3.1　3.1.1　第1课时　函数的概念-高一上学期数学必修一课件人教A版

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念

第1课时函数的概念素养目标思维导图1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念(数学抽象).2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用(数学抽象).课前自主学习问题:函数就是数与数之间的一种“通信”方式.一枚炮弹发射后,经过26s落在地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.(1)炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么?提示:A={t|0≤t≤26}.(2)炮弹距地面的高度h的变化范围的集合B是什么?提示:B={h|0≤h≤845}.(3)对任一时刻t,高度h是否唯一确定?提示:唯一确定.(4)数t按照什么样的方式与数h建立“通信”关系?提示:h=130t-5t2.【核心概念】1.函数的定义设集合A,B是______________,如果对于集合A中的_____________,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有______________和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作___________.2.函数的定义域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做________,x的取值范围A叫做函数的________.3.函数的值域与x的值相对应的y值叫做________,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.非空的实数集任意一个数x唯一确定的数yy=f(x),x∈A自变量定义域函数值课堂合作探究探究点一

判断是否构成函数【典例1】(多选题)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(

)A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数 D.A=R,B={x|x≥0},f:A中的数取绝对值【思维导引】根据函数的定义逐个分析判断即可.【解析】选AD.对于A,因为(-1)2=1∈B,12=1∈B,02=0∈B,所以A正确;对于B,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义,所以B错误;对于C,集合A中的元素0取倒数没有意义,不符合函数定义,所以C错误;对于D,因为任意实数的绝对值都是非负的,且是唯一的,所以集合A中的任意元素都在集合B中对应着唯一的函数值,所以D正确.【类题通法】判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)检验:判断A,B是不是非空实数集.(2)任意性:判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应;(3)唯一性:判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应.提醒:函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x都有(存在性)数集B中唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.【定向训练】下列曲线能作为函数图象的是

.(写出所有满足要求的图象序号)

【解析】根据函数的概念,垂直于x轴的直线与函数的图象最多有一个公共点,在②③中,直线x=0与图象有两个公共点,不符合题意,而①符合题意,所以满足题意的只有①.答案:①探究点二

常见函数定义域和值域【典例2】(一题多解)求下列函数的值域:(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}.(2)y=-x2-2x+3(-1≤x≤2).【思维导引】求值域的方法:①利用解析式逐个求;②用直接法;③分离常数后逐步求出;④利用二次函数求.【解析】(1)将x=1,2,3,4,5分别代入y=2x+1,算得函数的值域,故值域为{3,5,7,9,11}.(2)方法一(配方法):y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.因为-1≤x≤2,所以0≤x+1≤3,所以0≤(x+1)2≤9.所以-5≤-(x+1)2+4≤4.所以函数的值域为{y|-5≤y≤4}.方法二(数形结合法):如图,画出二次函数的图象,观察图象,得到在-1≤x≤2上的最高点为(-1,4)和最低点为(2,-5),可知二次函数y=-x2-2x+3(-1≤x≤2)的值域为{y|-5≤y≤4}.【类题通法】1.求函数的定义域,其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值集合.2.求函数值域的方法(1)应首先确定定义域,由定义域及对应关系确定函数的值域.(2)对一些简单的函数,可用观察法直接求解;(3)对于二次函数,常用配方法求值域;(4)对于分式类型的函数,可采用分离常数法求解;(5)对于带根号的函数,常用换元法求值域.【定向训练】1.(2025·无锡高一检测)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是(

)【解析】选A.选项A,定义域符合、值域也相符,故A正确;选项B,定义域为{x|-2<x≤2}≠M,值域为{y|0≤y<2}≠N,不满足定义域和值域,故B错误;选项C,定义域为{x|-2≤x≤0}≠M,值域为{y|0≤y≤2}=N,不满足定义域,故C错误;选项D,根据函数定义知,对于每一个x都有唯一确定的y和它对应,故D中图象不是函数的图象,故D错误.2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的值域为

.

【解析】由题图易知函数的值域为[-4,3].答案:[-4,3]课堂练习1.已知集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应关系f中,能构成从A到B的函数的是(

)【解析】选D.本题利用函数的定义,对于定义域内的任意数x∈{x|0≤x≤2},在集合B={y|0≤y≤3}中都有唯一确定的数与它对应.√2.已知集合A={1,2,k},B={4,7,10},x∈A,y∈B,使B中元素y和A中元素x一一对应,对应关系为y=3x+1,则k的值为(

)A.5

B.4

C.3

D.2【解析】选C.根据对应关系为y=3x+1,3×1+1=4,3×2+1=7,由题意可得3k+1=10,所以k=3.3.图中能表示函数关系的是

(填序号).

【解析】由于③中的2与1和3同时对应,故③不是函数.答案:①②④√4.函数