2026版《金版教程》高考一轮复习数学八校558数学教师1

高考总复习首选用卷数学第一章集合、常用逻辑用语与不等式考点测试1集合基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910111213难度★★★★★★★★★★★★★★对点交集运算并集运算满足交集结果的集合个数交集、补集运算元素与集合的关系交集、并集运算；判断集合的包含关系集合的非空子集个数；交集运算并集运算Venn图由交集的元素个数求参数的取值范围交集、并集运算；子集个数交集、补集运算交集运算题号141516171819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点由集合的包含关系求参数的取值集合集合的包含关系由交集、并集、补集运算求集合交集运算；子集个数Venn图的实际应用交集、补集运算由集合相等求参数交集、并集运算；元素与集合的关系判断集合的元素个数集合的新定义问题集合的新定义问题交集、补集运算高考概览本考点在高考中是必考知识点，常考题型为选择题，低等难度考点研读1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4．在具体情境中，了解全集与空集的含义5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集7．能使用Venn图表达集合的关系及运算1．(2025·广东五校高三开学联考)若集合M＝{x∈N*|－2≤x≤3}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝()A．∅ B．{0，2}C．{－1，0，1} D．{1，2}答案：D解析：依题意，M＝{1，2，3}，N＝{0，1，2}，所以M∩N＝{1，2}．故选D.2．(2025·江苏南通部分学校高三阶段性学业水平考试)若集合A＝{－1，0，2}，B＝{x||x|∈A}，则A∪B＝()A．{0，2} B．{－1，0，2}C．{－2，－1，0，2} D．{－1，0，1，2}答案：C解析：|x|＝－1无解；由|x|＝0，解得x＝0；由|x|＝2，解得x＝±2，所以B＝{－2，0，2}，所以A∪B＝{－2，－1，0，2}．故选C.3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：由题意，得M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}，有2个．故选B.4．已知集合A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝()A．(3，5] B．[－1，5]C．(3，＋∞) D．(－∞，－1]答案：A解析：B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∁RB＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩(∁RB)＝{x|3＜x≤5}．故选A.5．(2024·四川乐山三模)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合C的元素个数为()A．2 B．3C．4 D．5答案：C解析：由题意知，a∈{－1，0，1}，b∈{1，2}，当a∈{－1，0，1}，b＝1时，a＋b∈{0，1，2}，当a∈{－1，0，1}，b＝2时，a＋b∈{1，2，3}，所以C＝{0，1，2，3}，所以集合C的元素个数为4.故选C.6．(2024·新疆高三第二次适应性检测)已知集合P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}，Q＝{y|y＝x2}，则下列说法中正确的是()A．P∪Q＝R B．Q⊆PC．P∩Q＝∅ D．P⊆Q答案：B解析：P＝{x|y＝eq\r(x＋1)}＝[－1，＋∞)，Q＝[0，＋∞)，P∪Q≠R，Q⊆P，P∩Q＝Q≠∅.故选B.7．(2024·广东江门第一中学高三阶段性考试(二))已知集合A＝{x∈N|x<4}，B＝{x|n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则集合P的非空子集共有()A．2个 B．3个C．4个 D．8个答案：B解析：因为A＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}，又B＝{x|n2－1，n∈A}，所以B＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，则集合P的非空子集共有22－1＝3个．故选B.8．(2025·山东潍坊诸城繁华中学高三上期末)设集合A＝{x|ln(x－1)≤0}，B＝{x|0≤2x－1≤2}，则A∪B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x≤\f(3,2))))) B．{x|x≤2}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤\f(3,2)))))答案：C解析：由ln(x－1)≤0＝ln1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1≤1，))则A＝{x|1<x≤2}，又B＝{x|0≤2x－1≤2}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤\f(3,2)))))，则A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2)))).故选C.9．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{0，2，4，5}，B＝{2，3，4，6}，则如图所示的阴影部分表示的集合为()A．{2，4} B．{0，3，5，6}C．{0，2，3，4，5，6} D．{1，2，4}答案：B解析：A∩B＝{2，4}，A∪B＝{0，2，3，4，5，6}，阴影部分表示的集合为{0，3，5，6}．故选B.10．(2025·湖南名校联考联合体高三摸底考试)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{0，a}，若A∩B中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围为()A．(－1，3)B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：B解析：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{0，a}，要使得A∩B中有且仅有一个元素，则a≤－1或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选B.11．(多选)(2024·甘肃定西高三一模)设集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则()A．A∩B＝BB．B∩Z的元素个数为16C．A∪B＝BD．A∩Z的子集个数为64答案：BCD解析：对于A，B，C，因为A＝{x|x2－x≤6}＝{x|－2≤x≤3}，所以B＝{xy|x∈A，y∈A}＝{x|－6≤x≤9}，即A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，B∩Z有6＋1＋9＝16个元素，故A错误，B，C正确；A∩Z有2＋1＋3＝6个元素，所以A∩Z的子集个数为26＝64，故D正确．故选BCD.12．(多选)已知集合A＝{0，1，2}，若A∩(∁ZB)≠∅，则集合B可以为()A．{x|x＝2a，a∈A}B．{x|x＝2a，a∈A}C．{x|x＝a－1，a∈N}D．{x|x＝a2，a∈N}答案：ABD解析：由题意知，集合A＝{0，1，2}．若B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{0，2，4}，则A∩(∁ZB)＝{1}≠∅，A满足题意；若B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{1，2，4}，则A∩(∁ZB)＝{0}≠∅，B满足题意；若B＝{x|x＝a－1，a∈N}＝{－1，0，1，2，3，…}，则A∩(∁ZB)＝∅，C不满足题意；若B＝{x|x＝a2，a∈N}＝{0，1，4，9，16，…}，则A∩(∁ZB)＝{2}≠∅，D满足题意．故选ABD.13．已知集合A＝{x|x＝lney}，B＝{y|y＝elnx}，则A∩B＝________．