初中七年级数学上册《有理数的乘除运算》单元整体教学设计（基于湘教版）

初中七年级数学上册《有理数的乘除运算》单元整体教学设计（基于湘教版）

  一、顶层设计：理念、学情与目标

  本单元教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，超越传统知识点讲授，致力于构建一个理解性、联结性与应用性并重的深度学习单元。有理数的乘除运算不仅是算术运算在数系上的重要扩展，更是后续学习代数式、方程、函数等内容的基石。对于刚从小学升入初中的七年级学生而言，其思维正处在由具体运算向形式运算过渡的关键期。他们已熟练掌握非负有理数（正数和零）的乘除运算，并对负数的概念有了初步认识，但将运算推广至整个有理数集时，面临两大认知跃迁：一是从“算术结果”到“运算意义”的深化，需理解“负负得正”等法则背后的数学逻辑而非机械记忆；二是从“单一运算”到“运算体系”的建构，需体会乘法与除法作为互逆运算的内在统一性，以及它们与加减运算共同构成的有理数运算整体结构。因此，本设计将采取“单元整体教学”视角，以“运算的意义—法则的归纳—运算的律动—生活的建模”为主线，渗透数形结合、分类讨论、归纳类比、模型思想等核心数学思想方法，并有机融入跨学科情境（如物理、经济、地理），培养学生的抽象能力、运算能力、推理能力和应用意识。

  二、单元学习目标

  1.理解有理数乘法与除法的数学本质，能借助数轴、生活模型等工具解释其意义，特别是“负数相乘”与“负数相除”的合理性。

  2.熟练掌握有理数乘法和除法的运算法则，能准确、迅速地进行混合运算，理解运算律（交换律、结合律、分配律）在有理数范围内的适用性及其简化运算的价值。

  3.深刻理解除法是乘法的逆运算，掌握将除法转化为乘法进行运算的技巧，形成完整的乘除运算认知结构。

  4.能综合运用有理数的乘除运算解决现实生活中的实际问题及简单的跨学科问题，发展数学建模能力。

  5.在探索运算法则和解决问题的过程中，感受数学的严谨性与简洁美，养成乐于探究、言必有据的思维习惯。

  三、教学重难点剖析

  教学重点：有理数乘法法则和除法法则的归纳与理解；有理数乘除混合运算的熟练与准确；运算律的灵活运用。

  教学难点：“负负得正”等符号法则的数学理解与意义建构；除法作为乘法逆运算的深刻认识及其在运算中的应用；运算过程中对“0”的处理的严谨性。

  四、教学资源与环境

  1.多媒体课件与交互式白板：动态演示数轴模型、温度变化、水位升降等情境。

  2.实物模型或卡片：用于模拟“方向”与“相反方向”的直观演示。

  3.思维导图工具：用于单元知识体系的自主建构。

  4.网络资源或数学软件：可选GeoGebra等工具进行动态验证。

  5.学习任务单与分层练习卡。

  五、单元教学整体规划（共6课时）

  课时一：有理数乘法的意义与法则探究（一）

  课时二：有理数乘法的意义与法则探究（二）及运算律

  课时三：有理数除法的意义与法则探究

  课时四：有理数的乘除混合运算

  课时五：有理数乘除运算的应用与建模

  课时六：单元总结、拓展与评估

  六、详细教学过程实施

  课时一：有理数乘法的意义与法则探究（一）

  （一）情境导入，唤起经验（约8分钟）

  师：（展示动画）一只蜗牛在数轴上爬行，它现在位于原点。我们规定：向右为正方向，速度为“正”表示向右爬，速度为“负”表示向左爬；时间“未来”为正，“过去”为负。请问：（1）如果它以每分钟2个单位的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？（2）如果它以每分钟2个单位的速度向左爬行，3分钟后呢？

  生：问题（1）容易解决：2×3=6，在+6处。问题（2）引发思考：速度是向左（负），时间是未来（正），如何表示？可能是(-2)×3=-6，在-6处。

  师：很好！我们借助“方向”和“时间流向”赋予了有理数乘法直观意义。今天我们就来系统探究：有理数怎么相乘？

  （二）模型驱动，探究法则（约22分钟）

  活动一：正数乘负数、负数乘正数

  延续蜗牛模型。

  师：如果蜗牛以每分钟2个单位的速度向右爬，那么3分钟前它在什么位置？

  引导学生分析：速度是+2（向右），时间是-3（过去）。要找到3分钟前的位置，相当于“倒带”。从原点开始，3分钟前它应该在原点的左边。逻辑推导：每分钟向右2，要回到过去，就是向左退，每退1分钟退2格。所以3分钟前在-6处。列式：(+2)×(-3)=-6。

