小学数学三年级上册核心知识清单：两、三位数乘一位数（连续进位）

小学数学三年级上册核心知识清单：两、三位数乘一位数（连续进位）  本知识清单围绕北师大版小学数学三年级上册第四单元《乘法》中的核心内容“乘火车”展开，旨在系统梳理两、三位数乘一位数（连续进位）的乘法计算。本部分知识是在学生已经熟练掌握表内乘法、两位数乘一位数（不进位）以及两位数乘一位数（一次进位）的基础上进行学习的，是整数乘法计算体系中的重要一环，也为后续学习多位数乘法奠定坚实的基础。通过对本节内容的深度学习，学生不仅能掌握计算技能，更能进一步发展数感和运算能力。  一、核心素养与知识图谱  【核心概念】本课的核心概念是“连续进位”与“位值原则”。所谓连续进位，是指在乘法计算过程中，由于某一位上的乘积加上进上来的数后，结果满几十，需要连续地向更高一位进位的过程。这并非全新的知识，而是对已学“一次进位”乘法计算法则的延伸和拓展，其根本原理依然基于“位值原则”，即同一个数字在不同的数位上表示不同的数值。例如，计算72×5，个位上的2乘5得10，表示10个一，也就是1个十，因此要向十位进1；十位上的7乘5得35，表示35个十，加上进上来的1个十，总共是36个十，即360。在这个过程中，个位向十位进位是一次进位，而十位计算后满三十，向百位进3，这就是第二次进位，也就是“连续进位”的体现。  【知识图谱定位】在小学阶段整数乘法的知识体系中，本课处于承上启下的关键位置。承上，是复习和巩固了二年级学习的表内乘法和三年级上册前序学习的多位数乘一位数的不进位和一次进位乘法，明确了乘法竖式计算的基本格式和算理。启下，是为后续学习三位数乘两位数、因数末尾或中间有0的乘法，乃至小数乘法打下坚实的算法基础和算理认知。可以这样理解，本课是多位数乘法计算能力的一个关键进阶点，【重要】掌握好本课内容，对于后续整个小学阶段的计算学习都具有重要意义。  二、核心知识模块与算理详解  （一）两位数乘一位数（连续进位）——以72×5为例  【情景导入】在“乘火车”的情境中，已知一节卧铺车厢可乘72人，求5节这样的卧铺车厢一共可乘多少人？这个问题可以抽象为乘法模型：求几个相同加数和的简便运算，列式为72×5或5×72。  【算法多样化探索】在解决这个问题时，鼓励学生运用多种策略，体现算法的多样性。  1.

拆分法（基于乘法分配律）：将72拆分为70和2，分别与5相乘，最后将积相加。即70×5=350，2×5=10，350+10=360。这种方法直观地展示了乘法意义，也是后续学习乘法分配律的基础。  2.

表格法：这是一种图形化的拆分法，通过表格的形式呈现计算过程，清晰明了。|×|70|2||5|350|10|  最后将表格内的积相加：350+10=360。  3.【高频考点】【非常重要】竖式计算法：这是最核心、最通用的计算方法。其计算步骤和算理如下：    7

2    ×

5    ———    3

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0  第一步：相同数位对齐，从个位乘起。用5去乘个位上的2，口诀“二五一十”，得到10。在积的个位写0，同时向十位进1。这里的“1”代表1个十，为了不忘记，通常将其缩小写在十位旁边（如竖式中十位旁的小“1”）。  第二步：用5去乘十位上的7，口诀“五七三十五”，得到35，表示35个十。此时，必须加上刚才个位进上来的“1”个十，35个十加1个十等于36个十。  第三步：36个十在竖式中如何书写？36个十即360，因此要在积的十位写6，并向百位进3。由于乘数是一位数，被乘数最高位是十位，计算后产生了百位，所以将进上来的3直接写在积的百位上。最终结果为360。  【难点剖析】这个计算过程中出现了两次进位：第一次是个位乘完向十位进1，第二次是十位乘完加上进位后满30，向百位进3。这就是典型的“连续进位”。【易错点】学生在计算时最容易忘记加上进上来的数，或者在第二次进位时只写了本位而忘了向更高位进位。  （二）三位数乘一位数（连续进位）——以118×7为例  【知识迁移】在掌握了两位数乘一位数连续进位的基础上，探索三位数乘一位数。根据情境，一节硬座车厢可乘118人，求7节硬座车厢可乘多少人？列式为118×7。  【算法探究】  1.

