初中数学九年级中考专题复习：图形相似的深度建构与模型应用导学案

初中数学九年级中考专题复习：图形相似的深度建构与模型应用导学案

一、教学内容解析

（一）课标定位与单元架构

本课属于“图形与几何”领域中“图形的变化”与“图形的性质”的交叉融合内容。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本专题复习的核心要求是：通过具体实例认识图形的相似，探索并掌握相似多边形的判定与性质，重点理解相似三角形的判定定理与性质定理，能将其应用于解决实际问题，并在问题解决过程中发展几何直观、空间观念、推理能力与模型观念。苏科版教材将“图形的相似”编排于九年级下册第六章，其知识序列遵循“概念界定—特例研究—性质探索—应用拓展—位似升华”的逻辑主线。中考专题复习并非新授课的机械重复，而是基于单元整体视角，将碎片化知识重组为结构化认知体系，实现从“学会”到“会学”、从“知识”到“素养”的跨越。本学案定位为“第二轮专题复习”，即在完成第一轮全面梳理后，聚焦核心模型与思想方法，通过“少而精”的深度探究，达成对相似图形的通透理解。

（二）核心知识图谱与逻辑关联

【核心根基】相似图形的本质定义：形状相同，大小不一定相同。这是判定两个图形是否相似的逻辑起点，也是区别于全等（形状相同且大小相等）的关键特征。相似多边形需同时满足“对应角相等”与“对应边成比例”两个条件，二者缺一不可。

【高频考点·重中之重】相似三角形的判定与性质。判定定理包括：平行线判定（A型、X型基本图形）、两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例。性质定理涵盖：对应角相等、对应边成比例、对应线段（高、中线、角平分线）比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

【重要关联】相似与全等的辩证关系（全等是相似比为1的特例）；相似与比例线段的互译；相似与函数（建立比例关系转化为函数解析式）；相似与方程（利用对应边成比例列方程求线段长）；相似与坐标（网格中的相似判定、位似变换下的坐标变化规律）；相似与物理（凸透镜成像、杠杆平衡、光的反射）的跨学科融合点。

【难点·思维高原】动态几何中的相似存在性问题的分类讨论；复杂图形中基本模型的剥离与提取；基于等线段代换、等比代换、等积代换的复杂比例式证明；相似与圆（圆幂定理、切割线定理）的综合运用。

二、学情分析

（一）知识储备诊断

授课对象为完成第一轮基础复习的九年级学生。优势在于：已记忆相似图形的基本概念，能识别简单的相似三角形，会进行基本的比例计算。瓶颈在于：知识呈点状分布，未形成网络；面对叠加了平移、旋转、折叠等变换的综合题时，缺乏从复杂背景中剥离基本图形的能力；对“一线三等角”“子母型”“旋转相似”等核心模型的识别敏感度低；在解决“不存在明确对应关系”的相似存在性问题时，分类意识薄弱，极易漏解。

（二）认知风格与素养落差

此阶段学生处于从“经验型逻辑推理”向“抽象型逻辑推理”过渡的关键期。多数学生习惯于“老师给题、我套公式”的机械模仿，欠缺“自主发现问题、主动建构模型”的元认知能力。几何直观水平参差不齐：优秀生能快速构图、多角度添线；学困生仍滞留于“看不懂图、找不到对应边”。本学案设计致力于通过“低起点、高立意、大空间”的问题链，让各层次学生在原基础上获得思维进阶。

