03第三章函数的概念与性质

2/203第三章函数的概念与性质3．1．1函数的概念一、函数的定义及概念1、函数的定义：设A，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx称f：A→B为从集合A【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应.（1）特殊性：定义的集合A，（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A2、函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数yfx，x∈A中，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.3、同一个函数两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数.二、区间及相关概念1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示定义名称符号数轴表示{闭区间a{开区间a{半开半闭区间[{半开半闭区间（2、实数集R可以用区间表示为∞，∞，“∞"读作“无穷大“∞”读作“负无穷大”，“∞”读作“正无穷大”.3、特殊区间的表示定义符号数轴表示xax[x∞x（三、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，即nx（其中n2k，k∈N*）中3、零次幂的底数不能为零，即x0中x4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集.【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“$⋃"连接.考点一函数定义的理解【例1】下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（）A角度和它的余弦值 B正方形的边长和面积 C正n边形的边数和内角和 D母亲的身高与子女的身高【变式1】已知fxx是集合A到集合B的函数，如果集合B{2}A{2，2} B{2} C{【变式2】下列图形中，不可作为函数yfx【变式3】若函数yfx的定义域为M{x∣2≤A0个 B1个 C2个 D3个【变式4】下列对应中：（1）x→y，其中（2）x→y，其中（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，（4）x→y，其中其中，是函数的是（）A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（3）（4）考点二求函数的定义域【例2】已知函数fx与xx123456f51015202530那么函数yfx的定义域为（A{1，2，3C{1，2，3【变式1】函数y2x2A∞，12 B1C∞，12⋃1【变式2】函数yfx的定义域是2，5A2，5 B2，C2，1⋃1【变式3】已知函数fx1的定义域为1，5A1，3 B1，4 C2，5【变式4】已知函数yfx的定义域为8，1，则函数A∞，2⋃（2C92，2 D考点三同一个函数的判断【例3】下面各组函数中是同一函数的是（）Ay2x3与Byx2与yCfxx22Dyx1x【变式1】下列各组函数表示同一函数的是（）Afx3x3，Cfx1，g【变式2】下列函数中与函数fxx1Afxx2x1 Cfxx12【变式3】下列函数中，与函数yx2是同一个函数的是（Ayx22 ByCyx2x2 考点四求函数值【例4】已知函数fxxA38 B12 C17 D32【变式1】已知函数fxx1x，则A20 B0 C1 D20【变式2】已知函数f2x1x3A4 B2 C1 D0【变式3】已知定义在R上的函数fx满足fxA1 B1 C13 D13【变式4】已知fxax3A3 B3 C2 D1【变式5】fxxA1 B2 C3 D3【变式6】已知fx（1）f2（2）fg（3）fg考点五求函数的值域【例5】函数yx24A[2，11） B[3，11）【变式1】函数fx1xA（∞，1] B[1，∞） 【变式2】函数fx2xA∞，1⋃1，C∞，2⋃2，【变式3】函数y2xxA∞，158 B∞，158 C158【变式4】函数yx函数专题：函数定义域的3种常见考法一、具体函数定义域求法1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，即nx（其中n2k奇次方根的被开方数取全体实数，即nx（其中n2k3、零次幕的底数不能为零，即x0中x4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集.【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“⋃”连接.