数形结合建模型迁移应用育思维

数形结合建模型，迁移应用育思维——人教版三年级上册“归一问题”教学设计一、教学背景分析【重要】“归一问题”是人教版三年级上册第六单元“多位数乘一位数”中的教学内容，它隶属于“数与代数”领域，是学生初次接触需要两步计算解决的实际问题。在此之前，学生已经熟练掌握了表内乘除法以及多位数乘一位数的计算方法，并能够解决一步计算的乘、除法实际问题。本课的核心在于引导学生经历“发现问题、分析问题、解决问题”的全过程，理解“归一”问题的基本数量关系，即“总量÷份数＝每份数（单一量）”，进而解决“求几个这样的总量是多少”或“求总量里包含几个这样的单一量”的问题。这不仅是对乘除法意义的深化应用，更是学生建立数学模型思想、发展抽象概括能力的关键契机，为后续学习“归总问题”、行程问题、工程问题乃至比例知识奠定了坚实的基础。【基础】从学生的认知基础来看，他们对于“单价、数量、总价”以及“工作效率、工作时间、工作总量”等数量关系有着丰富的生活经验。在二年级下册，学生已经接触了混合运算，具备了分步列式的能力。然而，从一步计算跨越到两步计算，学生面临的主要挑战在于如何从纷繁的信息中识别出不变的“单一量”，并理解为何要求它、如何求它、以及如何用它来解决最终的问题。因此，本课的设计必须从学生熟悉的购物情境出发，借助直观的图示（示意图、线段图）作为“脚手架”，引导学生将生活经验抽象为数学问题，再将数学方法应用于更广阔的生活情境，从而实现知识的迁移与素养的提升。二、核心素养指向本教学设计致力于在知识技能习得的过程中，渗透并发展学生的数学核心素养：【核心素养1：模型意识】通过解决“买碗”这一典型问题，引导学生经历从具体情境中抽象出“单一量”，再根据单一量解决总量或份数的过程，初步建立“归一问题”的数学模型，并能识别生活中的同类问题。【核心素养2：几何直观】鼓励并指导学生运用画示意图、线段图的方法来表征题意、分析数量关系，使抽象的数量关系直观化、可视化，从而帮助学生理解为什么要先求“一份数”，培养其借助图形思考问题的习惯和能力。【核心素养3：运算能力】在理解数量关系的基础上，能正确列出分步算式或综合算式，并按照四则混合运算的顺序进行计算，提高计算的准确性和灵活性。【核心素养4：应用意识】将数学问题置于真实的生活背景中，让学生感受到数学与生活的紧密联系，并能运用所学“归一”思想创造性地解决生活中的实际问题，体会数学的价值。三、教学目标与重难点【非常重要】1.知识与技能：理解“归一问题”的结构和数量关系，掌握“先用除法求出单一量，再根据问题选择乘法或除法”的解题思路，能够正确地用分步算式和综合算式解答实际问题。2.过程与方法：经历“阅读与理解—分析与解答—回顾与反思”的问题解决全过程，学会用画示意图的方法整理信息和分析数量关系，初步建立“归一问题”的数学模型。3.情感态度与价值观：在解决问题的过程中，体会数学与生活的密切联系，感受画图策略的价值，培养认真审题、独立思考、合作交流的良好学习习惯，增强学习数学的兴趣和自信心。【教学重点】掌握“归一问题”的基本数量关系和解题方法，即先求出单一量，再解决问题。【教学难点】理解“单一量”必须保持不变，并能根据问题情境灵活判断第二步是用乘法（求几个几）还是除法（求一个数里包含几个几）。【教学关键】借助画图策略，直观呈现数量关系，突破思维障碍。四、教学准备教师准备：多媒体课件（PPT）、实物投影仪、磁性教具（碗的图片、线段贴纸）、学习任务单。学生准备：练习本、铅笔、直尺。五、教学实施过程（核心环节）（一）创设情境，激活经验——引出“单量”1.生活引入，自主提问：教师利用课件呈现一个超市购物的场景，并聚焦到碗柜区域。师：同学们，周末和爸爸妈妈去超市购物吗？数学无处不在。看，妈妈在挑选碗。这里有一条数学信息，请大家仔细看——（课件出示：“妈妈买了3个碗，用了18元。”）师：读一读这条信息，你能根据这条信息提出一个数学问题吗？（学生踊跃发言，可能提出：“一个碗多少钱？”）师：很好！这个问题提得很有价值。怎么列式解答？预设：18÷3＝6（元）师：（追问）为什么用除法？18÷3＝6（元），这个6元表示什么？预设：因为是平均分，把18元平均分成3份，每份就是一个碗的价钱。6元表示每个碗的价格。（教师板书：每个碗的价格？也就是碗的“单价”）【设计意图】从一步计算的实际问题切入，既复习了除法的意义（求一份数），激活了学生已有的知识经验，又为新课学习两步计算的“归一问题”埋下伏笔，自然引出“单一量”的概念，做好认知铺垫。2.