（新高一暑假预习）数学人教A版必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程不等式（解析版）

.3二次函数与一元二次方程、不等式知识点1、一元二次不等式的概念定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0【注意】(1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母．(2)“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0．知识点2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系1．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系项目Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{xx<xRax2+bx+c<0(a>0)的解集xx1<x<x2}∅∅【注意】(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标．(2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根．知识点3、简单的分式不等式的解法考点一解不含参数的一元二次不等式考点二解含有参数的一元二次不等式考点三其他不等式考点四三个二次之间的关系应用考点五一元二次方程根的分布问题考点六一元二次不等式在实数集上恒成立问题考点七一元二次不等式在某区间上的恒成立问题考点八一元二次不等式在某区间上有解问题考点九一元二次不等式在实际的应用考点十二次函数的图象分析与判断考点一解不含参数的一元二次不等式1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由可得，所以不等式的解集为2．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法求出解集，结合充分条件，必要条件的概念求解即可.【详解】不等式，即的解集为.结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为.3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】原不等式等价于.解得或，即原不等式的解集为.4．（2026·河北沧州·三模）不等式的解集为__________．【答案】【详解】原不等式可化简为，即，得，故不等式的解集为.考点二解含有参数的一元二次不等式5．（25-26高一·全国·专项练习）解关于的不等式：．【答案】时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为.【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解．【详解】当时，不等式为，其解集为，当时，，当时，抛物线开口向下，，方程的根为，且，故不等式解集为；若，抛物线开口向上，当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为；当时，，方程的根为，不等式，则，解集为；当时，，方程的根为，则不等式解集为；综上，时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为．6．（25-26高一上·天津南开·阶段检测）解关于的不等式：，．【答案】答案见解析.【分析】讨论、，并应用含参的一元二次不等式的解法求解集.【详解】当时，，当时，，若，即，可得或，时，则，可得或，时，则，可得，若，即，则，可得，若，即，则，可得或，综上，时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；7．（25-26高一·全国·专项练习）已知，求关于x的不等式的解集．【答案】答案见解析【分析】按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可.【详解】因为，即，当时，令，解得，若时，，不等式解集为；若时，，不等式解集为；若时，，不等式解集为；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.8．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）解下列含参数a的不等式：(1)．(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据的符号及根的大小关系分类讨论求解；（2）由的符号及根的情况分类讨论可得不等式解.【详解】（1）当时，不等式的解集为．当时，不等式化为（*）.当时，，，上述不等式的解集为；当时，上述（*）不等式化为，因此不等式的解集为；当时，，，上述（*）不等式的解集为；当时，，，上述（*）不等式化为，解得，因此不等式的解集为．综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（2）①当时，不等式为，解得，则此时解集为，②当时，令，，（ⅰ）若，即时，此时不等式解集为，（ⅱ）若，即时，，解得，则此时不等式解集为．③当时，（ⅰ）若，即时，此时不等式解集为R．（ⅱ）若，即时，此时不等式为，解集为．（ⅲ）若，即时，则不等式解集为．综上所述，当时，不等式解集为R；当时，则不等式解集为；当时，则不等式解集为；当时，则不等式解集为；当时，此时不等式解集为．9．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解；（2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解.【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立，当时，不恒成立，故不符合题意；当时，则，可得；综上，的范围为.（2）可化为，即，①当时，，即，可得，故不等式的解集为；②当时，有，若，即时，可得或，解集为或；若，即时，可得，解集为；若，即时，可得或，解集为或；③当，则，可得，解集为，综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为10．（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集【答案】1.当时，不等式化为.（1）当时，不等式解集为：；（2）当时，不等式解集为：；2.当时，不等式化为：.（1）当时，不等式解集为;（2）当时，不等式解集为;3.当时，设不等式对应方程两根.（1）当时，，不等式解集为：或；（2）当时，，不等式解集为：；4.当时，不等式对应方程的根为.（1）当时，不等式解集为：或；（2）当时，不等式解集为：；5.当时，不等式对应方程无解.（1）当时，不等式解集为：R；（2）当时，不等式解集为：.【解析】略考点三其他不等式11．（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可.【详解】分式不等式等价于：，即.解得或.故不等式的解集为或.12．（25-26高一·全国·专项练习）不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】方法一：由，得，化简得，即，等价于，解得.所以原不等式的解集为.方法二：由，得或，化简得或（舍去），所以，所以原不等式的解集为.13．（25-26高三·全国·一轮复习）解不等式.【答案】或或【详解】因为次数为2，根为2，的次数为奇数，根分别为.如图所示，“奇穿偶不穿”，解集为或或．14．（2026·辽宁朝阳·二模）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.【详解】，故，解得或，故该不等式的解集为.15．（25-26高一上·北京·期中）不等式的解集是______．【答案】【分析】由绝对值不等式的解法可得.【详解】不等式等价于或，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.16．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）不等式的解集为______.【答案】或【分析】根据绝对值不等式的解集求法直接求解即可.【详解】因为，所以或，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或17．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________．【答案】【详解】令，当时，；当时，，得，所以；当时，不成立．故原不等式的解集为.18．（25-26高三上·辽宁·期末）的解集为_____【答案】【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解.【详解】原不等式等价于当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为；当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为；综上所述，原不等式的解集为.故答案为：考点四三个二次之间的关系应用19．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为.则（

