（新高一暑假预习）数学人教A版必修第一册2.2 基本不等式（解析版）

.2基本不等式知识点1、基本不等式1．基本不等式：如果a>0，b>0，则ab≤a+b2，当且仅当a＝b时，等号成立．其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数2．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【注意】(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a+b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，知识点2、最值定理已知x，y都为正数，则：(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值14S2简记为：积定和最小，和定积最大．利用基本不等式求最值时要注意的三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．考点一基本不等式“1”的妙用求最值考点二配凑法解最值考点三消元法解最值考点四二次与二次(或一次)的商式的最值考点五利用基本不等式求参数值或取值范围考点六由基本不等式比较大小考点七由基本不等式证明不等关系考点八利用基本不等式解决实际问题考点九对勾函数求最值考点一基本不等式“1”的妙用求最值1．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由，得，所以，当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得，所以的最小值是.2．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________【答案】2【详解】因为，所以.，当且仅当时等号成立.3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（

）A． B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得.【详解】已知，，且，，当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为．4．（25-26高一·全国·专项练习）新高一年级数学人教A版）已知，，，则的最小值为____．【答案】【详解】由可得，当且仅当，即，也即，时等号成立，即的最小值为．5．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．9【答案】B【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.6．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想，利用均值不等式求解最小值.【详解】已知，则，，当且仅当时，即时取等号，联立解得，满足为正实数，等号能够取到，所以最小值为.考点二配凑法解最值7．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，则的最小值为_____．【答案】【详解】，则，当且仅当时，即时取等号，即的最小值为.8．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知的最小值为______．【答案】【分析】使用配凑法配凑出分母的和，再结合基本不等式即可求解.【详解】因为，所以．所以，当且仅当，且，即时等号成立．故的最小值为．9．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：将所求因式通分后利用基本不等式计算即可.方法二：将所求因式配凑后利用基本不等式计算即可.方法三：根据柯西不等式计算即可.【详解】方法一：因为，所以，因为a，b为正数，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最小值为；方法二因为，所以，因为a，b为正数，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最小值为.方法三：因为，所以由柯西不等式得，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.10．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】由配凑法结合换1法得出，再使用基本不等式即可求解.【详解】由题意得，则，当且仅当即时等号成立.11．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________．【答案】/【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解.【详解】因为正实数满足，所以，所以，，当且仅当时取等号，即，时，最小值为.12．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当即、时等号成立．所以的最小值为.考点三消元法解最值13．（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（

）A．6 B．4 C． D．2【答案】A【详解】因为，故，又因为，，因此有，因此，当且仅当时等号成立，设，所以，解得或，由和，解得，因此当时，的最小值为6.14．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________.【答案】【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】已知，对已知等式变形得x(y+1)=8−y⟹x=8−yy+1将上式代入中化简得.由基本不等式得，因此，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.15．（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____.【答案】【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.【详解】令，则，方程可化为，整理得，则满足，解得，所以，即，所以的最大值为.16．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知为实数，且，则的最小值为________.【答案】/【分析】由题意可得，代入，化简得，利用基本不等式求解即可.【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.17．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论；方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可.【详解】（方法一）由，可得，因为，，所以，，则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为13．（方法二）由，可得，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为13．18．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为（

）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】由可得，即，故，当且仅当，时等号成立．考点四二次与二次(或一次)的商式的最值19．（25-26高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________．【答案】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立.故当时，的最小值为.20．（2026高一·全国·专题练习）若，则函数的最小值为_____.【答案】10【详解】若，则，所以函数，当且仅当，即时等号成立，故函数的最小值为.21．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______．【答案】/【详解】，，当且仅当时取等号，即函数(）的最大值为．22．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】令，则，因为，可得，可得，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.23．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____．【答案】【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故答案为：24．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______.【答案】【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得.【详解】由，则，当且仅当，即时取等号，故最小值为.故答案为：，25．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【答案】A【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．【详解】易知．因为，所以，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故，则的最大值是．故选：A26．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值.（2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.【答案】（1）4，

（2）6，【分析】（1）根据基本不等式求解即可；（2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可.【详解】（1）因，则有，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为4；

（2）当时，，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为6.考点五利用基本不等式求参数值或取值范围27．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________.【答案】【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可.【详解】因为，且由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，即，得到，解得，故的最小值为，要使恒成立，即成立，解得.