答案：(0，＋∞)解析：由题意，A＝{x|x＝lney}＝{x|x＝y}＝R，B＝{y|y＝elnx}＝{y|y＝x，x>0}＝(0，＋∞)，所以A∩B＝(0，＋∞)．14．(2024·河南信阳新县高级中学高三第二次模拟)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,x)＝a，a，b∈R))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b，\f(1,b)))，A⊆B，则a的取值集合为________．答案：{0，1，b2}解析：由题意可知，x≠0，b≠0，b≠±1，因为A⊆B，所以当A＝∅时，a＝0；当A≠∅时，x＝eq\f(b,a)∈B，则eq\f(b,a)＝b或eq\f(b,a)＝eq\f(1,b)，解得a＝1或a＝b2.综上，a的取值集合为{0，1，b2}．15．(2024·湖北鄂东南省示范高中联盟5月模拟)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)＋\f(1,4)，n∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)＋\f(1,2)，n∈Z))))，则下列表述正确的是()A．M∩N＝∅ B．M∪N＝RC．M⊆N D．N⊆M答案：C解析：M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,4)，n∈Z))))表示的含义是奇数除以4，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n＋2,4)，n∈Z))))表示的含义是整数除以4，所以M⊆N.故选C.16．(2025·湖北武汉江汉区高三摸底考试)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤6}，(∁UA)∩B＝{2，4，6}，则集合A＝()A．{3，5} B．{0，3，5}C．{1，3，5} D．{0，1，3，5}答案：D解析：因为(∁UA)∩B＝{2，4，6}，所以{2，4，6}⊆B，且2∉A，4∉A，6∉A，又U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以B＝{2，4，6}，A＝{0，1，3，5}．故选D.17．(2024·河南郑州高三模拟)已知集合A＝{(x，y)|x|x|＋y|y|＝2}，B＝{(x，y)|y2＝x2}，则A∩B的子集个数为()A．2 B．4C．8 D．16答案：A解析：若y2＝x2，则y＝x或y＝－x，把y＝x代入x|x|＋y|y|＝2，得x|x|＝1，x＝1，此时y＝x＝1，把y＝－x代入x|x|＋y|y|＝2，无解，所以A∩B＝{(1，1)}，A∩B的子集有2个．故选A.18．(2024·四川雅安高三期中)某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了一个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是()A．20 B．21C．23 D．25答案：B解析：如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，则(32－x)＋(25－x)＋(22－x)＋x＋y＝56，即y＝2x－23.因为x≤22，所以y≤21.故选B.19．(2024·河北衡水高三大数据应用调研联合测评)已知集合A＝{x|x＋1≤0}，B＝{x|log2(x＋2)<2}，C＝{x|x2＋2x－3<0}，则(∁RA)∩(B∩C)＝()A．{x|－3<x≤－1} B．{x|－2<x≤－1}C．{x|－1<x<1} D．{x|－1<x<2}答案：C解析：A＝{x|x＋1≤0}＝{x|x≤－1}．由B＝{x|log2(x＋2)<2}，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,log2（x＋2）<log24，))解得－2<x<2，所以B＝{x|－2<x<2}．C＝{x|x2＋2x－3<0}＝{x|－3<x<1}．∁RA＝{x|x>－1}，B∩C＝{x|－2<x<1}，则(∁RA)∩(B∩C)＝{x|－1<x<1}．故选C.20．(2024·河南洛阳高三期末)已知集合M＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|sinθ|,sinθ)＋\f(cosθ,|cosθ|)))))))，N＝{a，b，lga}，若M＝N，则ab＝()A．－4 B．－1C．1 D．4答案：B解析：由题意，得θ≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，当sinθ>0，cosθ>0时，y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|sinθ|,sinθ)＋\f(cosθ,|cosθ|)))＝1；当sinθ<0，cosθ>0或sinθ>0，cosθ<0时，y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|sinθ|,sinθ)＋\f(cosθ,|cosθ|)))＝0；当sinθ<0，cosθ<0时，y＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|sinθ|,sinθ)＋\f(cosθ,|cosθ|)))＝－1，则M＝{1，0，－1}，若M＝N，且a>0，则a＝1，N＝{1，b，0}，所以b＝－1，ab＝－1.故选B.21．(多选)(2024·广西桂林国龙外国语学校高三5月适应性考试)已知集合S＝{(a，b)|a＋b＝ab，a>0，b>0}，T＝{t|a＋2b＝t，(a，b)∈S}，则有()A.eq\f(11,2)∈T B．3＋2eq\r(2)∈TC．S∩T＝∅ D．S∪T＝S答案：BC解析：由a＋b＝ab，可得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以t＝a＋2b＝(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当a＝eq\r(2)b，即b＝1＋eq\f(\r(2),2)，a＝1＋eq\r(2)时取等号，所以T＝{t|t≥3＋2eq\r(2)}，3＋2eq\r(2)∈T，B正确；因为eq\f(11,2)<3＋2eq\r(2)，所以eq\f(11,2)∉T，A错误；因为S为点集，T为数集，不同类，故S∩T＝∅，S∪T≠S，C正确，D错误．故选BC.22．(2025·湖南株洲高三摸底考试)已知集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,81)<3x－1≤3，x∈Z))))，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－3)<0，x∈N))))，则集合C＝{m|m＝xy，x∈A，y∈B}的元素个数是________．答案：7解析：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,81)<3x－1≤3，x∈Z))))＝{x|－4<x－1≤1，x∈Z}＝{x|－3<x≤2，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－3)<0，x∈N))))＝{x|(x＋2)(x－3)<0，x∈N}＝{x|－2<x<3，x∈N}＝{0，1，2}，所以C＝{－4，－2，－1，0，1，2，4}，所以集合C的元素个数是7.23．(多选)(2024·湖南长沙一中期中)若集合D含有n个元素，则称D为n元集，D的子集中含有m(m≤n)个元素的子集叫做D的m元子集．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{－2，1，2}，则()A．A∩B是2元集B．A∪B的2元子集有10个C．{xy|x∈A，y∈B}是5元集D．{(x，y)|x∈A，y∈B}是{(x，y)|x2＋y2≤5，x∈Z，y∈Z}的9元子集答案：BCD解析：对于A，A∩B＝{1}，是1元集，故A错误；对于B，A∪B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∪B的2元子集有eq\f(5×4,2)＝10个，故B正确；对于C，{xy|x∈A，y∈B}＝{2，－1，－2，0，1}，是5元集，故C正确；对于D，{(x，y)|x∈A，y∈B}有3×3＝9个元素，因为{(x，y)|x∈A，y∈B}表示的点都在圆x2＋y2＝5上或圆内，所以{(x，y)|x∈A，y∈B}是{(x，y)|x2＋y2≤5，x∈Z，y∈Z}的子集，则{(x，y)|x∈A，y∈B}是{(x，y)|x2＋y2≤5，x∈Z，y∈Z}的9元子集，故D正确．