二、抽象函数及定义域求法（复合函数）（1）已知fx的定义域为A，求fgx的定义域，其实质是gx的取值范围为A，求x的取值范围；即已知函数fx的定义域为a，（2）已知fgx的定义域为B，求fx的定义域，其实质是已知fgx中的x取值范围为B，求gx的范围（值域），此范围就是fx的定义域即已知函数域为gx在x∈（3）已知fgx的定义域，求fhx的定义域，要先按（2三、根据函数的定义域求参数范围解题思路方法考点一具体函数的定义域求解【例1】函数yx2x中，自变量xAx>2 Bx≥2 Cx≥2且x【变式1】函数fx1xA[2，∞） B2，∞ C2，【变式2】函数fx3xA13，1 B13，13 C【变式3】求下列函数的定义域（1）yx（2）y2（3）ya考点二抽象函数的定义域求解【例2】已知函数fx的定义域为2，2，则函数A23，1 B1，1 C23【变式1】已知fx21的定义域为3，3A2，2 B0，2 C1，2【变式2】已知函数fx1的定义域为2，1A2，12 B3，0 C32【变式3】已知函数f2x2的定义域为{x∣A∞，1 B∞，C∞，1⋃1，【变式4】若函数fx1x1xA1，1 B2，0 C1，1考点三已知定义域求参数范围【例3】已知函数fx2x2mx3，若fx【变式1】若函数fxax2ax1的定义域为A0，4 B[0，4） C（【变式2】已知函数fxax的定义域为（∞，A{1} B（∞，1] C[1【变式3】已知函数fx5x7ax2A0，1 B∞，C[0，1） 【变式4】若函数fxx1mx22A0，4 B[0，4） C03．1．2函数的表示法一、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值.缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式.2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系.3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：能形象直观地表示函数的变化情况；缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大.二、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.2、换元法：主要用于解决已知fgx的解析式，求函数（1）先令gxt，注意分析（2）反解出x，即用含t的代数式表示x；（3）将fgx中的x度替换为t的表示，可求得ft3、配凑法：由已知条件fgxFx，可将Fx改写成关于gx的表达式，然后以x4、方程组法：主要解决已知fx与fx、f1x、f1x……的方程，求fx解析式例如：若条件是关于fx与f三、分段函数1定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.2性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.（2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.考点一待定系数法求解析式【例1】已知fx是反比例函数，且f31，则Afx3x Bfx3x Cf【变式1】设fx为一次函数，且ffx4x1若Afx2x11或fxCfx2x11 【变式2】已知fx是二次函数且fx1fx1【变式3】已知函数Fxfxgx，其中fx是x的正比例函数，gA3 B8 C9 D16考点二换元法求解析式【例2】已知f2x1Ax22x4 Bx22x Cx【变式1】设函数f1x2x1A12x1x≠0 B2x1x【变式2】已知fx1x3，则Afx1x4x≥0 Bfx【变式3】设fx2A2x1 B2x3 C2x1考点三配凑法求解析式【例3】已知函数fx1Ax24x Bx24 Cx24【变式1】若函数fx1xx21A6 B6或6 C6 D3【变式2】已知fx1xx【变式3】已知fx1xx3考点四方程组法求解析式【例4】已知fx2Ax2x Bx2 C3x2x 【变式1】已知fx满足2fxf【变式2】已知函数fx满足fx2f1A3 B3 C1 D1【变式3】已知函数fx满足fx2fAfxx212xCfx6x9 考点五求分段函数的解析式（值）【例5】已知函数fxxA5 B3 C2 D2【变式1】设函数fx1x2A189100 B99100 C6364 D3732【变式2】已知函数fxxAπ22 Bπ C0 Dx22【变式3】已知函数fxx，0<x<3．2．1单调性与最大（小）值一、函数的单调性1、单调函数的定义设函数fx的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2当x1<x2时，都有fx12、单调性的图形趋势（从左往右）3、函数的单调区间若函数yfx在区间D上是增函数或减函数，则称函数yfx在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.（2）单调区间D⊆定义域I（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“⋃”，可以用“和”二、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数yfx，其定义域为D，如果存在x0∈D，fxM，使得对于任意的x∈D，都有fx≤2、最小值：对于函数yfx，其定义域为D，如果存在x0∈D，fxM，使得对于任意的x∈D，都有fx≥3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个.