故答案为：.28．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________.【答案】【分析】根据题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式可得，再根据恒成立问题分析求解.【详解】因为正实数x，y满足，即，则当且仅当，即时，等号成立，若恒成立，则，所以实数的范围是.故答案为：.29．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______．【答案】6【分析】对已知不等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为，由，可得，令，则，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的最小值为6，所以要想当时，恒成立，只需，即的最大值为6．故答案为：630．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（

）A．8 B．16 C．24 D．36【答案】C【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案.【详解】由正实数满足，可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为，因为恒成立，可得，解得.故选：C.31．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，，且，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：32．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）.A． B． C．1 D．【答案】C【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得.【详解】，，恒成立，而，当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为.故选：C.考点六由基本不等式比较大小33．（25-26高三下·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质，基本不等式以及作差法，即可根据选项逐一求解.【详解】对于A,由于，则，故，进而，A错误，对于B,由于，则，故，B正确，对于C,由于，则，故，C错误，对于D,，由于，则，故，故，D错误，34．（25-26高一·全国·专项练习）已知实数满足，则（）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】对AD选项用特殊值验证可得，对B选项可用基本不等式可得，对C选项用作差比较法判断可得.【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：因，则，，则，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C：因且，所以，即，故C正确；对于D：若，则，故D错误.故选：C35．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解.【详解】由于，则.故选：C.36．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【详解】因为，，所以，解得，同理可得，由，可得，又，可得，所以，因为，所以，所以，所以.考点七由基本不等式证明不等关系37．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：；（2）已知，，且，求的最小值.【答案】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立.从而，当且仅当时，等号成立.（2）【分析】（1）结合基本不等式证明即可.（2）根据基本不等式及求解即可.【详解】（1）略（2）因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.38．（2026·贵州毕节·三模）（多选）已知正实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.【详解】选项A.由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确.选项B.对平方得，由A知，因此，因为，开方得，当且仅当时等号成立，B正确.选项C.，由，所以，即，C错误.选项D.，因此，所以，D错误.39．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】利用作差法可判断AD；利用基本不等式可判断C；举反例可判断B.【详解】选项A：，因为，所以，又因为，所以，即.因此，A为真命题；选项B：取，，满足，计算得，，，显然不成立.因此，B为假命题；选项C：由基本不等式，得：（），两边取倒数得，再乘以得，由于，等号不成立，故.因此，C为真命题；选项D：由，得且，，即.因此，D为真命题.40．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（

）A．若，则恒成立B．若且，则恒成立C．若，则D．若，，则成立【答案】D【分析】对A，根据完全平方公式即可判断；对B，举反例即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，平方后作差即可判断.【详解】对A，因为，即，即，故A错误；对B，当时，此时，故B错误；对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误；对D，因为，又因为，故成立，故D正确.故选：D.41．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证：【答案】证明见解析【分析】利用换元法及基本不等式证明即可.【详解】证明：因为，，所以，，令，，则当且仅当，即时等号成立；所以，当且仅当时，等号成立.42．（25-26高一·全国·专项练习）已知均为正实数.(1)证明：；(2)证明，并求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析，【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得；（2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得.【详解】（1）证明：由基本不等式得，左右相加得，当且仅当时“”成立，问题得证.（2）证明：由已知，故，，当且仅当时等号成立，所以不等式成立；用替换，替换，替换得，即，故成立当且仅当，即时，等号成立，.43．（2026高一上·福建厦门·专题练习）已知，．(1)若，证明：；(2)若，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由基本不等式得，化简即可证明；（2），展开再由基本不等式即可求出答案.【详解】（1）因为，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.（2）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.44．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，(1)比较与大小；(2)证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小.（2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之.【详解】（1）由知，因此.（2）证明：由题设，及基本不等式知，.同理，，，即.即：.考点八利用基本不等式解决实际问题45．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm（）．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低(2)【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；（2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案.【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），则屋子前面新建墙体长为，所以即，当且仅当，即时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（2）由题意可知，当对任意的恒成立，即，所以，即，因为，当且仅当，，即时，的最小值为12，即，所以的取值范围是.46．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.

