《线性系统分析与设计》-第四单元

实验一PID参数自整定(一)实验目的①了解和掌握连续控制系统的PID参数整定的方法。②掌握对不同被控对象设计校正网络的原理方法。③掌握校正网络P、PI、PD调节器参数整定设计方法。④掌握用实验箱进行校正的实现。⑤观察和分析校正网络对系统性能的影响。(二)实验原理及说明二阶系统动态指标分析:根据计算欠阻尼二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态指标超调量Mp、上升时间tp、调整时间ts，进行系统的动态特性分析。下一页返回实验一PID参数自整定对于二阶系统的闭环传递函数标准式超调量调解时间上升时间上一页下一页返回实验一PID参数自整定(三)实验要求(1)观测被控系统的时域曲线，按“校正后系统的超调量Mp≤x、ts≤γ’的要求，设计校正参数，构建校正后系统。(2)观测校正前后的时域特性曲线，并测量校正前后系统的超调量,调整时间和峰值时间。(3)按“校正后系统的超调量”不同的要求，自行设计校正参数，构建校正系统，观察校正前、后的时域特性曲线，并测量校正后系统的超调量，调整时间和峰值时间。上一页下一页返回实验一PID参数自整定(四)校正网络设计1.比例校正例如:三阶闭环系统模拟电路如图4-1所示。它由一个积分环节和两个惯性环节构成。其积分时间常数为T1=R1XC1=1s，惯性时间常数分别为T1=R3XC2=0.1s，K1=R3/R2=1和T2=R4XC3=0.5s，开环增益K=12。该电路的开环传递函数为该电路的闭环传递函数为上一页下一页返回实验一PID参数自整定可得闭环系统的特征方程为其根可解得由于系统具有虚轴上的共扼极点，可知系统为临界稳定。用MATLAB仿真系统的单位阶跃响应，其结构如图4-2所示。其响应曲线如图4-3所示。响应曲线为等幅振荡，超调量为100%，过渡过程时间为无穷大。由劳斯阵列分析可知，当系统的开环增益K=12时，系统临界稳定；当K>12时，系统不稳定；当K<12时，系统稳定。因此，若能适当减小系统的开环增益K，就可使系统稳定，通过比例(P)校正，使得K值变小即可达到改变系统性能目的。上一页下一页返回实验一PID参数自整定下面对该系统进行比例(P)校正，即在其开环传递函数之前串联比例环节并构成闭环反馈。取比例系数为0.2，用MATLAB仿真校正后系统的单位阶跃响应如图4-4所示。校正后系统响应曲线仿真结果如图4-5所示。可以看到，经过P校正，系统从临界稳定变为稳定，其单位阶跃响应曲线的超调量为30%，峰值时间为1.6s，调整时间约为3.8s(△=5%)，验证了比例(P)校正的良好效果。硬件实现:系统加入校正环节的电路图如图4-6所示。实测系统校正前后的单位阶跃响应曲线如图4-7所示。校正环节电路实现如图4-8所示。上一页下一页返回实验一PID参数自整定2.比例微分校正1)确立模型结构在工程中PID的了个参数难以确定，一般使用P、PI或PD控制。例如PD控制，如图4-9所示。其开环传递函数为其闭环传递函数为:设:上一页下一页返回实验一PID参数自整定有效阻尼比为即式(4-5)说明，比例一微分校正的二阶系统是一个有零点的二阶系统，不能直接应用标准二阶系统分析方法分析。比例一微分校正的二阶系统将不改变系统的自然频率，但是可以增大系统的有效阻尼比，以抑制振荡；适当选择微分时间常数Td值，可使得系统既具有好的响应平稳性，又具有满意的响应快速性，微分附加的存在，增加了时间响应中的高次谐波分量，使得响应曲线的前沿变陡，提高系统的快速性。上一页下一页返回实验一PID参数自整定(1)按Mp≤x求进行设计，可得到εd的范围，求得Td。(2)取Td的值，令P=0.2、0.5、1、2，分别试凑，满足给定要求。2)举例(图4-10)系统的开环传递函数为要求设计控制器，使得超调量Mp≤28%，调整时间ts≤1s，峰值时间tp≤0.4s。