三、单调性定义的等价形式：（1）函数fx在区间a⇔任取x1，x2∈⇔任取x1，x⇔任取x1，x⇔任取x1，x（2）函数fx在区间a⇔任取x1，x2∈⇔任取x1，x⇔任取x1，x⇔任取x1，x四、定义法证明函数单调性的步授（1）取值：设x1，（2）作差变形：做差fx（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论（4）判断：根据定义做出结论.五、函数单调性的性质若函数fx与gx在区间D上具有单调性，则在区间（1）fx与fx（2）fx与fx（3）当a>0时，afx与fx单调性相同；当a<0（4）若fx≥0，则fx（5）若fx恒为正值或恒为负值，则当a>0时，fx与afx具有相反的单调性；当a（6）fx与g简记为：↗↗↗；（2）↘↘↘；（六、常见简单函数的单调性函数单调性一次函数y当k>0时，在R上单调递增；当k<0反比例函数y当k>0时，在∞，当k<0时，在∞，0注意：绝不能说在整个定义域上为增或为减二次函数y当a>0时，在∞，当a<0时，在∞，b考点一单调性定义的理解【例1】若函数fx的定义域为R，且满足f1<f2<fA单调递增 B单调递减 C先增后减 D不能确定【变式1】设函数yfx在区间A上有意义，任意两个不相等的实数a，b∈AabfafbCfafbab【变式2】若函数fx在a，b上是增函数，对于任意的xAfx1fx2xCfa≤fx【变式3】定义在R上的函数fx对任意两个不相等的实数a，bA函数fx先增后减 B函数fx是R上的增函数 C函数fx先减后增 D函数fx是R上的减函数【变式4】下列说法中正确的个数为（）（1）定义在a，b上的函数fx，如果有无穷多个x1，x2∈a（2）如果函数fx在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f（3）对任意的x1，x2∈a，b，且（4）对任意的x1，x2∈a，b，且x（A）1 （B）2 （C）3 （D）4考点二定义法证明函数的单调性【例2】证明fxx【变式1】求证：函数fxx1x【变式2】函数fxx2x2（x∈【变式3】利用单调性的定义，证明函数yx2x1考点三求函数的单调性及单调区间【例3】定义在区间2，2上的函数fx的图象如图所示，则fA2，1 B1，1 C2，0【变式1】求函数yx2【变式2】求函数y3x【变式3】函数fxx2A（∞，2] B[2，∞） 【变式4】函数fxx1【变式5】下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A若fx为增函数，gx为增函数，则fxB若fx为减函数，gx为减函数，则fxC若fx为增函数，gx为减函数，则fxD若fx为减函数，gx为增函数，则f考点四已知单调性求参数范围【例4】已知函数fx的图象如图所示，若fx在m，m【变式1】函数y2m1xb在Am>12 Bm<12 Cm【变式2】若函数fxx2mx10在2A[2，∞） B[4，∞）【变式3】已知fxx22x3A∞，1 B（∞，1] C9，【变式4】已知函数fxx22ax，xA0，23 B0，23 C0【变式5】函数fxa5x2，x≥2A（∞，1] B1，5 C[【变式6】已知函数f1xx1ax若对于任意1<x1A∞，1]⋃[0，C1，0 D∞考点五利用单调性解不等式【例5】若函数yfx在R上单调递增，且f2m3A∞，1 B1，∞ C1，∞ 【变式1】已知yfx在定义域1，1上是减函数，且f1aA0，1 B2，1 C0，2【变式2】函数fx在∞，∞上单调递减，若f11，fA2，2 B1，1 C1，3【变式3】定义在0，∞上的函数fx满足x2fxA3，∞ B0，3 C12，∞【变式4】已知函数fx对∀x1、x2∈R，总有x1A1，2 B0，C∞，0]⋃[1，考点六利用单调性比较大小【例6】定义域为R的函数fx满足对任意的x1，x2Af2<f1<Cf3<f2<【变式1】已知函数fxx22xm，当1<x1Ab<a<c Bc<b<a 【变式2】设函数fx是∞，∞上的减函数，若mAfm>f2m Cfm21<【变式3】已知函数fxx2ax1a∈RAfx1x1<Cfx3x3考点七函数的最值问题【例7】函数yfx在2，A1，0 B0，2 C1，2 D1【变式1】当1≤x≤2【变式2】函数fxxA1 B1 C2 D2【变式3】设函数fx2xx2在区间A4 B6 C10 D24【变式4】求y2x函数专题：函数值域的6种常考题型归纳一、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）.（1）若函数yfx在区间a，（2）若函数yfx在区间a，（3）若函数yfx有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值掌握对勾函数的性质：形如yxkxk>0的函数，当x>0时，函数yxkxk2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域.（2）fx的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该fx3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.形如Fxa4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值（值域）.（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围.