【答案】【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.【详解】设，，则，所以，所以，，即，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.故答案为：.47．（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元.(1)求y关于x的函数关系式；(2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）.【答案】(1)(2)万元.【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式；（2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值.【详解】（1）根据题意：，故y关于x的函数关系式为.（2）由（1）知盈利总额为，则年平均盈利额为，因为，等号成立时，所以，故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元.48．（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．

(1)用含有的代数式表示；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？【答案】(1)，(2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为，所以，可得，又，则，又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得，即关于的关系式为.（2）由（1）知，，，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.考点九对勾函数求最值49．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据对勾函数的性质可得最小值.【详解】由，令，则.，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，所以时，函数.故函数的最小值为.故选：C.50．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（

）A．函数的最小值为B．函数的最小值为C．函数的最大值为D．函数的最小值为【答案】C【分析】根据基本不等式即可判断.【详解】当时，函数无最小值，故A错误；函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误；当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确,D错误.故选：C.51．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可．【详解】对于A，函数（），当时，，当且仅当时取等号；当时，，又，当且仅当时取等号，所以此时，因此，函数无最小值，故A错误；对于B，函数，当时，，；当时，，，因此，函数无最小值，故B错误；对于C，，当且仅当，即时取等号，此时，所以函数最小值为2，故C正确；对于D，令，则，函数变为（），函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误．故选：C．52．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】用基本不等式可对选项进行判断，注意基本不等式等号成立的条件，用二次函数的性质可判断选项.【详解】对于选项.函数，定义域为.当时，，当且仅当，即时等号成立，即；当时，，当且仅当，即时等号成立，即.综上，函数的最小值不是2，选项错误.对于选项.函数，定义域为.对，，当且仅当时等号成立，但没有能满足此条件，故此函数最小值不是2，选项错误.对于选项.函数，其中，故.，当且仅当，即时等号成立.故函数的最小值为2，选项正确.对于选项.，定义域为，且则，由函数的性质可知，当时，有最小值4.故当时，有最小值，故选项正确.故选：53．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（

）A．的最小值为2B．已知，则的最小值为C．函数的最小值为2D．若正数满足，则的最小值为3【答案】BD【分析】举反例判断A；变形后利用基本不等式判断B；结合对勾函数的单调性可判断C；将化为，结合“1”的巧用，即可判断D.【详解】对于A，当时，，即的最小值为2错误；对于B，时，，则，当且仅当，即时取等号，则的最小值为，正确；对于C，，令，则在上单调递增，故的最小值为，C错误；对于D，正数满足，即，则，当且仅当时取等号，D正确，故选：BD54．（25-26高二下·福建福州·期末）（多选）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】因为x≥1，所以(当且仅当x＝2时取等号)；，但是等号取不到；因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号；因为x≥1，所以(当且仅当x＝1时取等号).故选：ACD.1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值为（

）A．3 B．4C．5 D．6【答案】A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3．2．（25-26高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值．【详解】，，，，，，当且仅当即时等号成立，的最小值为．3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得，于是，当且仅当，即，时，等号成立.4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件．【详解】因为，，且，所以，，，所以，当且仅当，即，时，等号成立．5．（25-26高二下·江苏南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C．15 D．【答案】A【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】由题意知，，，由，得.，当且仅当，即时，等号成立.6．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围.【详解】∵，，当且仅当，即，时等号成立.的取值范围是.7．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解.【详解】，当且仅当，即时，取等号，所以，故选：B8．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）（多选）已知，，，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ABC【分析】利用基本不等式可判断A选项；由结合二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.【详解】因为，，，对于A选项，由基本不等式可得，即，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A正确；对于B选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B正确；对于C选项，，当且仅当时，即当时，故的最小值为，C正确；对于D选项，，当且仅当，该方程组无解，不符合题意，故等号不成立，D错误.9．（2026高一上·安徽·期中）（多选）若，，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为6 D．的最大值为1【答案】ABC【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D.【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确；对于C，由，则，当且仅当，即，时，等号成立，C正确；对于D，由，则，所以，即，，无最大值，D错误．10．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】AD【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D.【详解】由可得.对于A，，则当时，取得最小值，故A正确；对于B，在中，不妨设，则，且，于是，，因，当且仅当，即时取等，则有，故B错误；对于C，由B项，，当且仅当，即时取等，即的最小值为14，故C错误；对于D，由B项，，当且仅当，即时取等，即的最小值为，故D正确.11．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）（多选）已知，，，则下列结论正确的有（

）A．ab的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】利用基本不等式可判断A选项；求得，设，则，利用对勾函数单调性求出的最小值，可判断B选项；利用重要不等式可判断C选项；由结合基本不等式可判断D选项.【详解】因为，，，对于A选项，由基本不等式可得，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对；对于B选项，设，则，因为对勾函数在上单调递减，故当时，取最小值，即，故的最小值为，B错；对于C选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D对.故选：ACD.12．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）设实数满足，则函数的最大值是________________【答案】/【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值.【详解】因为，所以中，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的