故选BCD.24．(2024·重庆名校联盟高三联考)已知集合M＝{x∈N|1≤x≤12}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3＝M.集合Ai(i＝1，2，3)中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i＝1，2，3)，则X1＋X2＋X3的最大值与最小值的差为________．答案：12解析：因为集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有4个元素；②A1∪A2∪A3＝M，所以A1，A2，A3一定各包含4个不同的数值．当集合A1，A2，A3中元素的最小值分别是1，2，3，最大值分别是12，9，6时，特征数的和X1＋X2＋X3最小，如：A1＝{1，10，11，12}，特征数为13；A2＝{2，7，8，9}，特征数为11；A3＝{3，4，5，6}，特征数为9，则X1＋X2＋X3最小，最小值为13＋11＋9＝33；当集合A1，A2，A3中元素的最小值分别是1，4，7，最大值分别是12，11，10时，特征数的和X1＋X2＋X3最大，如：A1＝{1，2，3，12}，特征数为13；A2＝{4，5，6，11}，特征数为15；A3＝{7，8，9，10}，特征数为17，则X1＋X2＋X3最大，最大值为13＋15＋17＝45，故X1＋X2＋X3的最大值与最小值的差为45－33＝12.25．若全集U＝R，集合A＝{y|y＝eq\r(3－x)}，B＝{x|2x≤8}，则A∩(∁UB)＝()A．(0，3) B．(3，＋∞)C．[3，＋∞) D．[0，3]答案：B解析：由题意可知，A＝{y|y≥0}，B＝{x|x≤3}，则∁UB＝{x|x>3}，故A∩(∁UB)＝(3，＋∞)．故选B.考点测试2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910111213难度★★★★★★★★★★★★★对点探求必要不充分条件全称量词命题的否定存在量词命题的否定充分不必要条件的判断探求充要条件充分不必要条件的判断充分不必要条件的判断含有量词命题的否定及其真假判断必要不充分条件的判断充分不必要条件的判断命题的否定写出使命题为假命题的一组值充分、必要、充要条件的判断题号141516171819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点根据充分不必要条件求参数的取值范围充分不必要条件的判断充要条件的判断既不充分也不必要条件的判断充分不必要条件的判断探求充分不必要条件探求充要条件由全称量词命题的真假求参数的取值范围由充要条件求参数；由必要不充分条件求参数的取值范围判断存在量词命题的真假判断全称量词命题的真假必要不充分条件的判断高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，低等难度考点研读1.理解命题的概念2．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义3．理解全称量词与存在量词的意义4．能正确地对含有一个量词的命题进行否定1．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是()A．a－1>b B．a＋1>bC．|a|>|b| D．a3>b3答案：B解析：寻找使a>b成立的必要不充分条件，若a>b，则a＋1>b一定成立，但是当a＋1>b成立时，a>b不一定成立，所以使a>b成立的必要不充分条件是a＋1>b.故选B.2．“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是()A．所有可以被5整除的整数，末位数字都不是5B．所有不可以被5整除的整数，末位数字不都是5C．存在可以被5整除的整数，末位数字不是5D．存在不可以被5整除的整数，末位数字是5答案：C解析：“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是“存在可以被5整除的整数，末位数字不是5”．故选C.3．已知命题p：∃x∈N，ex≤sinx＋1，则命题p的否定是()A．∀x∉N，ex＞sinx＋1B．∃x∈N，ex≤sinx＋1C．∀x∉N，ex≤sinx＋1D．∀x∈N，ex＞sinx＋1答案：D解析：命题p：∃x∈N，ex≤sinx＋1为存在量词命题，其否定为∀x∈N，ex＞sinx＋1.故选D.4．(2024·陕西商洛三模)已知a，b∈R，则“eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))”是“a3>b3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：若eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))，则a>b>0，所以a3>b3，充分性成立；若a3>b3，则a>b，但eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))不一定成立，不满足必要性，所以“eq\f(1,\r(a))<eq\f(1,\r(b))”是“a3>b3”的充分不必要条件．故选A.5．(2025·江苏南通高三部分学校阶段测试)设m∈R.下列选项中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,m)))>2的充要条件是()A．m≠0 B．m≠1C．m2≠1 D．m3≠m答案：D解析：令y＝m＋eq\f(1,m)，当m>0时，y＝m＋eq\f(1,m)≥2eq\r(m·\f(1,m))＝2，当且仅当m＝eq\f(1,m)，即m＝1时取等号，当m<0时，y＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－m）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－m)))))≤－2eq\r(（－m）·\f(1,－m))＝－2，当且仅当－m＝eq\f(1,－m)，即m＝－1时取等号，所以y≥2或y≤－2，当且仅当m＝±1时取等号，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,m)))>2的充要条件是m≠±1且m≠0.故选D.6．(2025·湖北部分市州高三上期末联考)已知命题p：log5x>log5y，命题q：5x>5y，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：因为函数y＝log5x和y＝5x都是增函数，若命题p成立，即log5x>log5y，则x>y>0，则5x>5y，所以p是q的充分条件；反之，若命题q成立，即5x>5y，则x>y，但当x，y是非正数时，不等式log5x>log5y没有意义，所以p不是q的必要条件，所以p是q的充分不必要条件．故选A.7．(2025·广东五校高三开学联考)“1<b<2”是“点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内⇔(0－1)2＋(b－2)2<2⇔1<b<3，所以“1<b<2”是“点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内”的充分不必要条件．故选A.8．(2025·江西部分重点中学盟校高三开学考试)已知命题p：∀x∈R，|x－1|<1，命题q：∃x∈R，x2－x＋1<0，则()A．命题p和命题q都是真命题B．命题p的否定和命题q都是真命题C．命题q的否定和命题p都是真命题D．命题p的否定和命题q的否定都是真命题答案：D解析：对于命题p：∀x∈R，|x－1|<1，当x≤0或x≥2时，|x－1|≥1，故命题p是假命题，命题p的否定为真命题；对于命题q：∃x∈R，x2－x＋1<0，因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，所以命题q为假命题，命题q的否定为真命题．综上，命题p的否定和命题q的否定都是真命题．故选D.9．(2024·西藏高三5月大联考)已知l1，l2，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l1⊂α，l2⊂β，α∩β＝l.设甲：l1∥l，乙：l1∥l2，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当l1∥l时，取l2为平面β内一条与l垂直的直线，得l1⊥l2，充分性不成立；当l1∥l2时，因为l2⊂β，l1⊄β，所以l1∥β，又l1⊂α，α∩β＝l，所以l1∥l，必要性成立．