2026新教材人教版九年级上册数学26.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 教案（3课时）

第第页2026新教材人教版九年级上册数学26.2.2二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教案（3课时）第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质课题26.2.2第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质授课人教学目标1.（2022新课标）能画二次函数y=ax2+k的图象.2.（2022新课标）通过图象了解二次函数y=ax2+k的性质.理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.知道二次函数y=ax2与y=ax2+k的联系.了解二次函数y＝ax2的图象上下平移的规律.4.会用“数形结合”的思想比较二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的解析式、函数对应表和图象关系.会应用二次函数y=ax2+k的性质解题.教学重点画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，比较它们之间的异同，了解它们的性质.教学难点对二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）二次函数y＝2x2的图象是抛物线，它的开口向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，二次函数y＝2x2在x＝0时，取得最小值，其最小值是0.（2）二次函数y＝2x2＋1与二次函数y＝2x2的解析式有什么相同点和不同点？它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习二次函数y＝ax2的图象和性质，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y=ax2+k的图象1.问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象.师生活动：先让学生回顾画二次函数图象的步骤：列表、描点、连线，再画出二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象.（1）列表：教师给出表格，学生填表.x…－1.5－1－0.500.511.5…y＝2x2＋2…6.542.522.546.5…y＝2x2－2…2.50－1.5－2－1.502.5…（2）描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点.（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象.2.思考：观察二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象，探究二次函数y＝2x2＋2与y＝2x2－2的图象之间的关系.(1)先让学生观察函数的图象，研究自变量相同的两个二次函数图象上点的位置有何关系.(2)二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象之间有什么关系？学生归纳：二次函数y＝2x2＋2的图象可以看成是将二次函数y＝2x2－2的图象向上平移4个单位长度得到的.3.思考：(1)抛物线y＝2x2＋2和y＝2x2－2的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？(2)抛物线y＝2x2＋2和y＝2x2－2与抛物线y＝2x2有什么关系？教师指导学生观察函数图象，学生自主进行回答，达成共识：(1)开口方向都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标分别是(0，2)，(0，－2).(2)把抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度得到抛物线y＝2x2＋2，向下平移2个单位长度得到抛物线y＝2x2－2.4.思考：抛物线y＝ax2＋k和y＝ax2有什么关系？师生活动：学生分组交流、讨论，做好总结归纳，教师指导各个小组发表见解，最后师生共同总结：(1)开口方向相同，对称轴都是y轴，顶点不同，顶点坐标分别是(0，k)，(0，0).(2)当k>0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度得到的；当k<0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度得到的.通过具体例子，让学生画函数图象，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力。典例精析【例1】关于二次函数y＝2x2＋4，下列说法错误的是（）A．其图象的开口方向向上 B．当x＝0时，y有最大值4C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为(0，4)答案：B.【例2】关于抛物线y＝－x2＋1与y＝x2－1，下列说法正确的是（）A．开口方向相同 B．顶点相同C．对称轴相同D．当x＞0时，y随x的增大而增大答案：C.【方法总结】由二次函数的解析式推断抛物线性质的方法(1)a决定抛物线的开口方向，且|a|的大小决定开口的大小.特别地，当两个抛物线形状一样时，两者的|a|是相等的；(2)k确定抛物线与对称轴交点的纵坐标.【例3】在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝－x2＋1的图象大致是（）【解析】∵y＝3x的比例系数k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，即直线从左到右呈上升趋势，故排除A，C．又二次函数y＝－x2＋1的图象开口向下，∴排除B．答案：D.【方法总结】解决根据解析式判断函数图象问题，关键是把题目中的多个函数逐个单独分析，确定每个函数的核心特征，利用特征进行判断.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解知识的有效方法。随堂检测1．已知抛物线y＝2x2－3．（1）它的开口向____，对称轴为______，顶点坐标为__________；（2）把抛物线y＝2x2______________________可得抛物线y＝2x2－3；（3）若点(－4，y1)，(－1，y2)在抛物线y＝2x2－3上，则y1____y2（填“＞”“＜”或“＝”）．答案：（1）上y轴（0，-3）（2）向下平移3个单位长度（3）＞2．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是（）A．它的图象开口方向向上B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．它的顶点坐标是(3，0)D．当x＝0时，y有最小值是3答案：B.3．如果将抛物线y＝x²＋2向下平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是__________．答案：y＝x2－14．二次函数y＝mx2＋m－2的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围为___________．答案：0＜m＜2.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数y=ax2+k的图象和性质，延续数形结合的核心思想，通过平移法推导图象，对比y=ax2的图象探究新函数的特征，体会“由简到繁、类比迁移”的函数研究方法，理清参数变化对函数图象的影响，掌握图象平移与解析式的对应关系.2.知识内容层面掌握二次函数y=ax2+k的图象特征、平移规律、核心性质以及参a、k的作用.3.概念联系与区别联系：y=ax2+k是y=ax2的延伸，二者图象形状相同、对称轴相同、增减性一致，都属于顶点在y轴上的二次函数，k=0时即为y=ax2.