首先对原系统进行仿真，其仿真结果为:超调量Mp=60%，峰值时间tp=0.3s，调节时间ts=2.5s(△=5%)如图4-11所示。上一页下一页返回实验一PID参数自整定根据从图4-10所示图中查到的超调量Mp、tp、调节时间ts(△=5%)的值，代入，即计算得ωn=10,ε=0.1667，添加PI控制器后，系统的传递函数为系统的闭环传递函数为上一页下一页返回实验一PID参数自整定(1)按Mp≤20%的要求进行设计，可得到εd≥0.4的范围。(见表4-1)由求得Td，即2X0.4X10=3.33+100Td→Td=0.0467二阶系统阻尼比ε与超调量Mp的关系见表4-1。(2)取Te=0.05，再令P=0.2、0.5、1、2分别试凑，即取P=0.5，代入系统后得到的传递函数为加入比例微分校正的仿真结果如图4-12所示。从图4-12中观测出超调量Mp=0.14%，调整时间ts=1.7s，测试结果表明符合设计要求。上一页下一页返回实验一PID参数自整定硬件实现加入校正环节的框图如图4-13所示。校正前后实测的阶跃响应曲线如图4-14所示。校正环节电路实现如图4-15所示。其中:上一页下一页返回实验一PID参数自整定3.比例积分校正比例积分常用于温度控制、液位控制和阀门的开度控制，对于被控对象中含有纯延迟环节和多惯性的系统，不仅会产生大延迟，更重要的是系统输出和输入将产生很大误差。此时，采用比例微分校正效果不显著，可以采用比例积分校正。为了消除系统中纯延迟或大惯性环节的影响，使得控制器的积分时间等于系统中最大时间常数，再逐步增大比例，最后确定PI参数。例如:对于开环传递函数要求设计控制器，使得超调量Mp≤25%，调整时间ts≤2s，稳态误差e∞=0。其仿真框图和单位阶跃响应曲线如图4-16所示。上一页下一页返回实验一PID参数自整定从原系统的仿真结果中观测出:超调量Mp=64%，ts=4.4s，稳态误差e∞=0.25，由于稳态误差比较大，必须加入积分环节，设比例积分的传递函数为取Ki等于惯性环节的最大时间常数，即则调整Kp的值，Kp=0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6，取K=0.4，则仿真框图和单位阶跃响应曲线如图4-17和图4-18所示。上一页下一页返回实验一PID参数自整定从仿真结果中可看出，超调量Mp=10%，调整时间ts=1.6s，稳态误差e∞=0，仿真结果符合设计要求。同理，对于多级液位系统，其传递函数由多个惯性环节组成，例如开环传递函数电路实现如图4-19所示。其单位阶跃仿真结果如图4-20所示。由图可知，单位阶跃曲线只能稳定在0.3~0.35范围内。此时要消除与设定的误差，必须加入比例积分校正环节，由式(4-11)，取Ki为原系统的最大时间常数可以得到控制器上一页下一页返回实验一PID参数自整定同样，取Kp=0.4，得到的仿真框图及曲线如图4-21所示。从仿真结果观测出，在输入1V的阶跃信号后，稳态误差为零，超调量小于20%，满足了设计要求。系统硬件实现如图4-22和图4-23所示。加入校正环节的框图如图4-23所示。校正前后的阶跃响应曲线如图4-24所示。其中校正环节电路实现如图4-25所示。上一页下一页返回实验一PID参数自整定(五)实验步骤(1)按照图4-1所示模拟电路图连接电路。(2)采用函数发生器输出矩形波(连续的正输出的阶跃信号)作为输入系统的输入Ui，用虚拟示波器的两个通道分别采集系统的输入和输出信号。运行实验程序，选择“线性系统时域分析”→“启动实验项目”命令，弹出实验界面后，调节实验机上函数发生器单兀的“幅度调节”使矩形波输出幅度为3V，调节“正脉宽调节”使输出宽度≥2秒。(3)运行、观察、记录原系统的超调量、过渡过程时间和上升时间。