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一阶线性微分方程

齐次方程的通解为步骤1先解线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)步骤2讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的解之间的关系：两边积分因此，非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比，就是将：常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称常数变易法.现在是将齐次方程的通解变易成步骤3求并将代入线性非齐次方程积分得因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解

对于一阶线性非齐次微分方程的求解，有两种常用的方法：一种是在求出相应齐次方程解的基础上再用参数变易法求解；另一种是直接记住用参数变易法导出的计算公式，将给定的p(x),Q(x)代入公式，得到微分方程的通解y(x)解例1例2

如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为P.3413.设曲线方程为y=f(x),按题意有：两边求导，得：经整理，得：对应齐次方程的通解为：y=cx非齐次方程的通解为：y=x(-4lnx+k)，代入初始条件y(1)=1,得k=1，因此，曲线弧方程为：y=x(1-4lnx)P.348求通解：1.(10)分析：如果把x看成自变量，把y看成因变量，上式不是一阶线性方程；反之，如把y看成自变量，把x看成因变量,上式成为：是一阶非齐次线性方程先解对应齐次方程的通解，得：设非齐次方程的通解为：求将代回方程，经整理得所求方程的通解：P.3496.解：设按题意，这是一个一阶线性非齐次方程，解之，得通解：代入初始条件：f(1)=1,得K=伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代回，代入上式得这是一个一阶线性非齐次微分方程，已能求解。（这是处理伯努利方程的固定的格式，应该记住）解例3例4

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为这是一个伯努利方程解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解

这是一个以y为自变量，以x为未知函数的一阶线性非齐次方程,已能求解。用适当的变量代换将方程化为可分离变量的方程：（1）设v=x+y;(2)

设v=x-y;（3）设v=xy(4)方程可写成：设v=y+sinx-1(5)设v=

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