2027届高考数学一轮总复习第三章 培优专题一导数综合应用的工具性策略（课件）

第三章一元函数的导数及其应用培优专题一导数综合应用的工具性策略高三一轮数学内容索引课时作业关键能力提升考试要求三年考情在利用导数解决不等式证明、恒成立、函数的零点等综合问题时,若掌握切线放缩、超越函数、指对同构、隐零点等策略性工具,在解决问题时会事半功倍.202320242025

关键能力提升

策略2

常见的超越函数在导数的应用中常用到以下函数,记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.

ACD

【对点训练2】

(1)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则(

)A.c<b<a B.b<c<aC.a<c<b D.a<b<cD

3y<2x<5z

【例3】

(1)(2025·山东烟台三模)若不等式xex-x-lnx-a≥0恒成立,则实数a的取值范围为(

)A.(0,1] B.(0,e-1]C.(-∞,1] D.(-∞,e-1]【解析】

xex-x-ln

x-a≥0,即eln

x+x-(ln

x+x)-a≥0,令t=ln

x+x,t∈R,则et-t-a≥0恒成立,则a≤et-t恒成立.令φ(t)=et-t,则φ'(t)=et-1,当t∈(-∞,0)时,φ'(t)<0;当t∈(0,+∞)时,φ'(t)>0.故φ(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,则φ(t)min=φ(0)=1,故a≤1,即a的取值范围为(-∞,1].故选C.C

A

策略4

隐零点1.函数零点按是否可求得精确解分为两类:一类是数值上能精确求解的,称为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接求解的,称为“隐零点”.2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会转化为求导函数的零点,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为x0,再利用导函数的单调性确定x0所在区间,最后根据f'(x0)=0,研究f(x0),我们把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a,关系式f'(x0)=0是关于x0,a的关系式,确定x0的合适范围,往往和a的范围有关.

策略5

端点效应恒成立问题中,我们常常会见到类似的命题:“对于任意的x∈[a,b]或x∈[a,+∞)都有f(x)≥0恒成立(f(x)中包含参数)”.这里的端点a,b往往是使结论成立的临界条件,这种观察区间端点值解决问题的方法,称之为端点效应.1.适用类型:①不便于参变分离;②参变分离后的函数形式较为复杂.2.解题步骤:①移项,将所有变量移到一边,使不等式右边为0.②计算端点处的函数值,验证端点处的函数值是否为0,若为0,则可继续处理,否则此题不适用于端点分析法.③若端点处函数值为0,则此时应有f'(a)≥0,求出参数取值范围;若端点处函数值为0,且f'(a)=0,则此时应有f″(a)≥0,求出参数取值范围.④需证明必要性:求出参数取值范围后,应满足任意的x∈[a,b]或x∈[a,+∞),f'(x)≥0或f″(x)≥0.

区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征.

课时作业21

当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,此时h(x)在(1,+∞)上单调递增,因此h(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,h(x)min=h(1)=