综上，甲是乙的必要不充分条件．故选B.10．(2025·重庆南开中学高三月考)命题p：“函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax在区间[－1，1]上单调递增”是命题q：“a≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax在区间[－1，1]上单调递增，则f′(x)＝x2－a≥0，即a≤x2在[－1，1]上恒成立，令g(x)＝x2，由于x∈[－1，1]，则x2≥0，则g(x)≥0，g(x)的最小值为0，则必有a≤0，所以p是q的充分不必要条件．故选A.11．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：x∈(A∩B)，那么綈p是________．答案：x∉A或x∉B解析：x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定为x∉A或x∉B.12．(2024·北京大兴高三期末)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则ab>c2”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案：2，－1，－2(答案不唯一)解析：当a＝2，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c，但是ab＝－2，c2＝4，ab<c2.满足题意的一组整数a，b，c的值依次为2，－1，－2.(答案不唯一)13．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)答案：充分充要解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q⇒s⇒t，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．14．已知命题p：|4－x|≤6，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若綈p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．答案：(0，3]解析：綈p：|4－x|＞6⇔(4－x)2＞36，∴x＜－2或x＞10，记A＝{x|x＜－2或x＞10}，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，∴x≤1－a或x≥1＋a，记B＝{x|x≤1－a或x≥1＋a}，∵綈p是q的充分不必要条件，∴AB，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≥－2，,1＋a≤10，,a＞0，))解得0＜a≤3，故实数a的取值范围是(0，3]．15．(2025·广东九洵杯调研考试)已知向量a＝(m，－1)，b＝(1，2)，则“m<－eq\f(1,2)”是“a与b的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由a与b的夹角为钝角，得a·b<0，且向量a与向量b不共线，所以m－2<0，即m<2，由a＝λb，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,－1＝2λ，))解得m＝－eq\f(1,2)，所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).故“m<－eq\f(1,2)”是“a与b的夹角为钝角”的充分不必要条件．故选A.16．在△ABC中，设命题p：eq\f(a,sinC)＝eq\f(b,sinA)＝eq\f(c,sinB)，命题q：△ABC是等边三角形，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，若eq\f(a,sinC)＝eq\f(b,sinA)＝eq\f(c,sinB)＝t，则eq\f(a,c)＝eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)＝t，即a＝tc，b＝ta，c＝tb，即abc＝t3abc，即t＝1，则a＝b＝c，即△ABC是等边三角形；若△ABC是等边三角形，则A＝B＝C＝eq\f(π,3)，则eq\f(a,sinC)＝eq\f(b,sinA)＝eq\f(c,sinB)成立，即p是q的充要条件．故选C.17．(2025·江苏南通如皋部分学校高三诊断测试)设x1<x2<x3，“|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＝2”是“(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：根据题意，x1<x2<x3，由|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＝2，不能推出(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，例如x＝0，x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(2,3)，x3＝eq\f(5,6)满足|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＝2，但(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝－eq\f(5,18)≠0，故充分性不成立；由(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，得x＝x1或x＝x2或x＝x3，不能推出|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＝2，例如x＝x1＝1，x2＝2，x3＝3，满足(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，但|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＝3≠2，故必要性不成立．所以“|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＝2”是“(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0”的既不充分也不必要条件．故选D.18．(2024·四川内江第一中学模拟)曲线C的方程为y2＝4x，直线l与抛物线C交于A，B两点．设甲：直线l与过点(1，0)；乙：eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3(O为坐标原点)，则()A．甲是乙的必要不充分条件B．甲是乙的充分不必要条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件答案：B解析：因为直线AB的斜率不可能为0，所以可设直线AB的方程为x＝my＋n，与抛物线y2＝4x联立，消去x，得y2－4my－4n＝0，再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4n，所以x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2),16)＝eq\f(（－4n）2,16)＝n2，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝n2－4n.当直线AB经过点(1，0)时，n＝1，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝n2－4n＝－3，所以甲是乙的充分条件；当eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝n2－4n＝－3时，解得n＝1或n＝3，即直线AB经过点(1，0)或(3，0)，所以甲不是乙的必要条件．故选B.19．(2024·河南郑州高三4月月考)已知公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，则满足对任意n∈N*，Sn＋1>Sn＋1恒成立的一个充分不必要条件是()A．a1>1，q>1 B．a1<0，q>1C．a2>1，q≥1 D．