2026版《金版教程》高考一轮复习数学第五章 微专题训练-与球有关的切、接问题

高考总复习首选用卷数学微专题训练——与球有关的切、接问题基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★对点简单几何体的外接球；球的表面积简单几何体的外接球；圆台的侧面积简单几何体的外接球；球的体积；圆柱的侧面积简单几何体的外接球简单几何体的外接球；球的表面积简单几何体的外接球；球的体积简单几何体的外接球；球的表面积简单几何体的外接球；球的表面积题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★★★对点简单几何体的内切球；球的表面积简单几何体的内切球简单几何体的外接球与内切球；球的表面积简单几何体的内切球、圆锥、棱锥的综合问题简单几何体的内切球简单几何体的内切球；球的体积；圆柱的体积简单几何体的棱切球简单几何体的棱切球与外接球；球的表面积与体积题型一外接球问题1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为()A．9π B．18πC．36π D．48π答案：C解析：长方体外接球的直径2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(22＋42＋42)＝6，解得R＝3，所以该长方体外接球的表面积S＝4πR2＝4π·32＝36π.故选C.2．(2025·江西九江高三开学联考)已知圆台的上、下底面的面积分别为4π，25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为()A.eq\f(27,8) B.eq\f(27,4)C.eq\f(37,8) D.eq\f(37,4)答案：C解析：依题意，记圆台的上、下底面的半径分别为r1，r2，则πreq\o\al(2,1)＝4π，πreq\o\al(2,2)＝25π，则r1＝2，r2＝5，设圆台的母线长为l，则π(r1＋r2)l＝35π，解得l＝5，则圆台的高h＝eq\r(52－（5－2）2)＝4，记圆台外接球的球心到上底面的距离为x，则x2＋22＝(4－x)2＋52，解得x＝eq\f(37,8).故选C.3．(2025·皖南八校高三开学联考)已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为eq\f(20\r(5)π,3)的球面上，该圆柱的侧面积为()A．8π B．6πC．5π D．4π答案：A解析：球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(20\r(5)π,3)，可得其半径R＝eq\r(5)，圆柱的底面直径为2，半径为r＝1，在轴截面中，可知圆柱的高为h＝2eq\r(R2－r2)＝4，所以圆柱的侧面积为2πrh＝8π.故选A.4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A．5.5 B．6C．6.5 D．7答案：C解析：∵三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，又AB⊥AC，∴可将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体ABDC－A1B1D1C1，∴直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球即为长方体ABDC－A1B1D1C1的外接球，故球O的直径为A1D＝eq\r(AB2＋AC2＋AAeq\o\al(2,1))＝13，∴球O的半径为6.5.故选C.5．在Rt△ABC中，斜边AB的长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球的表面积为eq\f(16π,3)，则AC的长为()A.eq\f(\r(3),2) B．1C.eq\r(2) D.eq\r(3)答案：D解析：设AC＝x，因为AB＝2，所以BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(4－x2)，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为R，所以4πR2＝eq\f(16π,3)，解得R＝eq\f(2\r(3),3)，设外接球的球心为O，则球心O在直线AC上，所以4－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,3)，解得x＝eq\r(3).故选D.6．在正四棱锥S－ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为eq\r(6)的等腰三角形，则正四棱锥S－ABCD外接球的体积为()A.eq\f(27π,2) B．9πC.eq\f(9π,2) D．18π答案：C解析：如图所示，设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，因为在正四棱锥S－ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为eq\r(6)的等腰三角形，所以BE＝eq\r(2)，SE＝eq\r(SB2－BE2)＝2，在Rt△OBE中，R2＝OE2＋BE2，即R2＝(2－R)2＋(eq\r(2))2，解得R＝eq\f(3,2)，所以正四棱锥S－ABCD外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2).