三、复习目标

（一）基础性目标（面向全体）

1.准确复述相似多边形的定义，厘清“对应角相等”与“对应边成比例”的双重判定条件，能纠正“所有菱形都相似”“所有矩形都相似”等典型迷思概念。

2.熟练掌握相似三角形的5种常见判定方法（含预备定理），能规范书写比例式，熟练运用性质求线段、周长、面积。

3.识别并熟练运用四大基本模型（A型、X型、子母型、一线三等角）解决简单计算题。

（二）发展性目标（面向多数）

1.经历“观察—猜想—验证—证明—拓展”的探究过程，在动态几何问题中，能根据对应顶点的不确定性对相似三角形进行分类讨论，发展逻辑推理的严谨性。

2.建立“图形结构决定数量关系”的观念，能将陌生情境中的几何问题通过辅助线转化为基本模型，提升几何直观与模型意识。

（三）创新性目标（面向优层）

1.理解相似变换的数学本质——对应点连线共点（位似）或对应点连线平行（仿射），从变换的高度统整全等、相似与位似。

2.通过跨学科情境（如物理中的小孔成像、杠杆平衡）抽象出相似模型，体会数学作为科学语言的基础工具价值，发展应用意识与创新意识。

四、复习重难点

重点：相似三角形的判定与性质的综合运用；基本图形（A型、X型、子母型、一线三等角）的识别与构造。

难点：相似三角形存在性问题的分类讨论；复杂图形中等量代换（线段代换、比例代换）策略的选择；数学建模视角下相似与现实情境的转化。

五、教学方法与资源

教法：问题驱动法、变式教学法、支架渐隐法。以“问题链”串联课堂，以“变式”深化理解，以“图形语言”激活直观思维。

学法：自主回顾—合作辨析—独立建模—变式迁移—反思建构。倡导“做中学、思中悟”。

教学资源：几何画板动态课件、预设的探究学习单、微视频（相似三角形在古建筑测量中的应用）、跨学科阅读材料（《墨经》中的影论）。

六、教学实施过程（核心环节，详案呈现）

（一）唤醒与重构：从“碎片记忆”走向“概念网络”（预计时长8分钟）

【活动设计】教师呈现一组图形：两个边长不等的等边三角形、两个邻边比不同的矩形、两个对应角分别相等的菱形、两个位似的五角星、一个等腰直角三角形与一个含30°角的直角三角形。

【驱动问题1】哪些图形一定相似？哪些不一定？请说明判断依据。

学生独立思考30秒，同位交流。教师巡视，捕捉典型迷思。

【生成性追问】针对“两个矩形是否相似”的争议，教师展示长宽比分别为2:1和3:1的两个矩形，追问：若要使它们相似，需添加什么条件？引导学生归纳：相似多边形必须同时满足“角相等”（矩形已满足）和“边成比例”（需长宽比一致）两个条件，二者缺一不可。

【核心归纳·基础】相似形的本质是“形状相同”。形状由“角的大小”和“边的比值”共同决定。因此，判定两个多边形相似，必须执行双检验：一验角，二验比。

【变式辨析】下列说法正确的是（）

A.所有的等腰三角形都相似B.所有的等腰直角三角形都相似

C.所有的菱形都相似D.两个直角三角形一定相似

【答案】B。逐项剖析：A等腰三角形顶角不一定相等；C菱形内角不一定对应相等；D直角三角形锐角不一定相等。唯独等腰直角三角形，内角恒为45°、45°、90°，角确定，且腰与底边比值固定，故必然相似。

【知识图谱建构】教师板书核心词“相似”，学生根据回忆向外辐射分支，师生共同补全思维导图：相似多边形——相似三角形——判定（预备定理、SSS、SAS、AA、HL）——性质（边、角、线段、周长、面积）——位似（特殊相似）——应用（测量、建模）。此环节旨在实现知识的结构化，将线性的知识点编织成立体网络。

（二）诊断与突破：从“机械套用”走向“条件审视”（预计时长10分钟）

【问题呈现】（源自教材改编）如图1，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE、CD。

（1）若DE∥BC，则图中有哪些相似三角形？

（2）若△ADE与△ABC相似，且AD=2，DB=4，AE=3，求AC的长。

【教学实施】第一问为送分题，学生极易答出△ADE∽△ABC。教师追问：还有吗？部分学生发现△ADE与△ACD可能相似，但需条件支持。借此强调：相似三角形对应顶点必须写在对应位置上，若无“∽”符号连接，必须分类。