a2≥1答案：A解析：因为Sn＋1>Sn＋1，等价于Sn＋1－Sn>1，等价于an＋1>1，可得a2>1，且{an}为等比数列，可得a1>0，q>0，若0<q<1，则an＋1＝a1qn>1，得n<－logqa1，所以当n>－logqa1时，an＋1＝a1qn<1，不符合题意，所以若an＋1>1，可得a1>0，q≥1，即a2>1，q≥1；若a2>1，q≥1，可得an＋1>1，所以Sn＋1>Sn＋1等价于a2>1，q≥1.可知选项C是Sn＋1>Sn＋1的充要条件；选项A是Sn＋1>Sn＋1的充分不必要条件；选项B，D是Sn＋1>Sn＋1的既不充分也不必要条件．故选A.20．(2024·辽宁大连一模)“函数f(x)＝ax2－sinx是奇函数”的充要条件是实数a＝________．答案：0解析：若函数f(x)＝ax2－sinx是奇函数，则当且仅当f(x)＝ax2－sinx＝－[a(－x)2－sin(－x)]＝－f(－x)，也就是2ax2＝0恒成立，所以a＝0.21．(2024·湖北武汉新洲区部分学校高三期末)若命题“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,6)))，tan2x＋2≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：若命题“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,6)))，tan2x＋2≥m”是真命题，则(tan2x＋2)min≥m.易知y＝tan2x＋2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,6)))上单调递增，所以(tan2x＋2)min＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)))＋2＝3，可得m≤3，又因为该命题是假命题，所以m>3，即实数m的取值范围是(3，＋∞)．22．已知p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≤2，,－2x＋1＜3，))q：1－m≤x≤1＋m(m≥0)，r：1－t＜x≤1＋2t.若p是r的充要条件，则t＝________；若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案：2[0，2)解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≤2，,－2x＋1<3))可得－1＜x≤5，因为p是r的充要条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝－1，,1＋2t＝5，))解得t＝2.因为p是q的必要不充分条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥0，,1－m>－1，,1＋m≤5，))解得0≤m＜2.23．(2024·福建泉州5月模拟)函数y＝cosx在[t，2t]上的最大值为m，在[2t，3t]上的最大值为n，则下列命题为假命题的是()A．∃t>0，m<0且n<0B．∃t>0，m>0且n>0C．∃t>0，m>0且n<0D．∃t>0，m<0且n>0答案：A解析：若m<0，n<0，则0<t<π，得[t，2t]⊆[0，2π]，所以[t，2t]⊆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故eq\f(π,2)<t<eq\f(3π,4)，所以π<2t<eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)<3t<eq\f(9π,4)，得[2t，3t]⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(9π,4)))，得[2t，3t]⊆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故eq\f(π,4)<t<eq\f(π,2)，从而矛盾，所以t不存在，故A为假命题；当t＝eq\f(π,6)时，函数y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值为eq\f(\r(3),2)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的最大值为eq\f(1,2)，此时m＝eq\f(\r(3),2)，n＝eq\f(1,2)，故∃t>0，m>0且n>0，故B为真命题；当t＝eq\f(π,3)时，函数y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上的最大值为eq\f(1,2)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))上的最大值为－eq\f(1,2)，此时m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)，故∃t>0，m>0且n<0，故C为真命题；当t＝eq\f(2π,3)时，函数y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(4π,3)))上的最大值为－eq\f(1,2)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，2π))上的最大值为1，此时m＝－eq\f(1,2)，n＝1，故∃t>0，m<0且n>0，故D为真命题．故选A.24．(多选)(2024·辽宁部分高中三模)已知max{x1，x2，…，xn}表示x1，x2，…，xn这n个数中最大的数．能说明命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题的对应的一组整数a，b，c，d的值是()A．1，2，3，4 B．－3，－1，7，5C．8，－1，－2，－3 D．5，3，0，－1答案：BC解析：对于A，D，从其中任取两个数作为一组，剩下的两个数作为另一组，由于这两组数中的最大的数都不是负数，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值，故都能使命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”成立；对于B，当max{a，b}＝max{－3，－1}＝－1，max{7，5}＝7时，而max{－3，－1，7，5}＝7，此时－1＋7<7，即命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题；对于C，当max{a，b}＝max{8，－1}＝8，max{－2，－3}＝－2时，而max{8，－1，－2，－3}＝8，此时－2＋8<8，即命题“∀a，b，c，d∈R，max{a，b}＋max{c，d}≥max{a，b，c，d}”是假命题．故选BC.25．已知直线x－ay＝0交圆C：x2＋y2－2eq\r(3)x－2y＝0于M，N两点，则“△MCN为正三角形”是“a＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由圆C：x2＋y2－2eq\r(3)x－2y＝0可得其圆心为C(eq\r(3)，1)，半径r＝2，圆心到直线x－ay＝0的距离d＝eq\f(|\r(3)－a|,\r(1＋a2))，若△MCN为正三角形，则有d＝eq\f(\r(3),2)r，即eq\f(|\r(3)－a|,\r(1＋a2))＝eq\r(3)，即a2＋eq\r(3)a＝0，解得a＝0或a＝－eq\r(3)，故“△MCN为正三角形”是“a＝0”的必要不充分条件．故选B.考点测试3不等式及其性质基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910111213难度★★★★★★★★★★★★★★对点不等式的性质不等式的性质不等式的性质作差法比较大小由不等式的性质求取值范围作差法比较大小不等式的性质比较大小作差法比较大小由不等式的性质求最值作差法比较大小不等式的性质由不等式的性质求取值范围题号141516171819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点由不等式的性质求取值范围不等式的实际应用不等式的性质比较大小由不等式的性质求取值范围不等式的性质不等式的综合应用由不等式的性质求取值范围由不等式的性质求最值不等式的新定义问题由不等式的性质求最值作差法比较大小高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，中、低等难度考点研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2．