）A． B．不等式的解集是C． D．不等式的解集是【答案】BC【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可.【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根，所以，，即，.B：可化为，因为，，所以不等式的解集是，B正确.C：因为，所以，C正确，D：可化为，因为，所以，解得或，故D错误.20．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可.【详解】由不等式的解集为可知，且，，所以，所以不等式可化为，又，则，解得或．21．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是【答案】ABD【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断．【详解】对于A，若，解集为，故A正确；对于B，当时，，解集为，故B正确；对于C，若不等式的解集为，则，显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误；对于D，若不等式的解集是，则且方程的两根为，所以，解得，所以当时，不等式的解集是，故D正确．22．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可．【详解】由不等式的解集为，所以，，故A错误；方程的两个根为，，则，故B正确，C错误；，故D正确．23．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________.【答案】【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程的解，且，所以，所以，所以等价于，等价于，解得或，所以不等式的解集为.24．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知，关于的不等式的解集为，则（

）A．3 B． C．1 D．【答案】C【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出、的值，进而求出的值.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以和2是方程的两个根，所以，，所以，.所以.故选：C.考点五一元二次方程根的分布问题25．（25-26高一·全国·专项练习）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______．【答案】【分析】由二次函数的图像性质求解【详解】令，对称轴为；根据题意，作函数的图象：则，解不等式组得.26．（25-26高一·全国·专项练习）关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围．【答案】【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得.【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数，由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象：则满足，即，解得，再验证当时，，方程一定有两个不同的根.所以实数的取值范围为．27．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程(1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围(2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得；（2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得.【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴.则，由方程有两个实根且都大于，所以，，解得.因此，实数的取值范围为.（2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正.若方程无根，则，解得；若方程所有实根非正，则，，解得.综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即.因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则.所以方程至少有一个正根，实数的取值范围28．（25-26高一下·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______．【答案】【详解】方程，解得，依题意，，解得，所以a的取值范围为.考点六一元二次不等式在实数集上恒成立问题29．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，对参数进行分类讨论求出充要条件，然后分析即可得出结论.【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题，即，不等式恒成立，当时，则不等式化简为恒成立，当时，不等式恒成立，则等价于，解得，综上所述命题“，”是真命题的充要条件是即命题“，”是假命题的充要条件是，若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件，则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集.30．（25-26高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立；当时，不等式对一切恒成立，则有且，即，解得，综上可得，.31．（2026高二下·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可.【详解】当时，显然有成立，符合题意；当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意；当时，要使不等式对一切实数都成立，需使，即，解得.综上所述，实数的取值范围为.32．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______．【答案】【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可.【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意；②当时，一元二次不等式对恒成立，则有，解得.即实数a的取值范围为.考点七一元二次不等式在某区间上的恒成立问题33．（25-26高一·全国·专项练习）若对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可.【详解】要使在上恒成立，即，，因为当时，，则有在上恒成立，当，令，即，所以在上恒成立，则，即，故实数的取值范围为.34．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解.【详解】根据题意可得对任意恒成立，而，当且仅当时等号成立，则，所以，则的最小值为．35．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集（2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。【详解】（1）（1）当时，，则，解得：或，即不等式的解集为：；（2）由不等式可得：(*)，因为，所以，则(*)等价于，，再令，则，令函数，因为在单调递减，在单调递增，且，所以，由对任意的都恒成立，则，所以实数的取值范围是.36．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（