【难点引爆·高频考点】第二问呈现文字性描述“△ADE与△ABC相似”，未使用符号“∽”。此处是学生长期存在的思维定势重灾区——下意识默认AE与AC对应，AD与AB对应。

【几何画板演示】教师拖动点E在AC上运动，动态显示△ADE的形状变化。当AE较短时，△ADE为小号三角形，∠ADE对应∠B；当点E逐渐靠近C时，可能出现∠ADE=∠C的情况。学生直观感知：对应关系不唯一。

【规范求解】学生独立书写，一名学生板演，师生共评。

情形一：当△ADE∽△ABC时，AD/AB=AE/AC，即2/6=3/AC，解得AC=9。

情形二：当△ADE∽△ACB时，AD/AC=AE/AB，即2/AC=3/6，解得AC=4。

经检验，AC=4和AC=9均合题意。

【方法升华·重要】凡文字描述“△ABC与△DEF相似”，未指明顶点对应关系时，必须按“第一类：字母顺序对应”和“第二类：轮换对应”两种情形分类讨论。本质是：两个三角形相似，只要完成一组对应顶点的匹配即可，其余顶点顺序随之确定。

【即时巩固】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一动点，过P作垂线交直角边于Q，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似，则AP的长为______。

【设计意图】本题进一步强化分类思想，且涉及“斜边上的垂线”产生子母型相似的基础模型。学生需按“Q在AC上”和“Q在BC上”分类，每类下还要细分为∠PQC=90°或∠CPQ=90°等情形。通过此题，将分类讨论的思维习惯植入解题潜意识。

（三）建模与剥离：从“无形散点”走向“有形结构”（预计时长18分钟，核心攻坚）

【环节引言】数学家波利亚曾说：“解题就像站在墙前，我们需要一把梯子。”相似三角形中的基本图形，就是我们攀登几何高墙的梯子。今天聚焦三把最重要的梯子。

【模型一：平行截线——A型与X型】

【问题2】如图，在△ABC中，EF∥BC，G在BC上，AF与BE相交于点O，连结OG。

（1）图中共有几对相似三角形？请逐一列出。

（2）若BF:FC=2:3，S△AEF=4，求S△ABC。

【实施策略】学生以小组为单位展开“找相似竞赛”。预设结果：△AEF∽△ABC；△AOE∽△FOB（8字型旋转至共线）；更深入的观察：点O是重心吗？需什么条件？通过对图形层层剥离，让学生意识到：平行线不仅产生大A型，还可能在交叉处生成X型。这种“形中有形，模中含模”正是综合题的命制手法。

【模型二：子母型——直角三角形斜边上的高】

【问题3】（经典变式）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。

（1）求证：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，△ACD∽△CBD。

（2）基于上述相似，你能推导出哪些等积式？（射影定理）

（3）若将Rt△ABC改为一般三角形，且CD⊥AB，∠1=∠B，还能得到相似吗？

【深度挖掘·难点】子母型相似的核心特征是：两个相似三角形有公共角或公共边，且小三角形被包含于大三角形中。射影定理是子母型相似在直角三角形背景下的直接产物。教师演示几何画板，将直角三角形锐角顶点拖动至非直角位置，学生观察：仅保持CD⊥AB，但∠A=∠BCD这一条件不再天然成立，此时需要添加∠1=∠B的条件才能维持子母相似。通过对比，学生深刻理解：射影定理是直角三角形+高两个条件共同决定的特殊性质，不可滥用。

【模型三：一线三等角——从特殊到一般】

【情境导入】展示一组生活图片：操场上的跳高架、推拉窗的滑轨、教师用三角板在直尺上滑动。

【核心问题4】已知，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是边BC上的一动点（不与B、C重合），以D为顶点作∠EDF=∠B，分别交AB于点E，交AC于点F。