（2）换元的作用有两个：（1）通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的形如yaxb±cxd（a（2）可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如yaxbcxd或第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成ya第二步，求出函数yecxd在定义域范围内的值域，进而求出6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性.另外，此种形式还可使用分离常数法求解.考点一单调性求值域【例1】y1x21A2 B32 C52 D4【变式1】求y3求y3【变式2】已知x∈3，1，则函数yx4【变式3】yx1x在1考点二图象法求值域【例2】函数fxx2【变式1】作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间和值域：（1）yx（2）yx【变式2】画出下列函数的图象，并说出函数的单调区间和值域：（1）fx（2）f（3）f【变式3】画出下列函数的图象，并说出函数的单调区间和值域：（1）yx（2）yx【变式4】已知max{a，b，c}表示a，b，A25 B3 C4 D5考点三配方法求值域【例3】函数fxx2【变式1】函数yx24A[2，11） B[3，11）【变式2】求y2x2【变式3】求y1x2考点四换元法求值域【例4】函数y2xxA∞，158 B∞，158 C158【变式1】函数fx3A0，4 B（∞，2] C[2【变式2】函数fxx4xA3，152 B3，4 C3，【变式3】若函数fx的值域是12，3，则函数A12，3 B2，103 C5考点五分离常数法求值域【例5】函数fx2x1x【变式1】函数fx3xA117，∞ B32，∞ C117【变式2】函数fx2x【变式3】求函数y2x考点六判别式法求值域【例6】若函数fx3x2x3A4 B6 C7 D8【变式1】函数fxx2A53 B23 C1 D23【变式2】函数fxx2【变式3】已知函数fx2x2ax3．2．2函数奇偶性一、函数奇偶性的定义与性质1、奇函数：如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx2、偶函数：如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数f偶函数fx的性质：fx二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断fx与±f2、验证法：在判断fx与fx的关系时，只需验证fx±3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断通常利用定义法判断分段函数不是几个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断fx与fx的关系首先要特别注意x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，fx与fx对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较三、定义法判断函数奇偶性判断fx与f如果fxfx0或如果fxfx0或f四、函数奇偶性的运算法则1若yfx为奇函数，y（1）yf（2）yfxg（3）yfgx与同理若yfx与ygx在公共定义域内均为偶函数，则y若yfx为奇函数，ygx为偶函数，则在公共定义域内yfxgx五、常见奇偶函数总结奇函数偶函数ykxycykyaxyxαyxαFF考点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）fx（2）fx（3）fx（4）f【变式1】判断下列函数的奇偶性：（1）f（2）f【变式2】已知yfx，xA奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数【变式3】设函数fx，gx的定义域为R，且fxAfxgx是偶函数 BfxCfxgx是奇函数 Df考点二利用奇偶性求值【例2】已知函数fxx33x，若A2 B2 C1 D1【变式1】已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，A3 B3 C2 D1【变式2】已知函数fxgx2x1为奇函数，若【变式3】已知函数fx为奇函数，gx为偶函数，且fA3 B4 C5 D6【变式4】已知fxx5aA3 B5 C7 D0考点三利用奇偶性求参数1待定系数法：根据fx±f2赋值法：奇函数的定义域可以取0时，用f00，定义域不取0时，用f1f3函数奇偶性存在的必要条件是定义与关于原点对称，区间两端点自变量互为相反数【例3】若函数fxx1xa【变式1】设a为常数，函数fxx24x3若f【变式2】设函数fxx1xa【变式3】已知函数fxx22x考点四利用奇偶性求解析式利用奇偶性求对称的函数解析式的快速解法：1奇函数：自变量与函数值均互为相反数，只需把解析式中的x与y变为x与y即可2偶函数：自变量互为相反数，函数值相等，只需把解析式中的x变为x，y【例4】已知fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，fxx2【变式1】已知fx是定义在R上的偶函数，且当x<0时，fx2x【变式2】已知fx，gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且fxgA3 