拆分法：118=100+10+8，分别乘7：100×7=700，10×7=70，8×7=56，最后总和700+70+56=826。  2.【非常重要】竖式计算法：这是学习的重中之重，其算理与两位数乘一位数完全一致，只是位数增加，进位的次数和复杂性也可能增加。    1

1

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2

6  计算过程分解：  第一步：个位。7×8=56。个位写6，向十位进5。（第一次进位）  第二步：十位。7×1=7，表示7个十。加上个位进上来的5个十，7+5=12，得到12个十。十位写2，向百位进1。（第二次进位，且十位也发生了进位）  第三步：百位。7×1=7，表示7个百。加上十位进上来的1个百，7+1=8，得到8个百。直接在百位写8。  最终结果为826。  【深度思考】为什么拆分发和竖式计算的结果总是一致的？因为竖式计算其实就是拆分法的另一种记录形式。118×7，竖式中的“826”的“6”是7×8得来的，“20”实际上是7×10再加上进位的50得来的70的十位部分，“800”是7×100再加上进位100得来的。竖式将分步计算的过程，通过数位对齐和进位机制，巧妙地整合在了一起，体现了数学的简洁美。  三、计算法则与技能形成【高频考点】  （一）【基础】多位数乘一位数（连续进位）的计算法则  1.

相同数位对齐：将一位数与多位数的个位对齐。  2.

从个位乘起：用一位数依次去乘多位数的每一位数。  3.

哪一位上乘得的积满几十，就要向前一位进几。【关键口诀】“乘加同步，进上不忘”。意思是，在乘完当前位后，要立刻加上后一位进上来的数，得到一个新的和，再看这个和是否满几十，需要继续向前进位。  （二）【难点】进位的处理技巧  1.

进位标记：在竖式计算中，为了不遗忘进位的数字，通常将进位数用小字写在相应数位的横线上方或旁边。例如，个位向十位进3，就在十位旁轻轻点上一个“3”。这是一个非常好的计算习惯，能极大降低错误率。  2.

连续进位：当计算到十位或百位时，该位上的乘积加上后面进上来的数，如果又满了几十，就需要再次进位。这个过程可能连续发生，直到计算完最高位。例如，计算某三位数乘一位数时，可能从个位一直连续进位到千位、万位。  （三）【易错点】专项剖析与对策  1.【高频易错】忘记加进位数：这是最常见的错误。例如计算72×5，在算完5×7=35后，忘记加个位进上来的1，直接写35，得到错误的350。   对策：养成做标记的习惯，每乘完一位，先看一眼进位标记，加上后再写积的本位。  2.【易错点】进位加错：虽然加了进位，但加法计算出错。例如，35+1=36，算成37。   对策：加强20以内进位加法的口算练习，这是多位数乘法的基础。  3.【易错点】忘了连续进位：在十位向百位进位后，计算百位时，只乘了百位上的数，却忘了加十位进上来的数。   对策：强化程序性记忆，每一步都要遵循“乘——加——写——进”的程序。  4.【易错点】0的处理问题：当乘数中间或末尾有0时，容易出错。虽然本课尚未重点研究，但在连续进位背景下出现的0也要特别注意。例如，计算102×8，个位2×8=16，写6进1；十位0×8=0，加上进位1得1，十位写1；百位1×8=8，最终得816。要理解0乘任何数都得0，但如果有进位，0就变成了进位后的数。  四、不同题型的解题策略与考点分析  （一）基础计算题  【题型示例】用竖式计算：48×9

326×5  【考点】直接考查计算法则的掌握情况，特别是进位处理是否准确。  【解题步骤】  1.