了解不等式(组)的实际背景3．掌握不等式的性质及应用1．下列说法正确的是()A．若ac＜bc，则a＜bB．若a＞b，c＜0，则ac＜bcC．若a2＜b2，则a＜bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，则a＞b答案：B解析：对于A，当c＜0时，若ac＜bc，则a＞b，故A错误；对于B，若a＞b，c＜0，则ac＜bc，故B正确；对于C，当a＝2，b＝－3时，满足a2＜b2，但是a＞b，故C错误；对于D，若eq\r(a)＜eq\r(b)，则0≤a＜b，故D错误．故选B.2．已知实数x，y，z满足x＞y，xy≠0，z＞0，则下列不等式恒成立的是()A.eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＞0 B.eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＜0C．x2z－y2z＞0 D．xz＞yz答案：D解析：令x＝2，y＝1，z＝1，则eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＝－eq\f(1,2)＜0，所以A错误；令x＝1，y＝－1，z＝1，则eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＝2＞0，所以B错误；令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3＜0，所以C错误；因为xz－yz＝(x－y)z，由x＞y，z＞0得xz－yz＞0，即xz＞yz，所以D正确．故选D.3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－mB．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<nD．m<－n<n<－m答案：D解析：解法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2，分别代入各选项检验，可知D正确．解法二：m＋n<0⇒m<－n，n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．故选D.4．设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B答案：B解析：由题意，得B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B.5．(2025·江苏南通海安高级中学高三模拟)若变量x，y满足约束条件3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为()A．－7 B．－6C．－5 D．－4答案：B解析：设z＝x＋2y＝m(2x＋y)＋n(x－y)，故2m＋n＝1且m－n＝2，所以m＝1，n＝－1，故z＝x＋2y＝(2x＋y)－(x－y)，由于3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，所以3＋(－9)≤2x＋y－(x－y)≤9＋(－6)，即－6≤x＋2y≤3，故z＝x＋2y的最小值为－6，此时x＝4，y＝－5.故选B.6．(2024·湖南长沙周南中学高三模拟)设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．b>a>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a答案：D解析：由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，于是b－a＝1－a＋a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，即b>a，而c－b＝(2－a)2≥0，且三个实数a，b，c互不相等，因此c>b，所以a，b，c的大小关系是c>b>a.故选D.7．已知eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，则下列不等式中错误的是()A．|b|>|a| B．ac>bcC.eq\f(a－b,c)>0 D．lneq\f(a,b)>0答案：D解析：eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，当c<0时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，即b>a>0，∴|b|>|a|，ac>bc，eq\f(a－b,c)>0，此时0<eq\f(a,b)<1，∴lneq\f(a,b)<0.同理，当c>0时，D错误．故选D.8．(2024·北京西城一模)设a＝t－eq\f(1,t)，b＝t＋eq\f(1,t)，c＝t(2＋t)，其中－1<t<0，则()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a答案：C解析：由－1<t<0，得eq\f(1,t)<－1，故a＝t－eq\f(1,t)>0，由对勾函数的性质，可得b＝t＋eq\f(1,t)<－(1＋1)＝－2，由二次函数的性质，可得－1<c＝t(2＋t)<0.综上所述，有b<c<a.故选C.9．(2024·浙江金华第一中学领军班6月模拟)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P.若a>b>c，则()A．N<P B．P<MC．N<M D．M＋N<2P答案：B解析：根据题意，得M＝eq\f(a＋b＋c,3)，N＝eq\f(a＋b,2)，P＝eq\f(N＋c,2)＝eq\f(\f(a＋b,2)＋c,2)＝eq\f(a＋b＋2c,4).对于A，N－P＝eq\f(a＋b,2)－eq\f(a＋b＋2c,4)＝eq\f(a＋b－2c,4)，∵a>b>c，∴a－c>0，b－c>0，∴a＋b－2c>0，∴N－P＝eq\f(a＋b－2c,4)>0，∴N>P，故A错误；对于B，M－P＝eq\f(a＋b＋c,3)－eq\f(a＋b＋2c,4)＝eq\f(a＋b－2c,12)>0，∴M>P，故B正确；对于C，M－N＝eq\f(a＋b＋c,3)－eq\f(a＋b,2)＝－eq\f(a＋b－2c,6)<0，∴M<N，故C错误；对于D，∵M>P，N>P，∴M＋N>2P，故D错误．故选B.10．(2024·江苏南通海安高级中学、宿迁中学高三模拟)设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为()A.eq\f(\r(2),2)－1 B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) D．－1答案：B解析：由a2＋b2≤c≤1，得a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)≥－eq\f(1,2)，当a＝b＝－eq\f(1,2)时取等号，所以a＋b＋c的最小值为－eq\f(1,2).故选B.11．(多选)若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是()A.eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)答案：AD解析：a＞b＞0，则eq\f(b,a)－eq\f(b＋1,a＋1)＝eq\f(b（a＋1）－a（b＋1）,a（a＋1）)＝eq\f(b－a,a（a＋1）)＜0，故eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1)一定不成立；a＋eq\f(1,a)－b－eq\f(1,b)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,ab)))，当ab＞1时，a＋eq\f(1,a)－b－eq\f(1,b)＞0，故a＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b)可能成立；a＋eq\f(1,b)－b－eq\f(1,a)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))＞0，故a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a)恒成立；eq\f(2a＋b,a＋2b)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,b（a＋2b）)＜0，故eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)一定不成立．