）A．6 B． C． D．8【答案】A【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可.【详解】由在区间恒成立，可得，即在区间恒成立.因为，则，当且仅当，时等号成立，所以，故，即的最大值为，故选：A.考点八一元二次不等式在某区间上有解问题37．（25-26高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解.【详解】存在，使不等式成立，则实数，即得，所以，所以的取值范围是38．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题，即对于，成立.设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减，最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为.充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有(−1,+∞)⫋A因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是.39．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解.【详解】，的否定为真命题，即命题“”为真命题，当时，不等式化为，即，符合题意；，命题“”为真命题，当时，对于抛物线，开口向下，显然在有解，符合题意；当时，对于抛物线，开口向上，只需，解得或，又，所以或，综上实数的取值范围是或，即．40．（25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（

）A．0 B． C．2 D．4【答案】BD【分析】由，和三种情况讨论求解即可.【详解】当时，原不等式不成立，时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立．时，则，即解得，综上所述，的取值集合是或，结合选项，所以实数可取值，4，故选：BD．考点九一元二次不等式在实际的应用41．（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台．(1)当年产量为20台时，求公司所获年利润；(2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？(3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？【答案】(1)万元；(2)台；(3)台.【分析】（1）根据分段函数求值即可；（2）解一元二次不等式，即可得解；（3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断.【详解】（1）当年产量为20台时，（万元），所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元；（2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即，解得，又因为，所以，即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台；（3）当时，，此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元，当时，，当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元，综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元.42．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元.(1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式.(2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围.(3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？【答案】(1)；(2)的取值范围为；(3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元.【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解.【详解】（1）由题知，又，解得，所以.（2）由题知追加的总成本，整理得，解得，又，所以的取值范围为.（3）由知，令，则，代入函数解析式得，当且仅当时，等号成立，此时，.故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元.43．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？(2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)人；(2)存在，.【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果；（2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知.【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元，调整后的研发人员的年总投入为万元，由题意可知，，解得，又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人.（2）由①可知，所以，所以，又因为，且，所以，所以；由②可知，化简可得，因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号，所以，所以，由上可知，所以，所以存在实数满足条件.44．（2026高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元.(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资．请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)50(2)存在，【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案；（2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元，则，（），化简得，解得，因为且，所以，所以调整后的技术人员的人数最少为50人；（2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，由条件①得，整理得；因为，当且仅当，即时等号成立，所以，由条件②得，解得；又因为，所以．所以．考点十二次函数的图象分析与判断45．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（

）①；②；③；④．A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确；因为图象经过、两个点，所以，解得，因为，，所以，②说法正确；由得，即，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，，所以，即，④说法正确.46．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知抛物线的一段图像如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD.【详解】因为抛物线的图象开口向上，则，且对称轴，则，又因为抛物线的图象过点，，则，可得，解得，故A正确；例如，符合题意，但，故B错误.因为，且，则，所以，故CD正确；47．（25-26高一·全国·专项练习）二次函数的部分对应值如表所示：340则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定数表，结合二次函数性质确定其图象对称轴及开口方向，进而求出不等式的解集.【详解】在二次函数中，由，得图象的对称轴为直线，由，得，而，则的图象开口向下，所以的解集为.故选：A48．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.【详解】由题意得，为的两个根，故，即，开口向下，AC选项错误，对称轴为，D选项错误.所以B选项正确.故选：B49．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（