上一页下一页返回实验一PID参数自整定(4)加入图4-6所示的比例环节，再观察系统的超调量、过渡过程时间和上升时间并进行比较。(5)按照图4-13所示模拟电路图连接电路，重复(2)(3)。并将加入比例微分环节前后的超调量、过渡过程时间和上升时间进行比较。(6)按照图4-23模拟电路图连接电路，重复(2)(3)，并将加入比例微分环节的超调量、过渡过程时间和上升时间进行比较。上一页下一页返回实验一PID参数自整定(六)实验报告要求按表4-2所示构建实验被控对象。(1)用闭环单位阶跃响应的方法获取参数分别填入表4-2。(2)选择不同传递函数填入表4-2。(3)求取数字P、PI、PD调节器控制参数Kp，Ki和Kd，观察阶跃响应分别填入表4-2。(4)画出加入数字PI和PD闭环控制系统实验响应曲线。(5)记录数字PI、PD闭环控制系统的超调量Mp、稳态时间及峰值时间tp分别填入表4-2。要求其超调量Mp≤25%，调节时间l应尽量小。同时对该系统设计P控制器和PI和PD控制器，实测系统的阶跃响应曲线并与校正前的曲线作对比，最后进行分析。上一页返回实验二频率法分析与设计(一)实验目的①了解线性系统频率特性的基本概念。②了解和掌握Ⅰ型二阶开环系统中的对数幅频特性和相频特性，实频特性和虚频特性的计算。③了解和掌握欠阻尼Ⅰ型二阶闭环系统中的自然频率、阻尼比对开环参数幅值穿越频率和相位裕度的影响，及幅值穿越频率和相位裕度的计算。④研究表征系统稳定程度的相位裕度和幅值穿越频率对系统的影响。⑤了解和掌握Ⅰ型二阶开环系统对数幅频曲线、相频曲线和幅相曲线的构造及绘制方法。下一页返回实验二频率法分析与设计(二)实验原理及说明频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究和分析控制系统的动态性能与稳态性能。伯德图又称对数频率特性曲线(包括对数幅频和相频两条曲线)，由于方便实用，因此被广泛地应用于控制系统分析时的作图。对数频率特性曲线的横坐标统一为角频率ω，并按十倍频程(dec)对数分度，单位是弧度/秒(rad/s)。对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，为均匀分度，单位是分贝(dB)。对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，为均匀分度，单位是度。上一页下一页返回实验二频率法分析与设计对于二阶开环系统的频率特性曲线，若计算欠阻尼二阶闭环系统中的幅值穿越频率ωc、相位裕度γ，则γ值越小，Mp越大，振荡越厉害；γ值越大，Mp越小，调节时间ts越长，因此为使二阶闭环系统不至于振荡太厉害及调节时间太长，一般希望30°≤γ≤70°，通常以γ作为设计依据。上一页下一页返回实验二频率法分析与设计当控制系统开环增大到满足其动态性能时，需要在系统的前向通道中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的情况下，系统的性能满足设计要求。超前校正的原理是利用超前校正相角的超前特性，使中频段斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec并占据较大的频率范围，从而使系统相角裕度增大，动态过程超调量下降；并使系统开环截止频率增大，从而使图4-26超前控制的RC电路实现闭环系统带宽也增大，响应速度也加快。因此，实验中超前控制常采用RC电路实现，如图4-26所示。其电路的传递函数为上一页下一页返回实验二频率法分析与设计式中时间常数T为分度系统a为由对数频率特性可知，超前网络对1/T与1/(aT)之间的输入信号有明显的微分作用。且位于ω1=1/(aT)和ω2=1/T之间的几何中心，在该频率范围内，输出信号的相角超前输入信号的相角。