B2 C1 D3【变式3】若函数fx是偶函数，函数gx是奇函数，且fxg考点五奇偶性与单调性结合解不等式【例5】已知奇函数yfx的定义域为5，5，且在区间0，5【变式1】已知函数fx的图象关于y轴对称，且fx在（∞，0]上单调递减，则满足A12，16 B12，16 【变式2】已知函数fx为偶函数，当x∈[0，∞）时，A0，2 B2，0 C1，0【变式3】函数fx在∞，∞单调递减，且为奇函数若f11，则满足1≤A2，2 B1，1 C0，4【变式4】已知奇函数yfx，【变式5】设定义在R上的函数fx和g（1）对任意的x∈R，（2）gx在（∞，0]上单调递增若f2Aa≤1 Ba≥0 C0≤a≤【变式6】函数yfx是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有fx1fA{0} B{m∣m>0} C3．3幂函数一、幂函数的概念与图象1、定义：一般地，函数yxa叫做幂函数，其中x是自变量，α2、幂函数的特征：（1）xa的系数是1；2xa的底数x是自变量；（3）只有满足这三个条件，才是幂函数.对于形如y2x3、幂函数的图象同一坐标系中，幂函数yx，二、幂函数的性质1、所有的幂函数在0，∞上都有定义，并且图象都过点2、如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间3、如果α<0，那么幂函数的图象在区间0，∞上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于∞时，图象在x4、在1，∞上，随冥指数的逐渐增大，图象越来越靠近y三、幂函数奇偶性判断（1）函数fx①当α为奇数时，幂函数为奇函数②当α为偶数时，幂函数为偶函数（2）函数fx①当m、②当m为奇数，n为偶数时，幂函数为偶函数③当m为偶数，n为奇数时，幂函数为非奇非偶考点一判断是否为幂函数【例1】下列函数是幂函数的是（）Ay2x Byx21 Cyx3【变式1】下列函数是幂函数的是（）Ay2x2 Byx1 Cy1x【变式2】下列函数中，不是幂函数的是（）Ay2x Byx1 Cyx D【变式3】下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（）Ayx34 Byx12 Cyx考点二求幂函数的解析式【例2】（多选）如果幂函数ym23m3A0 B2 C1 D无解【变式1】已知幂函数fx的图像过点A14，12【变式2】已知幂函数fxm12xm【变式3】已知幂函数fxm22m2【变式4】已知幂函数fxm2m1x考点三幂函数定义域问题【例3】函数fx1xA（∞，1] BC∞，1 D1【变式1】函数yx2【变式2】已知幂函数fx的图象过点2，2，则fAR B0，∞ C[0，∞） 【变式3】若3x112考点四幂函数的值域问题【例4】函数yx3在区间4【变式1】若幂函数fx的图象过点4，116【变式2】已知幂函数fxxa的图象过点2，12，则函数gA1 B12 C1 D12【变式3】幂函数yfx的图象过点2，2，则函数A∞，∞ B∞，14 C14，【变式4】已知函数fx3x，x≤ax考点五幂函数圆象的判断及应用【例5】幂函数yxa，yxbAa>b>c>dCd>c>b>【变式1】函数T111（1）如果1a>a（2）如果a2>a（3）如果1a>a（4）如果a2>1其中正确的是（）.A（1）（4） B（1） C（1）（2） D（1）（3）（4）【变式2】已知幂函数yfx的图象经过点P4，1【变式3】图中Cl、C2、C3A12，3，1 B1，3、1【变式4】若幂函数yxm与yxA1<n<0<m<C1<n<0，m【变式5】5]函数yx43的图象是（考点六幂函数图象过定点问题【例6】三个幂函数（1）yx1，（2）yx12，A4，2 B2，4 C0，0【变式1】若函数yfx与ygx图象关于yx对称，且fA4，0 B4，1 C4，2【变式2】函数yx1【变式3】函数y3x【变式4】幂函数fx的图象过点2，2，则函数考点七利用幂函数单调性解不等式【例7】若幂函数fx的图象过点16，8，则fA∞，0⋃1，C∞，0 D1【变式1】已知函数fxx43【变式2】若a112<【变式3】已知幂函数fxxm3m∈N*的图象关于y【变式4】已知幂函数fxxm3m∈N*的图象关于y考点八幂函数性质的综合应用【例8】已知幂函数fxm12（1）求m的值；（2）当x∈1，2时，记fx的值域为集合A，若集合B2【变式1】已知幂函数fxm23（1）求fx（2）求函数gxf2x【变式2】已知函数fx（1）若fx为偶函数，且在0，∞（2）若fx在0，∞上减函数，求【变式3】已知幂函数hxm（1）求实数m的值；（2）求函数gxh【变式4】已知幂函数yfxxm（1）求yf（2）讨论函数yafx3．