4.4.3　不同函数增长的差异-高一上学期数学必修一课件人教A版

4.4.3不同函数增长的差异素养目标思维导图1.利用函数图象及数据表格,对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,初步体会它们的增长差异性(直观想象).2.了解函数模型的广泛应用(数学建模).课前自主学习观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+∞)上的图象,思考以下几个问题:问题1.三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点?提示:三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增.问题2.当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快?哪个最慢?提示:三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快,y=log2x增长速度最慢.问题3.试着完成下面的填空:函数y=2xy=log2xy=x2在(0,+∞)上的增减性_____________________增长速度_________越来越慢相对平稳增函数增函数增函数越来越快【核心概念】1.常见的函数模型_________、_________、_________、_________、_______.2.三类函数的比较函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢比较平稳一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数3.增长率问题日常生活中常见的问题,计算公式为__________,若某月的产值是b,月增长率为p,则此月开始第n个月后的产值是_______.y=N(1+p)xb(1+p)n课堂合作探究探究点一

三类函数增长的差异【典例1】(1)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是(

)A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2xC.f3(x)=log2x

D.f4(x)=2x(2)下列函数中,当x足够大时增长速度最快的是(

)A.y=2024x

B.y=x2024C.y=log2024x

D.y=2024x【思维导引】(1)本题考查不同函数的增长速度差异,关键是能够明确指数函数增长速度最快,即可得解.(2)根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长速度,选出增长速度最快的选项.【解析】(1)选D.当x>4时,2x>x2>2x>log2x,可知f4(x)的增长速度最快,所以最终在最前面的物体具有的函数关系为f4(x)=2x.(2)选A.比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快.【类题通法】函数增长快慢对函数曲线的影响随着自变量的增大,如果函数值增长越来越快,那么函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长越来越慢,那么函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.

探究点二

三类函数图象的比较【典例2】如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的高度,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是(

)【思维导引】结合题意分析随t的变化H的变化情况,重点关注H的变化快慢情况.【解析】选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,因为圆柱中液面上升的速度是一个常量,即漏斗中液体漏出的速度是一定的,因此H增长的速度越来越大.【定向训练】某工厂8年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图,则:①前3年总产量增长速度越来越快;②前3年总产量增长速度越来越慢;③第3年后,这种产品停止生产.以上说法中正确的是

.(填序号)

【解析】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快;而图象在区间(3,8)上平行于x轴,说明总产量没有变化,所以第3年后该产品停止生产.因此只有①③正确.答案:①③

【类题通法】不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.【知识延拓】三种函数模型的解析式及其增长特点的总结(1)指数函数模型:解析式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>0,且b≠1),当b>1时,增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”;当0<b<1时,函数值由快到慢地减少.(2)对数函数模型:解析式为f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,a>0,且a≠1),当a>1时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”;当0<a<1时,相应函数值逐渐减少,变化得越来越慢.(3)幂函数模型:解析式为f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1,α>0),其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型.【定向训练】某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?

课堂练习1.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据,如表:则对x,y最适合的拟合函数是(

)A.y=2x

B.y=x2-1C.y=2x-2

D.y=log2x【解析】选D.将x=0.50代入计算,可以排除A;将x=2.01代入计算,可以排除B,C.x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00√

√3.已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,当x∈R时,f(x)与g(