湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教版）（解析版）

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DDCCADBCACABC题号11答案ABC1．D【详解】试题分析：,故选D.考点：1.复数的运算；2.复数相关概念.2．D【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D.【详解】因为，故A错误；因为，故B错误；因为，故C错误；根据向量加法的三角形法则可知，故D正确.故选：D3．C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选：C.4．C【分析】首先根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，求出参数的值，然后计算各组频率，确定，分位数所在的区间，最后利用面积比例关系计算得出结果．【详解】由频率分布直方图可知，组距为，根据所有小矩形的面积之和为，得，解得，分数在的频率为；分数在的频率为；分数在的频率为；分数在的频率为；分数在的频率为，因为前四组的频率之和为，前五组的频率之和为，所以分位数位于区间内，设分位数为，，解得，所以估计这名学生成绩的分位数为．5．A【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6．D【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解.【详解】若，，，则或异面，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，，可能有，故C错误；若，，则，又，则，故D正确，故选：D.7．B【分析】利用圆锥侧面积与球表面积相等的关系推导圆锥母线长和半径的关系，结合圆锥的勾股定理求出高，代入体积公式即可求解球半径.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意得，球的表面积为，圆锥侧面积为，由可得：，化简得，根据圆锥的几何性质，母线、底面半径、高满足勾股定理，代入、得：，已知圆锥体积，将、代入得：，解得，故B正确.8．C【分析】设侧棱长为，利用面面角、线面角及线线角定义，找到角，再利用诱导公式把消去，最后用两角和的余弦公式解出即可.【详解】如图，设正三棱锥的底面中心为，连接并延长交于点,连接.因为正三棱锥底面是正三角形，所以是正的中心，,又底面，根据三垂线定理可得,则就是侧面与底面所成二面角的平面角，即.因为底面，所以就是侧棱与底面所成的线面角，即.因为正三棱锥的对棱互相垂直，所以与所成的线线角.

已知，，所以=.设侧棱，底面正的边长，则,在正中，,所以.在中，，，,在中，,，,，又因为，所以化简得即令，则解得或即或，因为所以，即.9．AC【详解】，A正确；设，即，解得，即，所以是共面向量，B错误；，所以，C正确；，D错误.10．ABC【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断.【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生的同时也有可能发生（第一次为3，第二次为1），故不是互斥事件，A正确；对于B，因为，而，故，即事件与事件相互独立，B正确；对于C，因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，，C正确；对于D，事件发生的概率，D错误；11．ABC【分析】关键在于根据已知条件求出，再设出向量，的坐标，进而得到向量的坐标满足的方程，最后根据方程求出的取值范围，从而判断选项.【详解】已知，所以，即因为，所以，代入，解得.设则，不妨取，所以.设则，.所以，整理得配方得.,其几何意义是圆上的点到原点的距离.圆心坐标为，半径为.圆心到原点距离为所以的最大值为最小值为最后选项中在范围内的有1，2，12．【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解.【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，垂足为，可知为四棱台的高，则，，所以，．故该棱台的体积为．13．3【分析】利用方差的定义转化已知条件为，目标多项式利用二次函数的性质求最小值.【详解】设三个数的平均值为，则方差，则有，，由二次函数的性质可知，当，即时取最小值，最小值为.14．【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解.【详解】由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接，由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以，由三角形面积公式，.15．(1)，.(2)【分析】（1）利用平面向量基本定理即可将向量表示出来，然后根据求模公式和数量积的定义可求出.（2）利用向量数量积的定义求解即可.【详解】（1）如图所示，.所以.（2）如图，因为.由（1）知，.所以.而，所以.16．(1)众数为，平均数为.(2)每天应该进千克苹果．【详解】（1）由图可知，区间的频率最大，所以众数为；.该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75.（2）日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内.由，得.每天应该进千克苹果．17．(1)；(2)；【分析】（1）利用平面向量线性运算法则即可得解；（2）利用向量的模长和数量积计算即可.【详解】（1）由得..由得..（2）.代入，，.得，故..18．(1)在中，由分别是的中点，得，又平面，平面，则平面，又平面平面平面，因此，而平面，平面，所以平面.(2)(3)【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定及性质推理得证.（2）取中点，利用线面垂直的判定结合已知求出，再利用定义法求解.（3）由（2）在平面内以点为原点建立平面直角坐标系，，求出球心及点坐标，利用数量积的几何意义求出范围.【详解】（1）略（2）在正中，取中点，连接交于点，由分别是的中点，则为的中点，连接，，又，则，即，平面，因此平面，平面，而平面，则，，又，，于是，因，则，在中，，，取中点，连接，则，为二面角的平面角，由，得，在正中，，而，因此，，又平面即为平面，所以平面与平面的夹角的正弦值为.（3）由（2）知，平面平面，又点在平面内的射影在四边形内部，则点在平面内的射影在线段（除点外）上，在等腰梯形中，，则，点为等腰梯形外接圆圆心，球心在过点垂直于平面的直线上，球心平面，设，则点到平面的距离为，，则，由，得，设，球的半径为，则，在平面内以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，，解得，又，因此，由，得，令，，函数在上单调递增，则，，解得，所以直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围为.19．(1)证明如下：因为，所以，即．(2)（ⅰ），（ⅱ）证明如下：，已知存在两个不同的锐角，使得，设，则，锐角，是两个不同的锐角，则符号相反，，即，化简整理得，，，为锐角，则，．【分析】（1）利用基底法表示向量，结合已知条件求出向量的数量积，利用数量积为0证明结论；（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，根据投影偏差率定义求解，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解；（ⅱ）根据投影偏差率定义结合（ⅰ