  师：如果蜗牛以每分钟2个单位的速度向左爬，那么3分钟前它在什么位置？

  生：速度是-2（向左），时间是-3（过去）。向左爬的“过去”，就是向右退。所以应该在+6处。列式：(-2)×(-3)=+6。

  师：（引导学生观察并板书四个算式）

  (+2)×(+3)=+6

  (-2)×(+3)=-6

  (+2)×(-3)=-6

  (-2)×(-3)=+6

  活动二：归纳符号规律

  师：请同学们小组讨论，观察这些算式中因数符号与积的符号有什么关系？

  生1：同号相乘得正。

  生2：异号相乘得负。

  师：非常精炼！那么积的绝对值呢？

  生：积的绝对值等于两个因数绝对值的乘积。

  师生共同归纳有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

  师：特别地，任何数与0相乘，都得0。请思考：为什么？

  生：表示速度为0（不动），或时间为0（瞬间），位置都不会改变。

  （三）初步应用，巩固理解（约10分钟）

  1.口答：（-5）×6=?7×(-8)=?(-9)×(-10)=?(-1/2)×4=?

  2.例题精讲：计算(-3)×(-2/3)。强调步骤：①定符号（负负得正）；②算绝对值（3×2/3=2）；③得结果（+2）。

  3.简单变式：(-1)×5，(-1)×(-5)。引导学生发现：一个数乘以-1，得到它的相反数。这是一个重要结论。

  （四）小结与预告（约5分钟）

  师：今天我们通过“蜗牛爬行”模型探究了有理数乘法法则。关键在于理解速度的“方向”和时间的“流向”共同决定了最终的位置。法则的核心是“符号”与“绝对值”的处理。下节课我们将学习多个有理数相乘，并探索乘法运算律是否依然成立。

  课时二：有理数乘法的意义与法则探究（二）及运算律

  （一）复习导入，深化理解（约5分钟）

  快速抢答：回顾乘法法则。提出思考题：(-2)×(-3)×(-4)等于多少？引发认知冲突，自然过渡到多个有理数相乘。

  （二）探究多个有理数相乘的法则（约15分钟）

  活动一：观察与归纳

  师：请计算下列各式：

  (1)2×3×4

  (2)(-2)×3×4

  (3)(-2)×(-3)×4

  (4)(-2)×(-3)×(-4)

  (5)(-2)×(-3)×(-4)×(-5)

  生分组计算并汇报结果。

  师：观察积的符号与算式中负因数的个数有什么关系？

  生：我发现，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

  师：了不起的发现！那积的绝对值呢？

  生：积的绝对值等于所有因数绝对值的乘积。

  师生共同总结多个有理数相乘法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

  （二）验证并运用运算律（约18分钟）

  活动二：运算律的再发现

  师：在小学，我们学过乘法的交换律、结合律和分配律。这些运算律在有理数范围内还成立吗？请各小组选择两个律，举例验证（可以包含正数、负数）。

  生1（验证交换律）：例如(-5)×3=-15，3×(-5)=-15，所以a×b=b×a成立。

  生2（验证结合律）：[(-2)×3]×(-4)=(-6)×(-4)=24；(-2)×[3×(-4)]=(-2)×(-12)=24。所以(a×b)×c=a×(b×c)成立。

  生3（验证分配律）：(-4)×[(-3)+5]=(-4)×2=-8；(-4)×(-3)+(-4)×5=12+(-20)=-8。所以a×(b+c)=a×b+a×c成立。

  师：经过严格的数学证明（此处可简要提及依赖的是加法和乘法的定义及性质），我们可以确认：在有理数范围内，乘法交换律、结合律、分配律依然成立。这为我们进行简便运算提供了强大工具。

  例题：计算(-8)×(-12.5)×(-0.125)×(-1/4)×8。

  引导学生观察：-8与-0.125，-12.5与-1/4是否可以凑整？运用交换律和结合律重新分组。

  解：原式=[(-8)×(-0.125)]×[(-12.5)×(-1/4)]×8

  =[1]×[3.125]×8=3.125×8=25。

  师：看，运算律让复杂的计算变得简洁！

  （三）综合练习，灵活运用（约10分钟）

  1.计算：(1)(-5)×6×(-0.2)(2)(-10)×(-1/3)×(-0.1)×(-6)