（1）求证：△BED∽△CDF。

（2）设BD=x，FC=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围。

（3）当△DEF为等腰三角形时，求BD的长。

【教学实施】本题是“一线三等角”模型的经典载体。学生初见此题，往往无法将两个阴影三角形联系到一起。教师引导学生标注角度：由∠B=∠C=∠EDF，再结合外角性质，推出∠BDE=∠DFC。

第（1）问：证明过程强调等角转换的规范性。

第（2）问：由相似得BE/BD=CD/CF，即BE/x=(6-x)/y，需先用含x的式子表示BE。这里学生易卡顿。教师提示：等腰三角形背景下，相似三角形的对应边比例中，BE与BD对应，CD与CF对应，但BE未知，需用x表示吗？发现BE与BD并无直接数量关系。启发学生换思路：在△BED中，BE对∠BDE，BD对∠BED，并未直接给出边的关系。此时需要利用另一个相似关系或已知边。回到原图：AB=5，但BE被包含在AB中，AE未知。引导学生再次利用△BED与△CDF相似的比例关系，结合等腰三角形性质，可列方程求解BE，或利用整体思想。

教师示范另一条路径：过D作DG∥AB交AC于G，构造平行四边形等，但此法较繁。此处恰恰是思维分水岭：部分学生停留于“求出BE代入”，部分学生发现根本不需要求BE的具体值，只需利用比例关系和AB=AC=5建立等式。

【思维支架】设BE=m，则AE=5-m。由△BED∽△CDF，得BE/BD=CD/CF→m/x=(6-x)/y。还需第二个关系。观察AE与DG？或利用∠B=∠C，且∠BDE=∠DFC，可再证△BED∽△DEF？进一步探索。

【第（3）问·压轴难度】△DEF为等腰三角形，没有指明哪两边相等。需按“DE=DF”“DE=EF”“DF=EF”三类分类。每类情况下，需结合（2）中相似关系及函数解析式求解。此问预留为课后高阶挑战，课堂仅完成分类框架的搭建。

【设计意图】一线三等角模型串联了相似三角形判定、函数关系建立、分类讨论思想、等腰三角形存在性等中考高频高点。以一题之力，承载半壁江山，是专题复习课“减负增效”的核心策略。

（四）跨学科融合与项目化微探究（预计时长6分钟）

【阅读材料】公元4世纪，古希腊数学家欧几里得在其著作《光学》中论述了人眼如何感知物体大小。他认为，从物体两端向人眼发射的光线形成一个视角，视角越大，物体看起来越大。这实质是相似三角形在视觉成像中的应用。无独有偶，我国先秦时期《墨经》记载：“景，光至，景亡；若在，尽古息。”阐释了小孔成像的逆动原理。

【项目任务】如图，一支高度为h的蜡烛立于小孔前距孔p处，光屏置于小孔后距孔q处。请依据光的直线传播原理，画出光路图，并用相似三角形知识证明：光屏上烛焰像的高度h‘=h×(q/p)。

【跨学科链接·热点】本题将物理“小孔成像”与数学“相似三角形”完美嫁接。学生需将物理情境几何化：蜡烛抽象为线段AB，火焰顶端A发出的光线通过小孔O到达光屏上的A’，烛焰底端B发出的光线到达B’。易证△ABO∽△A’B’O，相似比为p:q，故像高与物高之比等于q:p。

【思维进阶】若小孔不是圆形，而是矩形孔，像的形状是否改变？进一步激发好奇心，将数学比例思想延伸至物理光学。

【素养点睛】从跨学科情境中抽象出数学模型，是核心素养中“数学建模”的最高表现。此环节不求繁难计算，重在体验“数学作为科学语言”的普适价值，打破学科壁垒，培育开阔的学术视野。