故选AD.12．(多选)(2025·吉林白城高三阶段考试)若实数x，y满足|x|>y>0，则()A．x－y<y2 B．x2024>y2024C.eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)>2 D.eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)答案：BD解析：当x＝3，y＝1时，x－y>y2，故A错误；因为|x|>y>0，所以|x|>|y|，所以x2024>y2024，故B正确；当x<0时，因为y>0，所以eq\f(x,y)与eq\f(y,x)都是负数，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)<0，故C错误；因为eq\f(1,x)－eq\f(1,x－y)＝eq\f(－y,x（x－y）)＝eq\f(y,x（y－x）)，当x>0时，由|x|>y>0，得x>y，两边同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0；当x<0时，由|x|>y>0，得x<y，两边同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)，故D正确．故选BD.13．已知－1＜a＜3且2＜b＜4，则2a－b的取值范围是________．答案：(－6，4)解析：因为－1＜a＜3且2＜b＜4，所以－2＜2a＜6，－4＜－b＜－2，所以－6＜2a－b＜4，即2a－b的取值范围是(－6，4)．14．(2024·河北石家庄二模)若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________．答案：[15，19]解析：因为x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，故x＝3－eq\f(2z,3)，y＝1－eq\f(z,3)，由x，y，z≥0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－\f(2z,3)≥0，,1－\f(z,3)≥0，,z≥0，))解得0≤z≤3，故M＝4x＋3y＋5z＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2z,3)))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(z,3)))＋5z＝eq\f(4z,3)＋15∈[15，19]．15．(2024·浙江杭州高三期末)小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则()A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D．两次购买葡萄的平均价格无法比较答案：A解析：设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为eq\f(3（a＋b）,6)＝eq\f(a＋b,2)元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为eq\f(100,\f(50,a)＋\f(50,b))＝eq\f(2ab,a＋b)元/千克．因为eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2－4ab,2（a＋b）)＝eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)>0，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选A.16．(2024·四川成都模拟)已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ln(a＋1)>ln(b＋1)C．a3>b3>0 D.eq\r(a－1)>eq\r(b－1)答案：B解析：对于A，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，不能推出a>b>0，如eq\f(1,－3)>eq\f(1,－2)，反之a>b>0，则有eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)是a>b>0的既不充分也不必要条件，故A不符合题意；对于B，由ln(a＋1)>ln(b＋1)，得a＋1>b＋1>0，即a>b>－1，不能推出a>b>0，反之a>b>0，则a>b>－1，因此ln(a＋1)>ln(b＋1)是a>b>0的必要不充分条件，故B符合题意；对于C，a3>b3>0⇔a>b>0，a3>b3>0是a>b>0的充要条件，故C不符合题意；对于D，由eq\r(a－1)>eq\r(b－1)，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出a>b≥1，因此eq\r(a－1)>eq\r(b－1)是a>b>0的充分不必要条件，故D不符合题意．故选B.17．(2025·安徽芜湖阶段练习)若正实数a，b，c满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)c<a＋b<\f(4,3)c，,a<b＋c<\f(7,6)a，,2b<c＋a<\f(11,4)b，))则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b答案：B解析：因为正实数a，b，c满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)c<a＋b<\f(4,3)c，,a<b＋c<\f(7,6)a，,2b<c＋a<\f(11,4)b，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)<\f(a＋b＋c,c)<\f(7,3)，,2<\f(a＋b＋c,a)<\f(13,6)，,3<\f(a＋b＋c,b)<\f(15,4)，))所以eq\f(a＋b＋c,b)>3>eq\f(7,3)>eq\f(a＋b＋c,c)>eq\f(11,5)>eq\f(13,6)>eq\f(a＋b＋c,a)，所以b<c<a.故选B.18．(2024·安徽滁州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(a,b＋c)＝eq\f(c－b,b)，则eq\f(a＋b＋c,b)的取值范围为()A．(1，6) B．(4，6)C．(2，6) D．(2，7)答案：C解析：由eq\f(a,b＋c)＝eq\f(c－b,b)，得a＝eq\f(c2－b2,b)，c>b，在△ABC中，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>c，,b＋c>a，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c2－b2,b)＋b>c，,b＋c>\f(c2－b2,b)，))于是b<c<2b，即1<eq\f(c,b)<2，因此eq\f(a＋b＋c,b)＝eq\f(\f(c2－b2,b)＋b＋c,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)))eq\s\up12(2)＋eq\f(c,b)∈(2，6)，所以eq\f(a＋b＋c,b)的取值范围为(2，6)．故选C.19．(多选)(2024·山东济南高三模拟)已知非零实数a，b满足|a|>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是()A．a>b＋1 B．lna2>ln(b2＋1)C．a2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>1答案：BCD解析：对于A，|－5|>|2|＋1，而－5<2＋1，故A错误；对于B，∵|a|>|b|＋1，∴|a|2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，∴a2>b2＋1>0，又函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，∴lna2>ln(b2＋1)，故B正确；对于C，由B项分析得，a2>b2＋2|b|＋1，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b，∵|b|≥b，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b≥b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴a2>4b，故C正确；对于D，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝eq\f(|a|,|b|)>eq\f(|b|＋1,|b|)＝1＋eq\f(1,|b|)>1，故D正确．