故选C.7．(2024·河南郑州高三模拟)如图，在几何体ABCDEF中，四边形BCEF是正方形，AD∥平面BCEF，四边形ADEF与四边形ABCD都是等腰梯形，AD＝2BC＝4，AB＝AF＝eq\r(5)，若几何体ABCDEF的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为()A.eq\f(16π,3) B.eq\f(49π,3)C．16π D．49π答案：B解析：连接BE，CF交于点O1，取AD的中点O2，由对称性可得球心O在直线O1O2上，取EF的中点H，连接O1H，O2H，则O2H＝eq\r(AF2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD－\f(1,2)EF))\s\up12(2))＝2，因为EF⊥HO2，EF⊥HO1，HO2∩HO1＝H，HO2，HO1⊂平面HO1O2，所以EF⊥平面HO1O2，又O1O2⊂平面HO1O2，所以EF⊥O1O2，由对称性可得O1O2⊥HO1，EF∩HO1＝H，EF，HO1⊂平面BCEF，所以O1O2⊥平面BCEF，O1O2＝eq\r(O2H2－O1H2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，设球O的半径为R，OO1＝h，由OF＝OA＝R，得h2＋(eq\r(2))2＝(eq\r(3)－h)2＋22＝R2，解得R2＝eq\f(49,12)，所以球O的表面积S＝4πR2＝eq\f(49π,3).故选B.8．(2024·湖南邵阳三模)在四面体ABCD中，△ABD是边长为4eq\r(2)的等边三角形，BC⊥CD，BC＝CD，AC＝4eq\r(3)，点E在棱BD上，且BD＝4BE，过点E作四面体ABCD的外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最小值与球O的表面积的比值为________．答案：eq\f(1,8)解析：由题意知，AB＝AD＝4eq\r(2)，BC＝CD＝4，AC＝4eq\r(3)，由勾股定理可知，BC2＋AB2＝AC2，CD2＋AD2＝AC2，所以BC⊥AB，CD⊥AD，易知四面体ABCD的外接球的球心O在斜边AC的中点处，四面体ABCD的外接球O的半径R＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，根据题意可知，过点E作球O的截面，若要所得的截面圆的面积最小，只需截面圆的半径最小，设球心O到截面的距离为d，只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即dmax＝OE，取BD的中点F，EF＝eq\f(1,4)BD＝eq\r(2)，易知△OBD为等腰三角形，OF＝eq\r(OB2－BF2)＝eq\r(12－8)＝2，所以OE2＝OF2＋EF2＝22＋(eq\r(2))2＝6，所以截面圆的半径为r＝eq\r(R2－OE2)＝eq\r(12－6)＝eq\r(6)，所以截面圆的面积为S1＝π×(eq\r(6))2＝6π，球O的表面积为S2＝4π×(2eq\r(3))2＝48π，所得截面圆的面积的最小值与球O的表面积的比值为eq\f(6π,48π)＝eq\f(1,8).题型二内切球问题9．已知圆台的上、下底面圆的半径之比为eq\f(1,2)，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为()A．3π B．5πC．8π D．9π答案：C解析：设圆台的上底面圆半径为r，母线长为l，则下底面圆半径为2r，如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球O与圆台的上、下底面及母线均相切，故l＝AD＝AH＋DG＝r＋2r＝3r.根据圆台的侧面积公式S＝(πr＋2πr)l＝9π，可得r＝1，所以球O的直径为HG＝2eq\r(2)，故球O的半径为eq\r(2)，所以球O的表面积为8π.故选C.10．(2024·新疆维吾尔自治区三模)设四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面面积分别为S1，S2，侧面积为S，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则()A．S2＝S1S2 B．S＝S1＋S2C．S＝2eq\r(S1S2) D.eq\r(S)＝eq\r(S1)＋eq\r(S2)答案：D解析：设内切球的球心为O，连接OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1，则OA，OB，OC，OD，OA1，OB1，OC1，OD1把四棱台ABCD－A1B1C1D1分割成六个四棱锥，且六个四棱锥的高都为内切球的半径R，四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为2R，所以V四棱台ABCD－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋eq\r(S1S2))·2R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S)·R，化简可得S1＋S2＋2eq\r(S1S2)＝(eq\r(S1)＋eq\r(S2))2＝S，即eq\r(S)＝eq\r(S1)＋eq\r(S2).故选D.11．