2025~2026学年天津市南开中学滨海生态城学校下学期高一期中检测数学试卷

2025~2026学年天津市南开中学滨海生态城学校下学期高一期中检测数学试卷一、单选题1.复数的虚部是（）

A．B．1C．D．2.已知向量，若，则实数（）

A．B．C．1D．43.已知直线与平面，下列命题中错误的是（）

A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4.，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（）

A．平行B．相交C．相交或平行D．无法判断5.在中，角的对边分别是，若，则的形状是（）

A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6.在平行四边形中，点G为的重心，则（）

A．B．C．D．7.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（）

A．8B．4C．2D．18.中国雕刻技艺举世闻名，今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）

A．B．C．6D．9.如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（）

A．B．C．D．10.已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（）

A．B．C．D．11.在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（）

A．4B．C．D．12.如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（）①平面；②；③平面；④与相交

A．1B．2C．3D．4二、填空题13.若复数，则___________14.把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________．15.已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．16.已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为______.17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为________．18.已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________．19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________．20.已知梯形面积为，，，为上靠近点的四等分点，为线段上一点，且满足，则___________．的最小值为___________．三、解答题21.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．22.如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm．(1)计算该模型的体积.(2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？23.如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面.24