（五）自主建构与认知升华（预计时长3分钟）

【反思性问题】请用一句话概括，本节课你获得的最重要的解题锦囊是什么？

学生可能回答：“看到相似，先找对应。”“没有符号，必须分类。”“复杂图形要找基本型。”教师相机板书。

【核心总结】教师呈现宏观认知框架：

一个本质：形状相同。

两大条件：角相等，边成比例。

三类判定：平行法、角角法、比例法（SAS、SSS）。

四套性质：边、角、线、周、面。

五种模型：A型、X型、子母型、一线三等角、旋转相似（位似）。

【首尾呼应】回到开篇的两个矩形。现在请你设计：能否通过剪切和拼接，将一个2:1的矩形改造成与3:1的矩形相似？此题无标准答案，但鼓励学生运用相似比进行创造性构思，为后续“图形的位似”埋下伏笔。

七、板书设计逻辑

（板面分区左中右）

左区：知识树——相似图形概念网（根：形状；干：三角形、多边形；枝：判定、性质、应用）

中区：模型画廊——手绘A型、X型、子母型、一线三等角（标注关键点、比例关系）

右区：思维浪花——分类讨论框架图（文字描述相似→按对应顶点分两类）；学生课堂生成的关键词（如“等角换边”“设参列方程”）

八、作业与评价

（一）基础巩固·必做

1.教材总复习第15、17题（侧重相似多边形性质与判定）。

2.整理本节课出现的所有基本图形，绘制于A4纸上，形成个人《相似图形模型手册》初稿。

（二）变式迁移·选做

3.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AD中点，F是CD边上的动点，将△DEF沿EF翻折，点D落在D’处，D’恰在矩形内部，且△ED’F与某一矩形顶点构成的三角形与原矩形中的某三角形相似。求CF的长。

（本题涉及翻折变换、隐圆、相似存在性，难度较大，建议分层要求）

（三）项目化探究·拓展（跨学科）

4.查阅资料，了解达芬奇在《绘画论》中提出的“透视法”基本原理。绘制一幅包含至少两个消失点的立方体透视图，并附300字以内的数学原理说明，阐释其中“相似”与“位似”思想的运用。

【评价量规】

核心维度：模型识别正确性（30%）、分类讨论完备性（30%）、书写逻辑严谨性（20%）、跨学科理解的深刻性（20%）。采用学生自评、小组互评、教师精评相结合，重点关注学生从“不会”到“会”的增量，淡化一次性结论的绝对正确。

九、教学反思预设

本学案设计严格遵循“三不”原则：不简单重复新课、不搞题海战术、不脱离学情。以“模型思想”与“分类讨论”为双螺旋主线，将零散的知识点编织成网，将隐性的思维路径显性化。全过程突出学生主体：概念辨析由学生争论澄清，分类情形由学生自行发现，模型特征由学生归纳提炼。教师扮演的角色是认知冲突的制造者、思维爬坡的脚手架、核心素养的点灯人。后续教学中，需警惕优等生“一言堂”现象，通过组内异质配对，保障边缘学生也能深度卷入。对于“一线三等角”中的函数解析式建模，预计仍有约40%的学生存在转化困难，可在后续专题微课中推送相关变式训练。跨学科环节需把控时间边界，防止数学课异化为物理课或美术课，始终坚守数学建模的学科本位。

十、附录：本专题应列尽罗核心要点清单

【概念类】

[1]相似图形（形状相同）——【基础】

[2]相似多边形判定双条件（角相等、边成比例）——【重要·高频】

[3]相似比（对应边的比值，注意顺序性）——【基础】

[4]黄金分割（点、值、矩形、作图）——【热点·文化】

[5]位似图形（特殊相似：对应点连线共点）——【重要】

[6]位似中心、位似比——【基础】

【判定类】

[7]平行线分线段成比例定理（基本事实）——【根基】

[8]相似三角形预备定理（平行于三角形一边的直线截其