  2.用简便方法计算：(-36)×(7/9-5/6+3/4-7/18)。强调分配律的“正用”与“逆用”。

  3.思考题：若a,b互为相反数，c,d互为倒数，|m|=2，求(a+b)/m+m-cd的值。综合考察相反数、倒数、绝对值、乘法、加法。

  （四）小结（约2分钟）

  师：本节课我们完善了有理数乘法法则（多个数相乘），并确认了运算律的普适性。运算律是简化计算的“法宝”，要学会观察算式的结构特征，灵活运用。

  课时三：有理数除法的意义与法则探究

  （一）情境导入，建立联系（约10分钟）

  师：我们知道，除法是乘法的逆运算。例如，因为3×4=12，所以12÷4=3。这个关系在有道理数中还成立吗？让我们来探索。

  问题1：填空：

  ∵(-3)×4=-12，∴(-12)÷4=(?)

  ∵3×(-4)=-12，∴(-12)÷(-4)=(?)

  ∵(-3)×(-4)=12，∴12÷(-4)=(?)

  生通过逆运算关系填空：(-12)÷4=-3；(-12)÷(-4)=3；12÷(-4)=-3。

  问题2：观察上述等式的左右两边，你发现被除数、除数、商的符号之间存在什么关系？

  生：好像和乘法法则很像……同号得正，异号得负？

  师：大胆猜想！我们再从实际意义理解。例如，(-12)÷4=-3，可以解释为：把-12平均分成4份，每份是-3。这是“等分”模型。那么，(-12)÷(-4)=3如何理解？“除以-4”可以看作“乘以-1/4”。这引出了另一种理解方式。

  （二）意义建构，推导法则（约20分钟）

  活动一：从倒数角度理解除法

  师：回忆倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。例如，4的倒数是1/4，-3的倒数是-1/3。一个重要的关系：a÷b=a×(1/b)（b≠0）。即，除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

  师：请利用这个关系，将前面的除法算式转化为乘法算式，并计算验证。

  生：(-12)÷4=(-12)×(1/4)=-3；12÷(-4)=12×(-1/4)=-3。

  师：这样一来，有理数的除法运算就完全转化为了我们已经熟悉的有理数乘法运算。请根据这个转化关系，尝试归纳有理数的除法法则。

  生：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

  师：非常准确！这就是有理数的除法法则。它与乘法法则在符号法则上高度一致。特别强调：0不能做除数。

  活动二：法则的应用与辨析

  例题1：计算(1)(-36)÷9(2)(-12/25)÷(-3/5)(3)0÷(-7.89)

  解：(1)原式=-(36÷9)=-4（直接用法则）

  (2)原式=+(12/25÷3/5)=(12/25)×(5/3)=4/5（除法转乘法更简便）

  (3)原式=0

  师：比较方法（1）和（2），对于分数除法，通常将除法转化为乘法更为简便。这是除法运算的核心技巧。

  例题2：化简下列分数（分数即除法）：(1)-12/3(2)-15/-25

  解：(1)-12/3=(-12)÷3=-4

  (2)-15/-25=(-15)÷(-25)=15/25=3/5

  师：分数线兼具除号和括号的功能，这为后续学习代数式奠定了基础。

  （三）巩固练习，形成技能（约10分钟）

  1.计算：(1)(-48)÷(-8)(2)1÷(-2/3)(3)(-7.2)÷0.9(4)(-5/6)÷(-10)

  2.判断题：（1）两数相除，商一定小于被除数。（）（反例：(-6)÷(1/2)=-12）（2）0除以任何数都得0。（）（强调“非零数”）

  3.求下列各数的倒数，并观察符号规律：5,-8,2/3,-1/4,1,-1。总结：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；1和-1的倒数是它本身；0没有倒数。

  （四）小结与作业（约5分钟）

  师：本节课的核心是建立除法与乘法的联系：倒数。有理数除法法则可直接由符号法则和绝对值运算得到，但更通用、更本质的方法是“转化为乘法”。务必理解“0不能做除数”的道理。作业：完成基础练习，并预习乘除混合运算。

  课时四：有理数的乘除混合运算

  （一）复习导入，明确规则（约5分钟）

  师：前两节课我们分别学习了有理数的乘法和除法。当乘法和除法混合在一起时，运算顺序如何规定？

  生：和小学一样，从左到右依次计算，有括号先算括号内的。

  师：很好。但有理数乘除混合运算有一个极大的便利，是什么？

  生：可以先把除法全部转化成乘法！

  师：对！这就是我们这节课要强化的核心策略——统一为乘法运算。

  （二）例题精讲，掌握策略（约25分钟）

  例1：计算(-6)÷2×(-3)