区别：y=ax2顶点在原点(0,0)，最值为0；y=ax2+k顶点在(0,k)，图象上下平移，最值变为k，参数k只改变图象位置，不改变形状、开口和增减性.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y=ax2+k的图象和性质．巩固所学知识，加深对二次函数y=ax2+k的图象和性质相关概念的理解.作业布置板书设计二次函数y=ax2+k的图象和性质1.图象2.性质.3.与y=ax2的关系教学反思第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质课题26.2.2第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质授课人教学目标1.（2022新课标）能画二次函数y=a(x−h)2的图象，体会数形结合的思想与方法，并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等．2.（2022新课标）通过图象了解二次函数y=a(x−h)2的性质.3.知道二次函数y=ax2与y=a(x−h)2的联系.理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系，掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象的平移规律.4.会应用二次函数y=a(x−h)2的性质解题.5.在探索二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质的过程中，会用数形结合的思想与方法解决问题．教学重点掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质.教学难点掌握抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的平移规律.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）二次函数y＝ax2的图象是过原点的抛物线；顶点坐标为（0，0）；对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图象在x轴的上方（除顶点外）；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）.（2）将二次函数y＝ax2的图象向上（或下）平移|k|个单位长度后，可得二次函数y＝ax2＋k的图象.问题：二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象是怎样的呢？它与二次函数y＝ax2的图象有什么关系？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的图象和性质，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y=a（x-h）2的图象1.观察图象，然后进行填表：函数开口方向对称轴顶点坐标最值增减性y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2)学生自主填表后，教师指明学生回答，共同得到正确答案.2.归纳：二次函数y＝a（x－h）2的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，0）.当a>0时，图象开口向上，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，y有最小值是0；当a<0时，图象开口向下，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小，当x＝h时，y有最大值是0.3.探究规律：在观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题：（1）抛物线y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)，y＝－eq\f(1,2)x2，y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2)的形状和大小之间有什么关系？（2）把抛物线y＝－eq\f(1,2)x2向左平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)；（3）把抛物线y＝－eq\f(1,2)x2向右平移1个单位长度后，就得到抛物线y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2).教师展示图象的变化情况，学生观察、作答，并思考平移的规律.4.思考分析（1）分析抛物线y＝a（x－h）2和y＝ax2之间的区别和联系；（2）讨论二次函数y＝a（x－h）2中a和h的作用.师生活动：学生小组内讨论得到结论，教师给予补充和总结：抛物线y＝a（x－h）2和y＝ax2开口方向和大小都相同，对称轴和顶点不同，抛物线y＝a（x－h）2可由抛物线y＝ax2通过平移得到.a的值决定抛物线的开口方向和大小，h的值决定抛物线的对称轴.通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.典例精析【例1】抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．【解】二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位长度后，二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得a=14∴平移后二次函数关系式为y＝14(x－3)2【方法总结】解决此类问题先根据平移规律写出函数解析式，再把点的坐标代入求出参数即可.【例2】已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是（）A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0答案：A.【方法总结】比较函数值大小问题的解题方法（1）定性质：确定抛物线开口、对称轴、单调性；（2）判位置：判断两点在对称轴的同侧或异侧；（3）比大小：同侧用单调性，异侧用对称性或距离法；（4）验符号：结合函数最值或范围，确定y的符号.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是（）A．向上平移1个单位长度B．向下平移1个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度答案：C.2．对于二次函数y＝3(x＋2)2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的对称轴是直线x＝2C．当x＞－2时，y随x的增大而减小D．函数有最小值0答案：D.3．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．与y轴不相交答案：D.4．在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x－2)2的图象，并指出两个图象之间的平移关系．解：画出的函数图象如图．函数y＝2(x－2)2的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移2个单位长度得到．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数y=a(x-h)2的图象和性质，牢牢把握数形结合的核心思想，借助平移法推导图象，对比y=ax2的图象探究新函数的特征，体会类比迁移、由简到繁的函数研究方法，理清图象左右平移与解析式的对应关系，掌握顶点式的研究思路.2.知识内容层面掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征、平移规律、核心性质以及参数a、h的作用.3.概念联系与区别联系：y=a(x-h)2是y=ax2的延伸，二者图象形状、开口规律完全相同，均属于二次函数顶点式，h=0时，该函数就变为y=ax2.区别：y=ax2对称轴为y轴、顶点在原点；y=a(x-h)2对称轴为直线x=h，顶点在(h,0)，图象左右平移，增减性分界点随对称轴改变，h只改变图象水平位置，不影响形状和开口.