）A．B．C．D．关于的不等式的解集为【答案】AD【分析】根据图象得出参数，进而计算判断A，B，C选项，再代入化简计算一元二次不等式判断D.【详解】函数的零点为和1，则，又因为图象开口向下，所以，对于A：，A选项正确；对于B：，B选项错误；对于C：，C选项错误；对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确；故选：AD50．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）（多选）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（

）A．B．，C．的解集为D．的解集为【答案】BD【分析】根据二次函数图象的开口方向可判断A选项；利用二次函数的最值可判断B选项；利用二次函数的对称轴方程得出，结合一次不等式的解法可判断C选项；根据二次函数过点得出，利用二次不等式的解法可判断D选项.【详解】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错；对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值，即，，B对；对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得，由得，即，解得，故的解集为，C错；对于D选项，因为二次函数与轴交于点，则，可得，不等式即为，即，解得，故不等式的解集为，D对.故选：BD.1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据充分性和必要性的定义判断即可．【详解】或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件．2．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（

）A． B．或C． D．【答案】B【详解】不等式，即，解得或.因此不等式的解集是或.3．（25-26高一·全国·专项练习）不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】不等式化为，即，不等式两边同乘，得，等价于，解得，所以原不等式的解集为.4．（25-26高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解.【详解】时，，不等式可化为，因为，且，则，故有，则原不等式等价于，所以原不等式的解集为.5．（25-26高一·全国·专项练习）下列说法不正确的有（

）A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是B．在上恒成立，则实数k的取值范围是C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围【答案】D【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD．【详解】对于A，当时，恒成立，当时，由题意可知：，解得，综上得，k的取值范围是，故A正确；对于B，由得，因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立，故得，即实数k的取值范围是，故B正确；对于C，由题意得，对恒成立，即，因（当且仅当时取等号），则得，故C正确；对于D，由题意得，对恒成立，即，因（当且仅当时取等号），可知，故D错误.6．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等式的解集结合韦达定理可得、、，则可将不等式化为，解出即可得.【详解】由不等式的解集为可知，且，，所以，，所以不等式可化为，又，则，解得．7．（25-26高一上·江西新余·期末）使得，为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可.【详解】若，为真命题，则时，，而，故当时，取到最大值6，故，因此是所求必要不充分条件的范围的真子集，故选项中只有满足条件，故选：C8．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）对，不等式恒成立的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式，再由不等式恒成立确定的范围，最后结合充分不必要条件的定义即可得解.【详解】整理得，当时，解得；当时，解得；当时，解得.又，不等式恒成立，，即，因为⫋，故“”是“”的充分不必要条件，故选：D．9．（25-26高一下·浙江·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（

）A． B．C．不等式的解集为 D．不等式的解集为【答案】ACD【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D.【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确；对B：由题意可得，故，，则，故B错误；对C：，由，故，即，故C正确；对D：，由，则该不等式解集为，故D正确.10．（25-26高一上·重庆·期末）（多选）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的一个充分不必要条件是D．方程有一个正根一个负根的充要条件是【答案】ABD【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可.【详解】对于A选项，当时，方程为，，即方程无实数解，A错；对于B选项，若方程有两个正根，则，解得，即方程有两个正根的充要条件是，B错；对于C选项，若方程无实数根，则，解得，故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对；对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得，故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错.故选：ABD.11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（

）A．若，则不等式的解集为B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是【答案】ACD【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可.【详解】对于A，时，不等式为，化简得，令，解得，即或，所以不等式的解集为，所以A正确；对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误；对于C，令，因为不等式对恒成立，且是关于的一次函数，所以只需满足且即可.由恒成立，由，解得，C正确；对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为，所以使不等式成立的整数.设对应的两个根为，则.所以，解得，D正确.故选：ACD.12．（25-26高一上·黑龙江·期中）（多选）当时，关于的不等式有解的必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据题意，转化为在上有解，即，利用换元法求得的最小值，得到的取值范围为，结合选项，即可求解.【详解】当时，关于的不等式有解，即在