  解法一（按顺序）：(-6)÷2×(-3)=(-3)×(-3)=9

  解法二（统一乘法）：(-6)÷2×(-3)=(-6)×(1/2)×(-3)=[(-6)×(-3)]×(1/2)=18×(1/2)=9

  师：两种方法均可，但解法二在处理复杂算式时优势明显，因为它将运算统一为一种运算（乘法），可以利用乘法的交换律和结合律自由调整顺序和分组，不易出错。

  例2：计算(7/8-7/12-1/6)÷(-7/8)

  师：观察算式特征。一个多项式除以一个数，可以用什么律？

  生：分配律！除以一个数等于乘以它的倒数。

  解：原式=(7/8-7/12-1/6)×(-8/7)

  =7/8×(-8/7)-7/12×(-8/7)-1/6×(-8/7)

  =-1+2/3+4/21

  通分计算：=(-21/21)+(14/21)+(4/21)=(-21+14+4)/21=-3/21=-1/7

  师：这里巧妙运用了乘法分配律。注意，分配律在除法中不能直接“分配”，必须先转化为乘法。

  例3：计算-3.5÷7/8×(-3/4)÷(-0.75)

  师：这个算式全是乘除，最适合统一为乘法。

  解：原式=(-7/2)×(8/7)×(-3/4)×(-4/3)【将所有数化为分数，除法变乘法】

  先确定符号：算式中有三个负因数，奇数个，积为负。

  再计算绝对值：(7/2)×(8/7)×(3/4)×(4/3)=(7×8×3×4)/(2×7×4×3)=(7/7)×(8/2)×(3/3)×(4/4)=1×4×1×1=4

  所以，原式=-4。

  师：在统一为乘法后，先定符号，再计算绝对值。在计算绝对值时，能约分的先约分，可以使计算大大简化。

  （三）综合练习，深化理解（约12分钟）

  1.计算：

  (1)(-12)×(-1/2-1/4+1/6)（考察分配律）

  (2)(-5/7)÷(-5/6)×(-3/4)÷2/7

  (3)(-10)×(1/2-1/5)+6×(1/2-1/5)（逆用分配律）

  2.纠错题：指出下列计算中的错误并改正：

  (-10)÷1/5×5=(-10)÷1=-10。（错误：顺序混乱，应为(-10)×5×5=-250）

  （四）小结（约3分钟）

  师：进行有理数乘除混合运算的黄金法则：1.将除法统一转化为乘法（乘以除数的倒数）；2.确定积的符号（可先定整体，也可在过程中逐步定）；3.运用运算律简化计算；4.最后得出结果。牢记运算顺序，但灵活运用转化和运算律是提高速度和准确率的关键。

  课时五：有理数乘除运算的应用与建模

  （一）跨学科情境导入（约8分钟）

  情境1（物理—运动）：一辆汽车在一条东西走向的公路上行驶。我们规定向东为正。如果它的速度是-60千米/时（表示向西行驶），那么经过2.5小时后，它的位置变化是多少？（位移=速度×时间）(-60)×2.5=-150（千米），表示它在出发点西边150千米处。

  情境2（经济—盈亏）：某公司股票每股价格昨天收盘价为a元。今天开盘后，先上涨了5%，然后又下跌了5%。问现在的股价是多少元？用代数式表示。设a=100，计算验证。引发思考：(1+5%)(1-5%)a=0.9975a，比原价低。这涉及到增长率模型，本质是连乘。

  师：有理数的乘除运算不仅仅是数字游戏，它是刻画现实世界变化规律的重要工具。

  （二）分组探究，解决问题（约25分钟）

  将学生分为若干小组，每组选择一个实际问题进行探究、列式、计算和汇报。

  问题组A（基础应用）：

  1.某水库的水位平均每天下降3厘米，连续下降了5天，用乘法计算总下降量。如果水位用上升记为正，则算式为？总下降量对后续蓄水有何影响？

  2.某冷冻厂的一个冷库温度是-4℃，现有一批食品需要在-28℃下冷藏。如果冷冻机每小时能降温6℃，需要几小时才能降到所需温度？列式计算。

  问题组B（跨学科整合）：

  3.（物理/地理）登山时，海拔每升高100米，气温大约下降0.6℃。已知山脚温度为18℃，小明测得山顶温度为-6℃，请估算此山的高度。

  思路：总温差=山脚温度-山顶温度=18-(-6)=24℃。需要下降24℃。需要的高度段数：24÷0.6=40。山高：40×100=4000米。综合算式：[18-(-6)]÷0.6×100。