改变问题，揭示课题：师：刚才我们知道了买3个碗花了18元，很快算出了一个碗6元。现在老师把问题变一变，请看——（课件出示完整例题：“妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，要用多少钱？”）师：请大家小声读一读题目，和刚才的问题比一比，哪里不一样了？预设：刚才直接问一个碗多少钱，现在问买8个碗要多少钱。师：对，条件没变，但问题变了。像这样，需要先求出“一个碗多少钱”，再求出“8个碗多少钱”的问题，就是我们今天要重点研究的“解决问题”。（板书课题：解决问题——先求一份数）（二）合作探究，建模明理——探寻“归一”法1.阅读与理解：数形结合，表征题意【重要环节：画图策略的指导】师：题目读完了，你知道了什么？要求什么？预设：知道3个碗18元，求8个同样的碗多少钱。师：为了更清楚地看出信息和问题之间的关系，老师建议大家用一种特别的方法——画图。请拿出学习任务单，尝试用自己喜欢的图形（比如圆圈、方块、线段）来表示题目中的碗和钱，让人一眼就能看明白“3个碗18元”和“8个碗多少钱”。（学生独立尝试画图，教师巡视，寻找有代表性的作品。）【课堂预设与对比交流】师：画好了吗？我们来看看几位同学的作品。（用实物投影仪展示学生作品，大致分为三类：A.用大小不一的碗实物简笔画表示；B.用大小一致的圆形或方形整齐排列，并标注数量和总价；C.用简单的线段图，一段代表一个碗，并标出单价、总价和问题。）师：请大家比较这几幅图，你觉得哪幅图更清楚、更简洁地表达了题目的意思？为什么？预设：第二幅和第三幅更好。因为碗画得一样大，说明是“同样的碗”，价格一样。而且清楚地标出了18元对应的3个，以及8个碗上面的“？”元。师：（结合学生作品点评，引导优化）同学们说得非常好。画图时，我们要抓住“同样”这个关键词，用相同大小的图形来表示碗。同时，要把已知的总钱数和问题中的“？”标注在对应位置。其实，我们还可以画得更简洁，比如用一个长方形或一条小线段代表一个碗，这样画起来更快。这种图，我们称为“示意图”或“线段图”。（教师利用课件或板书，动态演示从实物图抽象到标准线段图的过程：第一行画3段，下面用大括号标注“18元”；第二行画8段，下面用大括号标注“？元”，并注意上下对齐，表示单价相同。）【设计意图】通过“尝试画—对比评—优化改”的过程，让学生在冲突与交流中体会到画示意图的要领：图形要“等大”以体现“同样”，信息要“标注”以表达准确。这不仅是技能的习得，更是几何直观素养的渗透，为后续分析数量关系提供了清晰的“形”的支撑。2.分析与解答：以形解数，理清算理师：现在看着你画好的图，想一想，要想求出8个碗的总钱数，必须先知道什么？预设：必须先知道一个碗多少钱。师：为什么？请结合图来说一说。预设：因为8个碗的总价=1个碗的价钱×8。1个碗的价钱不知道，所以要先求出来。师：说得太棒了！那么，1个碗的价钱怎么求？谁能指着图解释？预设：从图上第一行看，3个碗是18元，这18元被平均分成了3份，一份就是一个碗的价钱，所以用除法：18÷3=6（元）。师：6元就是“1份”的数量，也就是碗的单价。这个6元在图上对应的是什么？（指着线段图）对应的是第一行的一段，也是第二行每一段代表的钱数。师：单价知道了，现在买8个这样的碗，就是求什么？预设：就是求8个6元是多少。师：所以第二步怎么列式？预设：6×8=48（元）。师：思路非常清晰！谁能把整个思考过程连起来说一遍？预设：先根据“3个碗18元”算出每个碗6元，再根据每个碗6元和买8个，算出8个碗要48元。师：说得很好。那能不能把这两个算式合成一个算式呢？请尝试列综合算式。（学生尝试，教师板书并讲解）板书：分步：18÷3=6（元）6×8=48（元）综合：18÷3×8=6×8=48（元）师：在综合算式里，18÷3表示什么？（先算出单价）再乘8表示什么？（算出8个的总价）运算顺序是？预设：从左往右，先算除法，再算乘法。3.回顾与反思：检验方法，感悟“不变”【重要环节：模型稳固】师：我们的答案48元正确吗？怎样检验？预设1：可以反过来想。买8个碗48元，那每个碗就是48÷8=6（元），买3个碗就是6×3=18（元），和题目给的条件一致，说明做对了。预设2：再算一遍，看看计算有没有错误。师：检验的方法真多！刚才我们成功解决了这个问题。现在请大家回顾整个解题过程，思考一个问题：在“买碗”这件事中，什么量是始终没有变化的？预设：每个碗的价钱（单价）没有变。师：对！正是因为“单价不变”，我们才能先根据“3个碗的总价”求出“单价”（即1份的数量），再利用这个不变的单价去求出“8个碗的总价”。