在设计超前校正网络时，应使网络的最大超前角频率、尽可能出现在校正后的系统的幅值穿越频率处。从而使校正网络在ω’c=ωm处产生补偿的超前相位角ψm，弥补校正前系统相位稳定裕度的不足，这就是超前校正的原理。上一页下一页返回实验二频率法分析与设计由ωm=2πψm，超前相位角与分度系统参数关系为获取分度系统参数。是由bode图获得校正前截止频率ωc和相位裕度γ来计算超前相位角ψm。其中:γ’和γ分别为校正后设定相位裕度和校正前系统的裕度。最大超前频率与时间常数的关系为上一页下一页返回实验二频率法分析与设计由式(4-19)和式(4-20)求得超前角频率和分度系统参数a，由式(4-21)计算时间常数T，最后使用式(4-19)和式(4-18)算出电阻R1和R2的阻值。(三)实验要求(1)观测被控系统的频域曲线，按校正后系统的相位裕度γ’=52°要求设计校正参数，构建校正后系统。(2)构建被控系统，分别仿真和测量其系统bode图和阶跃响应曲线，观测其相位裕度γ’、超调量Mp、过渡过程时间，峰值时间tp。(3)加入校正环节，设计校正参数，构建校正系统，观察校正后的频域和时域特性曲线，并测量校正后系统的超调量Mp,调整时间ts和峰值时间tp。上一页下一页返回实验二频率法分析与设计(四)校正网络设计1.比例校正例如:二阶闭环系统模拟电路如图3-14所示。它由一个积分环节和一个惯性环节构成。其积分时间常数为T1=R1XC1=2s，惯性时间常数分别为T2=R2XC2=0.3s，K=R2/R3=6。电路构成如图4-27所示。系统的开环传递函数为利用MATLAB测量系统的阶跃响应曲线如图4-28所示。从图4-28中可计算出超调量Mp=60%，峰值时间tp=0.3s，调节时间ts=2.5s(△=5%)。利用MATLAB测量系统的bode图曲线如图4-29所示。上一页下一页返回实验二频率法分析与设计从图4-29中计算超调量、过渡过程时间、幅值穿越频率、相位裕度为Pm=19°(相位裕量)、ωc=10rad/s(穿越频率)利用实验箱测量原系统的阶跃响应曲线和bode曲线如图4-30和图4-31所示。计算超调量、过渡过程时间的值：超调量Mp=57.2%，峰值时间tp=0.332s，调节时间ts=1.8s(△=5%)。在开环对数幅频曲线中测得系统频域特性:穿越频率ωc=9.28rad/s，相位裕度γ=19°。如果设计要求校正后系统的相位裕度大于γ’=52°，则最大超前相位角必须为上一页下一页返回实验二频率法分析与设计其中△为γ(ωc<ωc’)滞后的角度考虑：一般取5°~12°，这里选择△=9°。即sinψm=sin42°=0.67由a和ωm的值计算的时间常数为取T=0.1，设计的控制器为将控制器加入到被控对象中进行仿真，其仿真框图和阶跃曲线如图4-32所示。上一页下一页返回实验二频率法分析与设计加入校正后仿真的bode图如图4-33所示。从图中观测出相位裕量Pm=61.9221，穿越频率为ωc=7.5521，满足了给定要求。由时间常数T、超前相位角ψm、式(4-17)和式(4-18)，取C=10μF，计算出R1=50kΩ，R2=12.5kΩ，搭建电路如图4-34所示。利用实验箱测量加入校正环节的阶跃响应曲线和bode图如图4-35和图4-36所示。计算超调量、过渡过程时间的值:超调量Mp=13.2%峰值时间tp=0.364s，调节时间ts=0.8s(△=5%)。从曲线图左下角读出穿越频率的ωc=6.99rad/s，计算出相位裕度γ=180°-111.74°=68.26°，于是可知，硬件设计满足了系统指标要求。上一页返回图4-1Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路图返回图4-1Ⅰ型三阶闭环系统模拟电路图返回图4-2未校正系统单位阶跃响应仿真结构图返回图4-3未校正系统单位阶跃响应曲线返回图4-4校正