  4.（经济决策）某商店以每件120元的价格购进一批服装，店主希望获得30%的利润率（利润率=利润÷成本×100%），他应定价多少元？若打八折促销，实际的利润率是多少？

  思路：定价=成本×(1+利润率)=120×(1+30%)=156元。

  八折售价=156×0.8=124.8元。

  实际利润=124.8-120=4.8元。

  实际利润率=4.8÷120×100%=4%。

  小组活动后，选派代表展示解题过程和结果，教师点评，强调数学模型的建立（审题→设未知量或找关系→列出含乘除运算的算式→求解→解释实际意义）。

  （三）数学内部综合问题挑战（约10分钟）

  挑战题：已知a,b,c均为非零有理数，且a+b+c=0。求|a|/a+|b|/b+|c|/c+|abc|/(abc)的值。

  师引导分析：由a+b+c=0且三者非零，可推断a,b,c中必为一正两负或两正一负（因为全正或全负和不可能为0）。然后分类讨论，利用绝对值的意义（|x|/x等于1或-1，取决于x的正负）和乘法符号法则求解。

  解：∵a+b+c=0且a,b,c≠0，∴a,b,c中正数与负数并存。

  情况1：一正两负。不妨设a>0,b<0,c<0。则|a|/a=1,|b|/b=-1,|c|/c=-1。abc>0（两负一正），故|abc|/(abc)=1。

  原式=1+(-1)+(-1)+1=0。

  情况2：两正一负。不妨设a>0,b>0,c<0。则|a|/a=1,|b|/b=1,|c|/c=-1。abc<0（两正一负），故|abc|/(abc)=-1。

  原式=1+1+(-1)+(-1)=0。

  综上，原式的值为0。

  此题综合了有理数的加法、乘法、绝对值、分类讨论思想，难度较高，旨在培养优等生的逻辑推理能力。

  （四）课堂总结（约2分钟）

  师：今天我们用有理数的乘除运算解决了丰富的实际问题。数学的价值在于应用。关键是学会从具体情境中抽象出数学关系，并用正确的运算解决问题。希望大家养成用数学眼光观察世界的习惯。

  课时六：单元总结、拓展与评估

  （一）自主建构知识网络（约15分钟）

  师：请同学们以小组为单位，使用思维导图或知识结构图的形式，梳理本单元的核心知识。要求至少包含：1.有理数乘法法则（单个、多个）；2.有理数除法法则及与乘法的联系（倒数）；3.运算律及其应用；4.乘除混合运算的步骤与技巧；5.典型应用题型。完成后进行小组间交流互评。

  （教师巡视指导，最终呈现一个优化的单元知识结构图范例）

  （二）典型错例分析与辨析（约12分钟）

  展示本单元学生练习中或常见的典型错误：

  1.符号错误：(-2)×(-3)=-6。

  2.运算顺序错误：10÷1/5×5=10÷1=10。

  3.对“0”的处理不清：0÷(-5)=无意义或(-5)÷0=0。

  4.分配律误用：10÷(2+3)=10÷2+10÷3。

  5.倒数概念混淆：-2的倒数是2。

  让学生充当“小医生”，找出“病因”并“对症下药”，强化正确认知。

  （三）单元综合能力评估（约15分钟）

  进行一个小型的、开放式的项目式评估任务：

  任务：设计一个“有理数乘除运算”的跨学科应用场景及配套问题。

  要求：1.场景真实，来源于生活、科学或社会（如体育、购物、环保、工程等）。2.问题明确，需要运用至少一次有理数的乘法或除法运算解决。3.给出完整的解答过程，并解释结果的实际意义。

  例如，学生可能设计：“已知地球赤道周长约为4万公里，光速约为每秒30万公里。请问光绕赤道一圈大约需要多少秒？（计算：4÷30≈0.133秒）”“为调配消毒液，需要将浓度为95%的酒精100毫升，稀释成浓度为75%的酒精，需要加多少毫升水？（涉及溶质不变，列方程：100×95%=(100+x)×75%，求解x，过程中涉及乘除）”

  此任务旨在评估学生对知识本质的理解深度和迁移应用能力。

  （四）总结升华与课后延伸（约3分钟）

  师：同学们，我们完成了“有理数的乘除运算”单元的探索。这个单元的核心思想是“转化”——将新的运算（有理数乘除）转化为已知的运算（绝对值的乘除）和统一的运算（乘法），并通过