2026版《金版教程》高考一轮复习数学第五章 考点测试28 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积

高考总复习首选用卷数学第五章立体几何考点测试28基本立体图形及空间几何体的表面积与体积基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★对点空间几何体的结构特征简单几何体的外接球；球的体积圆台的侧面积简单几何体的外接球；棱柱的表面积与体积组合体的体积平面图形的直观图组合体的表面积棱台的侧面积圆台的计算问题；空间几何体的展开图问题题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点组合体的体积组合体的表面积圆锥的侧面积与体积组合体的表面积组合体的体积棱锥体积的最值问题圆锥的体积空间轨迹问题；棱柱的表面积简单几何体的内切球；球的表面积高考概览本考点是高考常考知识点，题型为选择题、填空题，中等难度考点研读1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图3.球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式1．下列说法正确的是()A．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台B．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥D．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台答案：C解析：对于A，以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，故A错误；对于B，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴，故B错误；对于C，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360°时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故C正确；对于D，把两个相同的棱台的底面重合在一起，就不是棱台，故D错误．故选C.2．(2025·云南高三名校联考)已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球O的球面上，则球O的体积为()A．2eq\r(2)π B．4eq\r(2)πC．2eq\r(3)π D．4eq\r(3)π答案：D解析：圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，边长为3的等边三角形的外接圆半径即是圆锥的外接球半径，设球O的半径为R，由正弦定理，得2R＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，即R＝eq\r(3)，故球O的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.故选D.3．(2025·山东聊城莘县第一中学高三开学考试)已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝()A．2 B．4C．8 D．12答案：C解析：因为该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r，所以π(r＋4r)×10＝100π，解得r＝2，则R＝8.故选C.4．(2024·河南驻马店二模)已知某正六棱柱的体积为6eq\r(3)，其外接球的体积为eq\f(20\r(5)π,3)，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为()A．6eq\r(3)＋18 B．3eq\r(3)＋18C．6eq\r(3)＋24 D．3eq\r(3)＋24答案：D解析：设该正六棱柱的底面边长为a，高为h，其外接球的半径为R，易知eq\f(4,3)πR3＝eq\f(20\r(5)π,3)，则R＝eq\r(5)＝eq\r(a2＋\f(h2,4))①，且eq\f(\r(3),4)a2×6×h＝6eq\r(3)②，联立①②，因为h∈Z，解得a＝1，h＝4，所以正六棱柱的表面积S＝eq\f(\r(3),4)a2×12＋6ah＝3eq\r(3)＋24.故选D.5．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是0.18m3，那么原正方体石料的体积是()A．0.196m3 B．0.216m3C．0.225m3 D．0.234m3答案：B解析：设原正方体石料的棱长为am．由题意可得a3－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)a×8＝0.18，解得a3＝0.216.所以原正方体石料的体积是0.216m3.故选B.6．如图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′(1，0)，C′(－1，0)，则原四边形ABCD的面积等于()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)答案：D解析：由题意可知A′(1，0)，C′(－1，0)，即A′C′＝2，故A′B′＝eq\r(2)，所以S正方形A′B′C′D′＝2，则原四边形ABCD的面积为eq\f(2,\f(\r(2),4))＝4eq\r(2).故选D.7．(2025·山东潍坊诸城繁华中学高三上期末)陀螺是早期民间小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图．已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为()A．