故选BCD.20．(多选)(2025·湖北武汉高三期末)已知a<b<c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则()A．a<0<c B．∃a，c，a2－25c2＝0C．a＋c可能大于0 D.eq\f(b＋2c,a＋c)<－eq\f(1,2)答案：AD解析：对于A，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得6a＝a＋2a＋3a<a＋2b＋3c＝0，所以a<0，又0＝a＋2b＋3c<c＋2c＋3c＝6c，所以c>0，故A正确；对于B，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c>0，所以a＋5c>0，得c>－eq\f(a,5)>0，所以c2>eq\f(a2,25)，得a2－25c2<0，故B错误；对于C，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c<a＋2b＋3c＝0，所以a＋c<0，故C错误；对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以eq\f(b＋2c,a＋c)＝eq\f(b＋c＋c,a＋c)＝eq\f(b＋c,a＋c)＋eq\f(c,a＋c)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(c,a＋c).因为a＋c<0，c>0，所以eq\f(c,a＋c)<0，所以eq\f(b＋2c,a＋c)<－eq\f(1,2)，故D正确．故选AD.21．已知f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围为________．答案：[5，10]解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1，))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.22．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使eq\f(8,15)<eq\f(n,n＋k)<eq\f(7,13)成立．这样的n的最大值是________．答案：112解析：由eq\f(8,15)<eq\f(n,n＋k)<eq\f(7,13)，得eq\f(13,7)<1＋eq\f(k,n)<eq\f(15,8)，即eq\f(6,7)n<k<eq\f(7,8)n.又由整数k的唯一性知，eq\f(7,8)n－eq\f(6,7)n≤2，解得n≤112，而当n＝112时，eq\f(6,7)n＝96，eq\f(7,8)n＝98，满足eq\f(6,7)n<k<eq\f(7,8)n的整数k只有97，所以n的最大值为112.23．(2025·江西宜春开学考试)设m，n∈R，定义运算“Δ”和“”如下：mΔn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m，m≤n，,n，m>n，))mn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n，m≤n，,m，m>n，))若正数m，n，p，q满足mn≥4，p＋q≤4，则()A.mΔn≥2，pΔq≤2B.mn≥2，pq≤2C.mΔn≥2，pq≤2D.mn≥2，pΔq≤2答案：D解析：对于A，C，不妨取m＝1，n＝5，则mΔn＝1，A，C错误；对于B，取p＝1，q＝3，则pq＝3，B错误；对于D，假设m<2且n<2，则mn<4(矛盾)，故m，n至少有一个大于等于2，所以mn≥2.假设p>2且q>2，则p＋q>4(矛盾)，故p，q至少有一个小于等于2，故pΔq≤2，D正确.故选D.24．(2024·河北邯郸三模)记min{x，y，z}表示x，y，z中最小的数．设a>0，b>0，则mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))的最大值为________．答案：2解析：若a≤eq\f(1,b)，则ab≤1，此时mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))＝mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)＋3b))，因为aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋3b))＝1＋3ab≤4，所以a和eq\f(1,a)＋3b中至少有一个小于等于2，所以mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)＋3b))≤2，又当a＝2，b＝eq\f(1,2)时，a＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,a)＋3b＝2，所以mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))的最大值为2.若a>eq\f(1,b)，则ab>1，此时mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))＝mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))，因为eq\f(1,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋3b))＝eq\f(1,ab)＋3<4，所以eq\f(1,b)和eq\f(1,a)＋3b中至少有一个小于2，所以mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))<2.综上，mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))的最大值为2.25．已知x>y>1>z>0，a＝eq\f(1＋xz,z)，b＝eq\f(1＋xy,x)，c＝eq\f(1＋yz,y)，则()A．a>c>b B．b>c且a>cC．b>c>a D．a>b且a>c答案：D解析：因为x>y>1>z>0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<eq\f(1,z)，x－y>0，x－z>0，y－z>0，所以a＝x＋eq\f(1,z)>b＝y＋eq\f(1,x)，a＝x＋eq\f(1,z)>c＝z＋eq\f(1,y)，c－b＝z＋eq\f(1,y)－y－eq\f(1,x)＝(z－y)＋eq\f(x－y,yx)，符号不能确定，所以b，c的大小不能确定，所以a>b且a>c.故选D.考点测试4基本不等式基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910111213难度★★★★★★★★★★★★★★对点拼凑法求最值常数代换法求最值拼凑法求最值由基本不等式求取值范围利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值常数代换法求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式比较大小利用基本不等式求最值题号141516171819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点利用基本不等式求最值常数代换法求最值利用基本不等式求最值常数代换法求最值换元法求参数的最值基本不等式的综合问题常数代换法求最值常数代换法求最值常数代换法求最值；拼凑法求最值利用基本不等式求最值基本不等式的应用消元法求最值高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，中等难度考点研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1．若0<a<eq\f(1,2)，则a(1－2a)的最大值是()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D．1答案：A解析：由0<a<eq\f(1,2)，得1－2a>0，则a(1－2a)＝eq\f(1,2)×2a(1－2a)≤eq\f(1,2)eq