(2024·江西南昌二中高三模拟)六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无味、无毒、不易燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示．若此正八面体的棱长为2，它的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则eq\f(S2,S1)的值为()A．3 B．2C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案：A解析：如图，连接AC与BD交于点O，连接EO，因为EA＝EC，ED＝EB，所以EO⊥AC，EO⊥BD，又AC与BD为平面ABCD内的相交直线，所以EO⊥平面ABCD，所以O为正八面体的中心，设正八面体外接球的半径为R，内切球的半径为r，因为正八面体的棱长为2，所以EB＝EC＝BC＝2，OB＝OC＝eq\r(2)，EO＝eq\r(EB2－OB2)＝eq\r(2)，则R＝eq\r(2)，S△EBC＝eq\r(3)，S△OBC＝1，设内切球与平面EBC切于点H，连接OH，所以OH⊥平面EBC，所以OH即为正八面体内切球的半径，因为VE－OBC＝VO－EBC，即eq\f(1,3)S△OBC·EO＝eq\f(1,3)S△EBC·OH，所以OH＝eq\f(\r(6),3)，即r＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(S2,S1)＝eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(（\r(2)）2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))\s\up12(2))＝3.故选A.12．(多选)(2024·广东茂名一模)如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△PAB是边长为2的等边三角形，球O内切于圆锥(与圆锥底面和侧面均相切)，Q是球O与圆锥母线PB的交点，M是底面圆弧上的动点，则()A．球O的体积为eq\f(4\r(3)π,27)B．三棱锥A－QBM体积的最大值为eq\f(\r(3),3)C．MA＋MQ的最大值为3D．若M为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，则平面PMQ截球O的截面面积为eq\f(π,7)答案：ACD解析：对于A，如图，设底面圆心为O1，则PO1⊥AB，AQ⊥PB，PO1∩AQ＝O，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴BO1＝1，Q为PB的中点，则球O的半径OO1＝eq\f(\r(3),3)，∴球O的体积为eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(4\r(3)π,27)，故A正确；对于B，作QD⊥AB于点D，∵PO1⊥平面ABM，QD∥PO1，∴QD⊥底面ABM，QD＝eq\f(1,2)PO1，∴VA－QBM＝VQ－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·eq\f(1,2)PO1＝eq\f(\r(3),12)MA·MB≤eq\f(\r(3),12)×eq\f(MA2＋MB2,2)＝eq\f(\r(3),24)AB2＝eq\f(\r(3),6)，故B错误；对于C，设MA＝x，x∈[0，2]，则cos∠MAB＝eq\f(MA,AB)＝eq\f(x,2)，∴MD2＝MA2＋AD2－2MA·ADcos∠MAB＝eq\f(9,4)－eq\f(x2,2)，∴MQ＝eq\r(MD2＋DQ2)＝eq\r(3－\f(x2,2))，∴MA＋MQ＝x＋eq\r(3－\f(x2,2))，设f(x)＝x＋eq\r(3－\f(x2,2))，则f′(x)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(x,\r(3－\f(x2,2)))，令f′(x)＝0，解得x＝2，当x＝0时，f′(x)>0，当x∈(0，2]时，f′(x)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,\r(\f(3,x2)－\f(1,2)))，易知y＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,2)在(0，2]上单调递减，则f′(x)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,\r(\f(3,x2)－\f(1,2)))在(0，2]上单调递减，且f′(2)＝0，则当x∈[0，2]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)max＝f(2)＝2＋1＝3，故C正确；对于D，当M为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点时，MO1⊥AB，∵PO1⊥平面ABM，MO1⊂平面ABM，∴PO1⊥MO1，又PO1∩AB＝O1，PO1，AB⊂平面POQ，∴MO1⊥平面POQ，由PB＝PM＝2，MB＝eq\r(2)，PQ＝1，得sin∠QPM＝eq\f(\r(7),4)，∴S△MPQ＝eq\f(1,2)PM·PQsin∠MPQ＝eq\f(\r(7),4).