内，利用正态曲线的对称性和相应的额概率值计算即得.（2）①依题意，利用古典概型概率公式计算即得；②依题，运用二项分布概率公式可得，利用求导得到当时即时，取得最大值.【详解】（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：，依题得，，，所以，则优等品的质量差在即内，一等品的质量差在即内，所以正品的质量差在和内，即内，故该企业生产的产品为正品的概率：；（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有种选法，故某箱产品抽检被记为B的概率为：．②由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为，由，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为．此时由，可解得：（舍去），∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为．19．(1)(2)存在，且直线的方程为(3)【分析】（1）借助椭圆定义计算即可得；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立可得与交点纵坐标有关韦达定理，再分及计算即可得解；（3）由椭圆的对称性，不妨设，则可得，设出直线方程，与椭圆方程联立可得与交点纵坐标有关韦达定理，则可结合列出含、、、有关等式，结合范围与椭圆离心率定义计算即可得解.【详解】（1），由椭圆定义可得，故的周长为；（2