2025~2026学年北京中学第二学期高一英才期中调研数学试卷

2025~2026学年北京中学第二学期高一英才期中调研数学试卷一、单选题1.已知向量，，则（）

A．B．C．D．2.设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（）

A．B．C．D．33.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（）

A．B．C．D．4.已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5.在中，若，则（）

A．30°B．45°C．60°D．120°6.北京中学勇岳楼前的“北中鼎”顶部镶嵌着一颗金色的球形装饰，寓意“文化汇聚、培育人才”数学社团的同学测量了它的体积，约为288π立方分米，则该球形装饰的表面积约为（）

A．108π平方分米B．144π平方分米C．180π平方分米D．216π平方分米7.已知向量，是两个单位向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8.“端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有一个装满（不冒尖）馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm，下底面圆半径为6cm，高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（）（参考数据：）

A．18，10B．18，11C．19，10D．19，119.在棱长为的正方体中，点在线段上运动，给出以下四个命题：①三角形的面积为定值；②三棱锥的体积为定值；③异面直线与直线所成的角为定值；④二面角的大小为定值．其中真命题有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个10.设向量，，满足，，，则的取值不可能为（）

A．B．3C．D．二、填空题11.复数的共轭复数的虚部是______．12.已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______．13.已知三个不同的平面，，和一条直线a，给出五个论断：①；②；③；④；⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的“若p，则q”的命题______．（可以用序号表示）14.在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______．15.如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______．16.如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论：①存在点，使得对任意点，都有；②存在无数组点和点，使得；③存在唯一的点，使得平面；④存在点和点，使得平面平面；⑤存在点，使得其到直线的距离为．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题17.已知，．(1)若，求；(2)若，的夹角为，求；(3)若，求与的夹角θ．18.已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面．(1)证明：平面平面；(2)求证：；(3)求证：．19.在中，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求和的值．条件①：，边上中线的长为；条件②：，边上的高的长为2．条件③：，的面积为12；注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．(1)求证：平面；(2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分．21.设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件：①，恰好都含有3个元素；②，，为单