列竖式，数位对齐。  2.

从个位乘起，边算边做进位标记。  3.

检查：检查进位数是否加了，检查数位是否对齐，检查结果是否合理（估算验证，如48×9≈50×9=450）。  （二）生活中的数学问题  【题型示例】一艘轮船限乘236人，8艘这样的轮船最多可乘多少人？  【考点】考查学生从现实情境中抽象出乘法模型的能力，以及对“连续进位”计算的实际应用。【热点】这类题目通常结合火车、轮船、超市购物等生活场景。  【解题步骤】  1.

审题：理解“8艘最多可乘人数”就是求8个236是多少。  2.

列式：236×8。  3.

计算：用竖式准确计算，注意进位。  4.

作答：完整写出答语，带上单位。  （三）比较大小与估算  【题型示例】在○里填上“>”、“<”或“=”。157×6○900  【考点】考查估算能力与精确计算的结合。不需要算出精确结果，通过估算即可比较。  【解题策略】  1.

估算：157≈160，160×6=960，960>900，所以157×6>900。这是一种快速的判断方法。  2.

精确计算：对于估算结果接近或不易判断的，再进行精确竖式计算验证。  （四）改错题（森林医生）  【题型示例】下面的计算对吗？把不对的改正过来。    3

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7    ×

3    ————    9

2

1  （此处可预设错误：十位忘记加个位进位）  【考点】深度考查对算理的理解，能识别常见错误。这是培养学生批判性思维和反思能力的有效题型。  【解题步骤】  1.

逐位检查：从个位开始，重新计算一遍，并与题目中的过程进行对比。  2.

找出错因：是进位没加？还是乘法口诀背错？还是数位没对齐？  3.

在原题上或旁边订正：写出正确的计算过程和结果。  五、思维拓展与跨学科联系  （一）寻找规律，发展数感  观察一组算式：99×1=99，99×2=198，99×3=297，99×4=396……你能发现什么规律？积的百位比乘数小1，个位与百位之和是9，十位总是9。当计算99×9时，运用连续进位，可以得到891。这种规律探索能极大地激发学生的数学兴趣。  （二）巧算与简算的思想渗透  虽然本课主要学习连续进位的标准算法，但可以适当渗透一些巧算思想。例如，计算498×7，可以看成500×72×7==3486。这既是乘法分配律的初步应用，也能帮助学生从另一个角度理解乘法的意义，同时避免了大数目的连续进位可能带来的复杂计算。  （三）跨学科融合  1.

与语文学科融合：在解决“乘火车”问题时，可以结合语文学习，让学生阅读火车票上的信息，提取时间、车次、票价等数据，并据此提出数学问题。例如，一张成人票245元，一张儿童票半价，一家三口（两个成人一个儿童）乘车需要多少钱？这就涉及了混合运算。  2.

与道德与法治/安全教育融合：结合火车超载、交通安全等话题进行教育。例如，通过计算一节车厢的核定人数与节数的乘积，可以得出整列火车的最大载客量，从而理解为什么不能超载，这既应用了数学知识，又进行了安全教育。  六、学习评价与反思建议  【自我检测清单】  1.【基础】我能准确、快速地完成任意一道两位数、三位数乘一位数（连续进位）的竖式计算吗？  2.【习惯】我在竖式计算时，是否会自觉标记进位的数字？  3.【应用】我能从一段文字描述或一幅图画中，准确地找出数量关系，并用乘法解决问题吗？  4.【反思】当我的计算结果和估算值相差很大时，我会立刻去检查计算过程吗？  5.【拓展】我是否愿意去探索数字背后隐藏的规律，并尝试用自己的语言描述它？  【教学与学习建议】  对于教师而言，本课的教学重点不应仅仅停留在机械计算的正确率上，更要通过情境创设、动手操作、算法交流等方式，帮助学生深刻理解“连续进位”的算理。充分利