240π B．220πC．160π D．176π答案：A解析：该陀螺的表面积是底面圆的面积、圆柱的侧面积和圆锥的侧面积之和．因为圆柱底面圆的直径为16，所以底面圆的半径为8，则底面圆的面积为π×82＝64π，因为圆柱的高为6，所以圆柱的侧面积为2π×8×6＝96π，根据圆锥的高为6，底面半径为8，得圆锥的母线长为eq\r(62＋82)＝10，所以圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，所以该陀螺的表面积为64π＋96π＋80π＝240π.故选A.8．(2024·河南濮阳模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为()A．8 B．12C．24 D．48答案：C解析：如图，取棱的中点，作截面EFGH，则FG，EH为正四棱台的斜高．在等腰梯形EFGH中，易知EF＝2，GH＝4，∠EHG＝60°，所以EH·cos60°＝eq\f(4－2,2)＝1⇒EH＝2，所以正四棱台的侧面积为4×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝24.故选C.9．(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，则()A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面的面积为3eq\r(3)cm2C．该圆台的体积为eq\f(7\r(3)π,3)cm3D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cm答案：BCD解析：如图1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝eq\f(CD－AB,2)＝1cm，则BE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)cm，故圆台的高为eq\r(3)cm，A错误；圆台轴截面的面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)cm2，B正确；圆台的体积为eq\f(1,3)×eq\r(3)×(π＋4π＋eq\r(π×4π))＝eq\f(7\r(3)π,3)cm3，C正确；将圆台一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD的中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CD＝2AB，可得BC＝OB＝2cm，则OC＝4cm，∠COD＝eq\f(\f(4π,2),4)＝eq\f(π,2)，又OP＝OA＋eq\f(AD,2)＝3cm，则CP＝eq\r(42＋32)＝5cm，即点C到AD的中点所经过的最短路程为5cm，D正确．故选BCD.10．(2025·北京房山高三开学考试)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有m升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好经过点P(图2)，设正四棱柱的高为h1，正四棱锥的高为h2，则eq\f(h1,h2)＝________．答案：eq\f(5,3)解析：设正四棱柱的底面面积为S，在题图1中，可得Sh2－eq\f(1,3)Sh2＝eq\f(2,3)Sh2＝m，所以h2＝eq\f(3m,2S)，在题图2中，可得S(h1－h2)＝m，所以h1－h2＝eq\f(m,S)，则h1＝eq\f(5m,2S)，所以eq\f(h1,h2)＝eq\f(\f(5m,2S),\f(3m,2S))＝eq\f(5,3).11．(2025·上海松江高三开学考试)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CC1的中点，△BPD1以BD1为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是________．答案：2eq\r(10)π解析：由题意知，△BPD1为等腰三角形，且BD1＝2eq\r(3)，PD1＝PB＝eq\r(5)，所以△BPD1以BD1为轴旋转一周，得到的旋转体是以BD1为中心轴，PD1和PB分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，可得圆锥的底面半径为eq\r(5－3)＝eq\r(2)，所以旋转体的表面积S＝2πrl＝2eq\r(10)π.12．(2025·四川绵阳高三联考)甲、乙两圆锥母线长均为3，体积分别为V1，V2，侧面积分别为S1，S2，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,2)，侧面展开图的圆心角θ1，θ2满足θ1＋θ2＝2π，则eq\f(V1,V2)＝________．答案：eq\f(\r(10),10)解析：依题意，不妨设两圆锥的母线长均为l，甲圆锥的底面半径为r，高为h，乙圆锥的底面半径为R，高为H，则S1＝3πr，S2＝3πR，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,2)，得eq\f(3πr,3πR)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,2)，故R＝2r，因为侧面展开图的圆心角之和为2π，所以2πr＋2πR＝6π，故r＝1，所以h＝eq\r(l2－r2)＝2eq\r(2)，H＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(5)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)πr2h,\f(1,3)πR2H)＝eq\f(2\r(2),4\r(5))＝eq\f(\r(10),10).13．