4函数的应用（一）解决实际应用问题的一般步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如图：一、一次函数模型1、一次函数为：y2、求最值的方法：常转化为求解不等式axb≥0（或≤0[例]据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次08元，普通车存车费是每辆一次05元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是 Ay03x8000Cy03x800[变式]为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是第一套第二夽椅子高度x400370课桌高度y750702（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）现有一把高420cm的椅子和一张高二、二次函数模型1、二次函数：形如y2、求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.【例2】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足关系式yax41008x，其中4<x（1）求a的值；（2）若该商品的进价为4元/千克，试确定销售单价x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.[变式]某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输若该公司预计从第1年到第n年n∈N*花在该台运输车上的维护费用总计为n25（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出哪一种方案较为合算？请说明理由.三、幂函数模型幂函数模型为yaxn在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题.【例3】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem），其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文现在加密密钥为ykx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”A12 B14 C2 D18[变式]某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为x0<x<（1）求x的值；（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的22，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的1四、分段函数模型1、分段函数的定义域：对应每一段自变量取值范围的并集.2、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【例4】某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低002元，但实际出厂单价不能低于41元.（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）[变式]某公司生产一种产品的固定成本为05万元，但每生产100件需要增加投入025万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数Rx5xx22（1）把利润表示为年产量的函数fx（2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大？五、对勾函数模型应用对勾函数模型：yx主要利用对勾函数图像、单调性解题.【例5】某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足mx24（其中0<x≤a，a为正常数）（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？[变式]某公司一年需要一种计算机元件8000个，每个电子元件单价为a元，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，每次单价不变，购一次货需手续费500元已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为12x件，每个元件的库存费是一年2元（1）将公司每年总费用F表示成x的函数；（2）请你帮公司核算一下，每年进货几次花费最小.函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、利用单调性、奇偶性解不等式原理1、解fm（1）若函数为奇函数，直接利用函数的单调性，去掉函数符号"f"；若函数为偶函数，先把变量加绝对值如fm<fn，再利用函数的单调性，去掉函数符号"f"，将“抽象"的不等式问题转化为“（2）若不等式一边没有函数符号"f"，而是常数（如fm<a），那么我们应该将常数转化带有函数符号"f2、fx为奇函数，形如f第一步：将fn移到不等式的右边，得到f第二步：根据fx为奇函数，得到f第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号"f"，列出不等式求解.3、利用单调性、奇偶性解不等式的一般步骤（1）看定义域是实数还是某区间，如果是某区间一定注意不等式里面的自变量首先要满足区间（2）看不等式两边有没有常数，有常数要统一为"f"的形式.