湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案ACBCCDCAADABD题号11答案ABD1．A【详解】由，所以的虚部为．2．C【分析】根据题意，结合正弦型函数的周期性和奇偶性即可求解.【详解】因为，而，所以，即为偶函数，周期，所以是周期为的偶函数，故C正确.3．B【详解】，只有当直线垂直于两个平面交线时，，当前条件无法推出线面垂直，故A错误；设，由面面垂直性质，内存在直线垂直于，直线与平行，且，故，B正确；，两个平面可以相交，如两个相交平面内各取一条互相平行的直线，满足条件但平面不平行，故C错误；异面直线分别在两个平面内，两个平面可以相交，故D错误．4．C【分析】分别利用圆台和圆柱的体积公式计算出茶壶和茶杯的容积，求商即可求得结果.【详解】设圆台形茶壶的上口半径为，下口半径为，高为，圆柱形品茗杯的底面半径为，高为，则，根据圆台的体积公式，可得茶壶的容积.根据圆柱的体积公式，可得品茗杯容积，则最多能倒满的杯数为.故最多能倒满15杯.5．C【分析】结合长方体体积公式、三棱锥体积公式及中点性质计算三棱锥体积.【详解】设长方体的长，宽，高，则.因为为的中点，所以，底面为直角三角形，其面积.又平面，故为三棱锥底面上的高，进而.6．D【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为，由球的体积公式得.7．C【详解】由可得，与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1，而与交点的横坐标等于1，从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为,且当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足，当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足，当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足，当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足，8．A【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定的关联，最后结合题给条件求解．【详解】，，即，，，即，令，则在上单调递增，方程有唯一解，，．故选：A．9．AD【分析】利用正弦定理判断A，利用总体百分位数的估计判断B，利用正弦定理结合二倍角公式判断C，根据频率分布直方图的性质判断D即可.【详解】对于A，在中，由题意得，则，由正弦定理得，得到，故A正确，对于B，将数据排序，可得，且，则下四分位数为，故B错误，对于C，因为，所以，可得，得到，由二倍角公式得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误，对于D，数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其中位数小于平均数，故D正确.10．ABD【分析】A选项，利用平面向量基本定理可得答案；B选项，得到为三角形的重心，得到B正确；C选项，设，根据三点共线得到方程，求出，C错误；D选项，用平面向量基本定理，利用表达出，，利用向量数量积公式计算出答案【详解】A选项，，故，A正确；B选项，，故为的重心，所以分别为的中点，所以，B正确；C选项，，，设，因为三点共线，所以，解得，故，故不为的三等分点，C错误；D选项，，，，所以，D正确11．ABD【分析】A.通过线面垂直证明线线垂直；B.先找到线面所成的角，再在直角中求解角的正弦值；C把长方形与正方形展开成一个平面，当三点共线时求解；D.先作出截面，再求解面积.【详解】对于A，在正方体中，由平面，知平面，又平面，则，故A正确；对于B，连接，，在正方形中，，由平面，平面，得，又，平面，则平面．过点作交于点，连接，于是平面，故是直线与平面所成的角，在中，，，则，故B正确；对于C，如图：把长方形与正方形展开成一个平面，当三点共线时，此时最小，为，，故C错误；对于D，若，延长，与的延长线交于点，连接与相交于点，连接，如图：由比例关系可得，则过三点作该正方体的截面是梯形，记梯形的高为，由题意得，在中，由余弦定理得，则，得．故，故D正确．12．【详解】由图知，，，则．13．【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可.【详解】因为，在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，，即纪念碑高为米.故答案为：.14．0.973【详解】由柱状图可知，100件样本中，一级品共70件，因此任取1件产品是一级品的概率为，任取1件产品不是一级品的概率为.“取出3件中至少有1件一级品”的对立事件是“取出的3件都不是一级品”，因此从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件产品是一级品的概率为.15．(1)或(2)【分析】（1）化简得到，根据偶函数得到，根据范围得到答案.（2）确定，根据对称轴得到，解得答案.【详解】（1），故是偶函数，那么，即，，，或时满足条件，故或.（2）当时，，要让函数恰有3条对称轴，那么,解得，即16．(1)(2)【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用三角形的面积公式求解.（2）（方法一）联立方程组计算出的值，利用余弦定理求出，从而求出的周长.（方法二）由余弦定理及，求出，从而求出的周长.【详解】（1）因为，所以.因为，所以的面积为.（2）（方法一）由，得或，由余弦定理，得，解得.故的周长为.（方法二）由余弦定理，得，解得.故的周长为.17．(1)异面，理由为：如图所示，取中点，连接，，则，因为四边形为平行四边形，所以，，又因为，且，所以，且，则四边形为平行四边形，且，，所以且，所以四边形为平行四边形，且，又，且平面，所以与异面.(2)因为，是的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.【分析】（1）根据平行传递性证明线线平行，进而证明直线异面；（2）根据面面垂直证明线面垂直，即可证明异面直线垂直.【详解】（1）略（2）略18．(1)，众数为(2)分．(3)；【分析】（1）由概率之和为以及即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可；（2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可；（3）由分层随机抽样的平均数和方差公式计算即可.【详解】（1）依题意可知，，又，解得，

由图可知样本数据的众数落在区间内，所以估计样本数据的众数为125．（2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为，成绩落在中的频率为0.25，则获得一等奖学生的最低分应落在中．

设获得一等奖学生的最低分为x，则有，解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分．（3），

.19．(1)(2)(3)【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，进而可求解；（2）将问题转换成直线与交点问题，研究的单调性和最值，进而可求解；（3）利用函数单调性，不等式等价于恒成立，令，由，得在上恒成立，利用导数求的最大值即可.【详解】（1）由，得，，，所以切线方程为，即.（2）有两个不同零点等价于直线与有两个交点，由，得：时，单调递减，时，单调递增，此时在处取最小值，又