设点O到平面PMQ的距离为h，∵S△OPQ＝eq\f(\r(3),6)，VM－OPQ＝VO－MPQ，∴eq\f(1,3)S△OPQ×1＝eq\f(1,3)S△MPQ·h，代入数据，解得h＝eq\f(2\r(21),21)，∴截面面积为πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(21),21)))\s\up12(2)))＝eq\f(π,7)，故D正确．故选ACD.13．已知三棱锥V－ABC的三条侧棱两两垂直，且VA＝1，VB＝2，VC＝3，则该三棱锥的内切球的半径为________．答案：eq\f(1,3)解析：设该三棱锥的体积为W，表面积为S，内切球的半径为r，球心为O，则W＝eq\f(1,3)S·r，且W＝eq\f(1,3)S△VAB·VC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×3＝1，则eq\f(1,3)S·r＝1，∵三棱锥V－ABC的三条侧棱两两垂直，且VA＝1，VB＝2，VC＝3，∴AB＝eq\r(5)，AC＝eq\r(10)，BC＝eq\r(13)，∴cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(5＋10－13,2×\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),10)，又∠BAC∈(0，π)，∴sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\f(7\r(2),10)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(10)×eq\f(7\r(2),10)＝eq\f(7,2)，又S△VAB＝eq\f(1,2)VA·VB＝eq\f(1,2)×1×2＝1，S△VAC＝eq\f(1,2)VA·VC＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，S△VBC＝eq\f(1,2)VB·VC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，∴S＝eq\f(7,2)＋1＋eq\f(3,2)＋3＝9，又eq\f(1,3)S·r＝1，∴eq\f(1,3)×9×r＝1，因此r＝eq\f(1,3).14．(2024·陕西安康模拟预测)《论球与圆柱》是古希腊数学家阿基米德的得意杰作，据传说在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．如图为一个圆柱O1O2与球O的组合体，其中球O与圆柱O1O2的侧面和上、下底面均相切，EF为底面圆O1的一条直径，EF⊥AB，若球的半径r＝1，则球的体积与圆柱的体积之比为________，球心O到平面DEF的距离为________．答案：eq\f(2,3)eq\f(\r(5),5)解析：因为球的半径r＝1，所以球的体积为V1＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,3)，圆柱的体积为V2＝πr2h＝πr2×2r＝2π，所以球的体积与圆柱的体积之比为eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4π,3),2π)＝eq\f(2,3).由题易知EF⊥AB，DA⊥EF，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，又EF⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD，连接O1D，则平面DEF与平面ABCD的交线为O1D，所以过点O在平面ABCD内作OG⊥DO1，垂足为点G，则OG⊥平面DEF.如图，易知O1O2⊥CD，O1O2＝2，O2D＝1，由勾股定理可得O1D＝eq\r(O1Oeq\o\al(2,2)＋O2D2)＝eq\r(5)，由Rt△O1GO∽Rt△O1O2D，可知eq\f(GO,OO1)＝eq\f(DO2,DO1)，即eq\f(GO,1)＝eq\f(1,\r(5))，解得GO＝eq\f(\r(5),5)，所以球心O到平面DEF的距离为eq\f(\r(5),5).题型三棱切球问题15．已知球O与棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是()A．[eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2)]B．[eq\r(6)－2，eq\r(6)＋2]C．[2eq\r(3)－2eq\r(2)，2eq\r(3)＋2eq\r(2)]D．[eq\r(3)－eq\r(2)，eq\r(3)＋eq\r(2)]答案：C解析：因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以球O的半径为R＝2eq\r(2)，如图，球心O为正方体的中心，球心与△ACB1的外接圆上的点的距离为OB1，其长为体对角线的一半，故OB1＝2eq\r(3)，故OB1－R≤MN≤OB1＋R，也就是2eq\r(3)－2eq\r(2)≤MN≤2eq\r(3)＋2eq\r(2).故选C.16．(多选)(2024·海南高三模拟)在四面体ABCD中，△ABD，△CBD都是边长为6的正三角形，棱AC与平面BCD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3)，球O与该四面体各棱都相切，则()A．四面体ABCD为正四面体B．四面体ABCD外接球的体积为27eq\r(6)πC．球O的表面积为27πD．球O被四面体ABCD的表面所截得的各截面圆的周长之和为8eq\