（3）看奇偶性，若是奇函数，要处理“f"前面的负号，若是偶函数为了避免讨论，则要把变量加上绝对值.（4）看单调性，单调性给出形式有三种：一是直接给出，二是间接给出，单调性的等价形式或者给出解析式让判断单调性.（5）把自变量化到同一区间内，依据单调性去"f"，增函数直接去，减函数去"f"，不等式要变号.考点一根据简单抽象函数的单调性解不等式【例1】设函数fx是R上的减函数，若fm22【变式1】已知yfx在定义域2，2上是增函数，且f【变式2】已知fx是定义在（∞，0]上的单调递增函数，且f2【变式3】已知函数fx的定义域D1，2，∀x1，xA25，23 B25，∞ C【变式4】已知定义在R上的函数fx，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2考点二根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式【例2】定义在1，1上的奇函数fx为减函数，且f1【变式1】定义在R上的奇函数yfx在0，∞上递增，且f12【变式2】已知函数fx为奇函数，当x>0时，fx单调递增，且f10，若A{x∣0<x<1或xC{x∣x<0或x>【变式3】已知函数fx是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数x1，x2，xA1，12 B∞C1，2 D∞【变式4】偶函数fx在区间[0，∞【变式5】（多选）已知偶函数yfxx∈R，有∀x1，xA2≤a≤2 BC0<a<2 【变式6】设偶函数fx在0，∞上单调递减，且f3【变式7】已知函数fx定义域为R，满足fxf2x，且对任意1≤考点三根据复杂抽象函数的单调性解不等式（拔高题）【例3】已知fx是定义在0，∞上的减函数，且对任意x∈0，A3，∞ B2，∞ C∞，3 【变式1】已知定义在0，∞上的函数fx（1）求f1和f（2）解关于x的不等式fx【变式2】已知fx是定义在1，∞上的减函数，若对于任意x，y∈1，∞A∞，52 B52，∞ C1，【变式3】定义在0，∞上的函数①对任意正数a，b，都有②当x>1时，③f（1）求f1和f（2）试用单调性定义证明：函数fx在0（3）求满足f4x312考点四根据单调性定义构造函数解不等式（抜高题）【例4】定义在0，∞上的函数fx满足x1fx【变式1】定义在0，∞上的函数fx满足x2fxA3，∞ B0，3 C12，∞【变式2】已知函数f1xx1ax若对于任意1<xA∞，1]⋃[0，C1，0 D∞【变式3】设函数yfxx≠0，对于任意正数x1，x2x1≠x2A1，0）⋃（C∞，1]⋃[1，【变式4】已知定义在R上的函数fx满足ffx1fx【变式5】设函数fx的定义域为0，∞，对于任意的x1<x2，当x1考点五根据简单具体函数的单调性解不等式【例5】已知函数fxx1x2的定义域为[A52，4 B[2，3） C∞【变式1】已知函数fxx2，若f2【变式2】已知函数fxx23，若f【变式3】已知函数fxx32【变式4】已知函数fx1xx考点六根据复杂具体函数的单调性解不等式（指对函数综合拔高题）【例6】已知函数fxexex1【变式1】已知函数fxx2lnx21，若不等式A2，2 B4，C∞，4]⋃[4，【变式2】已知函数fx2022x2022x2A∞，0 B∞，1 C∞，2 【变式3】已知fxln16x21axA8，8 B0，8 C8，16【变式4】已知函数fxlnxx212x【变式5】已知函数fx12x12xAba<2 Ba2b>2 Cb【变式6】已知函数fx2022xlog2022x2A14，∞  B∞函数专题：抽象函数及其性质的5种考法（拔高课）一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，赋值规律一般有以下几种：1、根据题目已知一般带入0，1，2、通过fx3、令式子中出现fx及f4、换x为xT确定周期性二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数fxfx2②若给出的是“积型”抽象函数fxyfx2f三、常见的抽象函数模型1直线型：（1）若x，y∈R，恒有f（2）若x，y∈R，恒有2指数型：若x，y∈R，恒有fxyfx3对数型：若x>0，y>0恒有fxyf4幂函数型：x>0，y>0恒有考点一求抽象函数的函数值【例1】定义在R上的函数fx满足fxyf【变式1】设函数fx满足f01，且对任意x，y∈【变式2】设函数fx满足f01，且对任意x，y∈【变式3】定义在x，y∈0，∞的函数满足f【变式4】fx满足对任意的实数a，b都有fabf考点二求抽象函数的解析式【例2】已知函数fx对于一切实数x，y都有f（1）求f0的值；（2）求fx【变式1】已知f01，对于任意实数x，y【变式2】已知定义在R上的函数fx满足：对于任意的实数x，y，都有fxyf【变式3】对任意实数x，y，都有fxy【变式4】已知函数fx对一切的实数x，y，都满2（1）求f2的值；（2）求f考点三证明抽象函数的单调性【例3】已知函数fx对∀x，y∈R，都有fxyfx【变式1】已知定义在R上的函数yfx，当x>0时，fx（1）求f0（2）根据定义证明yf【变式2】定义在0，∞上的函数①对任意正数a，b，都有fafbfab；②（1）求f1和f（2）试用单调性定义证明：函数fx在0（3）求满足f4x312【变式3】已知函数fx对任意的a，b∈R，都有（1）判断并证明fx（2）若f43，解不等式【变式4】设函数yfx的定义域为R，并且满足fxyfxf（1）求f0（2）判断函数fx（3）如果fx>f2考点四证明抽象函数的奇偶性【例4】已知函数fx对∀x，y∈R，都有f【变式1】已知函数fx对一切实数x，y∈R（1）分别求f0和f（2）判断并证明函数Fxf【变式2】若对于任意实数x1，x2，函数fx，x∈R都有【变式3】已知函数fx满足fxyfxfy（1）求f0，并证明函数g（2）当x∈0，9，不等式f【变式3】定义在1，1上的函数满足fxfy（1）f0（2）证明：函数fx（3）证明：函数fx（4）试比较f12f考点五求抽象函数的值域【例5】定义在R上的函数fx对一切实数x、y都满足fx≠0，且fxyfx⋅fyAR