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文档简介

微分方程一、可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.例1

求解微分方程解分离变量两端积分:经检验上式为所求的通解的通解。得:整理得:第二节一阶微分方程例2求微分方程的通解解:分离变量得:两边积分得：即：其通解为例３求微分方程解：把方程分离变量，得两边同时积分得方程的通解为将即：所求的特解为例４设降落伞下落后，所受的空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开塔时（t＝0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系．解：设降落伞下落速度为，降落伞在空中下落时，同时受到重力与空气阻力的作用，重力为，方向与一致；阻力为（为比例系数），方向与相反，故降落伞所受的外力为又因为：故分离变量得：两边积分即：或把初始条件代入得故所求的特解为二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义例5求方程的通解.解:原方程可化为设故:三一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比常数变易法

把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例10这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次方程的通解.则即则

代入所给非齐次方程,

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