(2024·浙江丽水高三模拟)已知长轴长与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的面积为πab(a>b>0)．现要切割加工一个底面半径为1、高为2的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，且与底面所成的角为60°.然后再将切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为()A．6π B．7πC．8π D．10π答案：C解析：设底面中心为O，截面与底面交于线段AB，由圆锥曲线的定义可得截面为半个椭圆，设椭圆的长轴端点为D，且底面圆周上的点E满足DE垂直于底面，则OD⊥AB，DE⊥AB，又OD∩DE＝D，所以AB⊥平面ODE，从而AB⊥OE.因为OE＝1，截面与底面所成角的平面角是∠DOE＝60°，则DE＝eq\r(3)，OD＝2，所以截面所在椭圆的长半轴为a＝2，短半轴为b＝1，所以截面的面积为S1＝eq\f(1,2)πab＝π，而圆柱的表面积是S2＝2×π×12＋2×2π×1＝6π，因此所刷油漆的面积为2S1＋S2＝8π.故选C.14．(2024·新疆维吾尔自治区二模)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为5，CD与AB间的距离为10，则这个“羡除”的体积V＝________．答案：200解析：连接CE，BE，BD，V＝VE－ABCD＋VC－BEF＝VE－ABCD＋eq\f(5,3)VD－ABE＝VE－ABCD＋eq\f(5,3)VE－ABD＝VE－ABCD＋eq\f(5,7)VE－ABCD＝eq\f(12,7)VE－ABCD＝eq\f(12,7)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(6＋8)×10×5＝200.15．(2024·江西南昌模拟)如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，M，N分别为线段AB，AD上异于点A，B，D的动点，且满足AM＝AN，H为MN的中点，将点A沿MN折至点A′处，使A′H⊥平面BCD，则五棱锥A′－MBCDN体积的最大值为________．答案：eq\f(128\r(3),27)解析：设AM＝x，因为AM＝AN，H为MN的中点，所以A′H⊥MN，且AH＝eq\f(\r(2),2)x，底面MBCDN的面积为16－eq\f(1,2)x2(0<x<4)，所以五棱锥A′－MBCDN的体积为V(x)＝eq\f(\r(2),6)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－\f(1,2)x2))(0<x<4)，则V′(x)＝eq\f(\r(2),6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－\f(3,2)x2))，令V′(x)>0，得0<x<eq\f(4\r(6),3)；令V′(x)<0，得eq\f(4\r(6),3)<x<4.所以V(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4\r(6),3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(6),3)，4))上单调递减，所以V(x)max＝Veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(6),3)))＝eq\f(128\r(3),27).16．(2024·上海奉贤三模)如图，已知△BOA为直角三角形(O为直角)，分别连接点B与线段OA的n等分点A1，A2，…，An－1，得到n个三角形依次为△BOA1，△BA1A2，…，△BAn－1A，将△BOA绕着OB所在直线旋转一周，记△BOA1，△BA1A2，…，△BAn－1A旋转得到的几何体的体积依次为V1，V2，…，Vn，若V1＝1，Vn＝49，则△BOA旋转得到的几何体的体积V＝________．答案：625解析：设OA＝a，OB＝b，则V1＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,n)))eq\s\up12(2)b＝eq\f(1,3)×eq\f(πa2b,n2)＝1①，记△BOAn－1绕着OB所在直线旋转一周得到的几何体体积为V圆锥B－OAn－1，所以Vn＝V－V圆锥B－OAn－1＝eq\f(1,3)πa2b－eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)a))eq\s\up12(2)b＝eq\f(1,3)πa2b·eq\f(n2－（n－1）2,n2)＝eq\f(1,3)πa2b·eq\f(2n－1,n2)＝49②，②÷①，得n＝25，所以V1＝eq\f(1,3)×eq\f(πa2b,252)＝1，可得πa2b＝1875，则△BOA旋转得到的几何体的体积V＝eq\f(1,3)πa2b＝eq\f(1,3)×1875＝625.17．(2024·四川成都二模)在所有棱长均相等的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，点P在四边形AA1B1B内(含边界)运动．当C1P＝eq\f(\r(7),2)CC1时，点P的轨迹长度为eq\f(2π,3)，则该四棱柱的表面积为________．答案：16＋4eq\r(3)解析：设直四棱柱的棱长为a，延长A1B1，过点C1作C1O垂直于A1B1的延长线于点O，由∠BAD＝60°，可得OB1＝eq\f(a,2)，C1O＝eq\f(\r(3)a,2).由直四棱柱的性质，可得C1O⊥平面AA1B1B，所以C1O⊥OP.因为C1