核心易错点：记错“左加右减”规律，混淆平移方向；误把对称轴记成x=-h；写错顶点横坐标；搞错对称轴两侧的增减性.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．巩固所学知识，加深对二次函数y=ax2+k的图象和性质相关概念的理解.作业布置板书设计二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1.图象2.性质.3.与y=ax2的关系教学反思第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质课题26.2.2第3课时二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质授课人教学目标1.（2022新课标）能画二次函数y=a(x−h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的位置关系．2.（2022新课标）通过图象了解二次函数y=a(x−h)2+k的性质.3.知道二次函数y=ax2与y=a(x−h)2+k的联系.会应用二次函数y=a(x−h)2+k的性质解题.4.会用二次函数的知识解决简单的实际问题，会用数学的思维分析、转化、解决实际问题.教学重点掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质.教学难点掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的平移规律.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入（1）函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？（2）函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？问题：函数y＝2（x－1）2＋1的图象与函数y＝2（x－1）2的图象之间有什么关系？函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知二次函数y=a（x-h）2+k的图象问题：画出二次函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：学生列表，并在准备好的坐标纸上描点、连线，画出函数的图象.教师巡视指导，做好纠正和点拨.思考：你能发现二次函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1有哪些性质吗？师生活动：学生分组讨论，互相交流，发表见解后，达成共识：抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．当x＝－1时，y有最大值是－1；当x>－1时，y随x的增大而减小；当x<－1时，y随x的增大而增大.教师对学生的发现进行鼓励，对于二次函数，引导学生从图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的最值及增减性等方面进行分析.思考：二次函数y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1的图象与二次函数y＝－eq\f(1,2)x2的图象之间的关系.学生思考后总结如下：把抛物线y＝－eq\f(1,2)x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到抛物线y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2－1.思考：你能根据上述探究，归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质吗？师生活动：学生讨论、交流，积极发言，师生共同提示、补充、总结：(1)当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.(2)对称轴是直线x＝h.(3)顶点坐标是(h，k).(4)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由二次函数y＝ax2的图象沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再沿对称轴向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度得到．简单地说，就是左加右减，上加下减，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.教师补充说明：形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标.通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.典例精析【例1】对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论有（）A．0B．1C．2D．3【解析】①∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x＝－1，错误；③顶点坐标为(－1，3)，正确；④x＞1时，y随x的增大而减小，正确．综上所述，结论正确的是①③④，共3个，故选D．【方法总结】明晰抛物线y=a(x—h)²+k的各种形式，解决性质问题抛物线y=a(x—h)²+k有多种形式，比如当h=0,k≠0时，变为y=ax²+k;当h≠0,k=0时，变为y=a(x-h)².解决各种形式的抛物线的性质问题的关键是要记准抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【例2】已知抛物线的顶点为(－1，2)且过原点，求抛物线的函数解析式．【解】∵抛物线的顶点为(－1，2)，∴可设抛物线的函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2．又抛物线过(0，0)，∴0＝a(0＋1)2＋2，解得a＝－2，∴抛物线的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋2．【方法总结】巧设顶点式求二次函数的解析式已知二次函数图象的顶点坐标(h,k),常设解析式为y=a(x-h)²+k,然后将图象上一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式.【例3】（教材p41例2）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，如图所示，水管应多长？教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？【解】如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管在所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y=a（x-1）2+3（0≤x≤3.6），由这段抛物线经过点（3.6，0），可得0=a（3.6-1.6）2+3（0≤x≤3.6），解得：a=-34因此y=-34（x-1.6）2+3（0≤x≤3.6令x=0，则y=1.08．也就是说，水管的长应为1.08m.【方法总结】解决二次函数实际问题，先审题，需要建立坐标系的先建立坐标系，然后根据条件列出解析式，把相关数据代入，求出解析式，再解决相应问题.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位答案：B.2．下列关于二次函数y＝－2(x－2)2＋1图象的叙述，其中错误的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝2C．此函数有最小值是1D．当x＞2时，y随x的增大而减小答案：C.3．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象是（）答案：C.4．指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y＝5(x＋2