B0，1 C0，∞ D0【变式1】函数fx的定义域为0，∞，且对任意x>0，y>0（1）求f1（2）判断fx（3）求fx在1，【变式2】已知函数fx对于任意实数x，y∈R总有fxfyfxy【变式3】已知函数fx对任意实数x，y，均有fxyfxfy，且当函数专题：函数的周期性与对称性一、周期函数的定义1、周期函数：对于函数yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有fxTfx2、最小正周期：如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx3、周期函数两个常用性质：（1）若非零常数T是fx的周期，则T也是fx（2）若非零常数T是fx的周期，则nT（n为任意非零整数）也是二、函数的周期性的有关结论（1）若fxaf（2）fxa（3）fxa（4）fxa（5）fxa（6）fxa（7）fxa（8）fxa（9）fxa（10）fxa（11）fx2三、函数的对称性（自身对称）1、函数对称性的常用结论对称轴（1）若fxf2（2）若faxf（3）若faxf对称中心（4）若f2ax（5）若faxf（6）若faxf2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数fx满足faxfax，则其函数图象关于直线（2）若函数fx满足f2ax2bf四、函数对称性与周期性的关系1、轴轴对称：若函数fx关于直线xa与直线xb2、点点对称：若函数fx关于点a，0对称，又关于点b3、点轴对称：若函数fx关于直线xa，又关于点b，五、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系1、（1）函数fx是偶函数；（2函数图象关于直线xa对称；（3）函数的周期为2、（1）函数fx是奇函数；（2）函数图象关于点a，0对称；（33、（1）函数fx是奇函数；（2函数图象关于直线xa对称；（3）函数的周期为4、（1）函数fx是偶函数；（2）函数图象关于点a，0对称；（3其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个；特别注意：双对称可以推出周期满足条件对称轴对称中心周期yfxyfxyfxyfxyfxyfx记忆方法：x前面的系数“同周异对”；对称性：fx前面的系数“同轴异中考点一判断证明函数的周期性【例1】定义在R上的函数fx满足fx2Ay4fxx BCyfxx D【变式1】定义在R上的函数fx满足fx1Ayfxx Byfxx Cy【变式2】已知fx是定义域为∞，∞的偶函数，且满足fAfxfx2 BCfxfx4 【变式3】已知函数fx11f【变式4】fx111考点二利用函数的周期求函数值【例2】已知函数yfx是定义在R上的周期函数，且周期为2，当x∈0A821 B221 C21 D【变式1】设yfx是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[1，1）时，fxx【变式2】已知fx为R上的奇函数，满足fx4fx，且当x∈【变式3】若定义在R上的偶函数fx满足f2xfx，且当1≤xA52 B32 C12 D12【变式4】已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f2xfx，若【变式5】已知函数fxx22【变式6】已知fx是R上的偶函数，对任意x∈R，都有fx6fxfA0 B2 C2 D6考点三利用函数奇偶性与对称性求函数的周期【例3】已知fx是定义在R上的函数，f2x1A函数fx的周期为2 B函数fx的周期为3 Cf20200 Df【变式1】已知函数fx1x∈R是偶函数，且函数fx的图像关于点1，A1 B2 C0 D2【变式2】已知函数yf2x1的图象关于直线x1对称，函数yAf10 Bf1Cfx的周期为2 Dfx【变式3】设函数fx的定义域为R，fx31奇函数，fA1 B2 C3 D4【变式4】已知fx是定义域为R的奇函数，且fx1为偶函数若f11考点四利用周期性求函数的解析式【例1】已知fx是定义在R上周期为2的函数，当x∈1，1时，fx【变式1】已知fx是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈0，2时，fx【变式2】已知fx是定义在R上偶函数，且x∈R，fx32fx【例2】设fx是定义在R上以2为周期的奇函数，当x∈[0，1）时，fxlog【变式1】设fx是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈0，2时，fx【变式2】设fx