2026届高三三模数学立体几何试题及答案_第1页
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2026届高三三模数学立体几何试题及答案如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，BD=AB=2，AC与BD交于点O，PA=PC，平面PAC⊥平面ABCD。(1)证明：BD⊥PA；(2)若PA=AC，求二面角A-PB-D的余弦值。(1)证明：因为底面ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直，因此AC⊥BD。已知平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC与平面ABCD的交线为AC，BD⊂平面ABCD，根据面面垂直的性质定理可得BD⊥平面PAC。又PA⊂平面PAC，因此BD⊥PA。(2)解：由PA=PC，O为AC的中点，可得PO⊥AC。又PO⊂平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，因此PO⊥平面ABCD。以O为坐标原点，分别以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系。由BD=AB=2，菱形对角线互相平分，可得OB=OD=1，在Rt△AOB中，AO=√(AB²OB²)=√(2²1²)=√3，因此AC=2AO=2√3，各点坐标分别为：A(0,-√3,0)，B(1,0,0)，D(-1,0,0)，由PA=AC=2√3，在Rt△POA中，PO=√(PA²AO²)=√((2√3)²(√3)²)=√(123)=3，因此P(0,0,3)。由此可得向量AP→=(0设平面APB的法向量为┌m┐=(,,)，则满足{┌m┐设平面PBD的法向量为┌n┐=(,,)，则满足{┌n┐计算两法向量夹角的余

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