（板书关键：单价不变→先求单价→再求总价）【设计意图】这个环节是“归一”问题建模的核心。“回顾与反思”不仅是检验答案，更重要的是引导学生回头审视解题过程，透过现象看本质，抓住“单一量不变”这一关键特征。通过追问“什么不变”，帮助学生将解题思路从具体的数字计算上升为抽象的数量关系模型。4.变式练习，深化模型师：归一问题不但可以“求总量”，还可以“求份数”。我们来看这个新问题。（课件出示变式：“想一想，18元可以买3个碗，30元可以买几个同样的碗？”）师：请快速读题，条件和问题有什么变化？预设：条件一样，但问题从“买8个要多少钱”变成了“30元可以买几个”。师：还是同样的碗，单价变吗？（不变）那我们可以借助刚才画的图来帮忙吗？请大家在第一行图不变的基础上，尝试修改第二行图来表示新问题。（学生尝试画图，教师指导。第二行应画出一条长线段代表30元，并在线段下面打问号，问“能分成几个6元？”）师：看着新画的图，说一说解题思路。预设：还是先求单价，18÷3=6（元）。再求30元里面有几个6元，用除法：30÷6=5（个）。师：列成综合算式，想一想需要括号吗？为什么？预设：需要加括号，30÷（18÷3），因为要先算单价，所以18÷3要加小括号。板书：30÷(18÷3)=30÷6=5（个）师：（对比质疑）观察这两道题，它们有什么相同点？有什么不同点？【【难点】突破】预设：相同点：第一步都是先用除法求出一份数（单价）。不同点：第二步不同，求总量用乘法，求份数用除法。师：总结得太精辟了！像这种必须“先求出单一量”才能解决问题的题目，在数学上我们就叫它“归一问题”。（完善板书：归一问题）（三）巩固练习，内化模型——应用“归一”理1.【基础练习】“小林读故事”问题（课件出示：小林读一本故事书，3天读了24页。）（1）照这样计算，7天可以读多少页？（2）照这样计算，全书64页，几天可以读完？师：这里“照这样计算”是什么意思？预设：意思是每天读的页数不变。师：对，每天读的页数就是这道题的“单一量”。请独立解答，并和同桌说说你的解题思路。（学生独立解答后，集体订正，重点对比两小题的异同，强化“单一量不变”的模型。）【【高频考点】】2.【变式练习】“大扫除”问题（课件出示：3名同学擦12块玻璃。）（1）照这样计算，6名同学可以擦多少块玻璃？（2）教室共有36块玻璃，一共需要几名同学？师：这道题里的“单一量”是什么？预设：是“每名同学擦几块玻璃”。师：请画图分析并解答。（学生独立完成后，展示不同的画图方法和解题过程，再次强调先求“单一量”的重要性。）【【热点】练习】3.【拓展练习】“货车运货”问题（渗透正反比例思想）（课件出示：2辆货车4次可以运货32吨。）（1）照这样计算，5辆货车6次可以运货多少吨？（2）照这样计算，要运货200吨，用5辆货车需要运几次？师：这道题比刚才的稍复杂，它的“单一量”是什么？（引发思考）是一辆车一次运多少吨。也就是需要两次除法才能求出单一量。（学生尝试解答，教师适时点拨，鼓励有能力的学生列出综合算式。）【设计意图】练习设计遵循由浅入深、由单一情境到复杂情境的原则。从“买碗”到“读书”再到“大扫除”，不断变换情境，但始终紧扣“先求单一量”的核心，让学生在变式中把握不变的规律，将“归一”模型内化于心。最后的拓展题引入“两次归一”，为学有余力的学生提供了挑战，也为后续学习打下伏笔。（四）课堂总结，畅谈收获——升华“归一”魂师：同学们，时间过得真快。通过今天这节课的学习，你有什么收获？可以是从知识上，也可以是从方法上，或者从心情上谈一谈。预设1：我学会了用画图的方法来理解题意，画图真有用。预设2：我学会了“归一问题”，知道了要先求出一份是多少。预设3：我知道了，虽然问题不一样，但很多题目的想法是相通的，都是要先找不变的“单一量”。师：（根据学生回答，相机板书）同学们的收获真多！今天我们一起经历了一个完整的解决问题过程：首先“阅读与理解”，我们学会了用画图的策略整理信息；接着“分析与解答”，我们抓住不变的量，用“先除后乘”或“先除后除”的方法解决了问题；最后“回顾与反思”，我们不仅检查了答案，还总结了方法。其实，数学就在我们身边，生活中的很多问题，比如买东西、修路、做工等等，都可能藏着“归一问题”的影子。希望同学们能拥有一双数学的眼睛，去发现它们，并用今天学到的本领去解决它们。（五）分层作业，实践延伸【基础作业】（必做）1.完成教材第74页练习十五的第1、2、3题。2.用画图的方式记录下你今天解决的一道“归一问题”的思考过程。【拓展作业】（选做）寻找生活中