2026新教材人教版九年级上册数学25.2.3 因式分解法 教案（2课时）

第第页2026新教材人教版九年级上册数学25.2.3因式分解法教案（2课时）第1课时用因式分解法解一元二次方程课题25.2.3第1课时用因式分解法解一元二次方程授课人教学目标1.了解因式分解法的概念.用因式分解法解一元二次方程．2.掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法.3.（2022新课标）能用因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．教学重点因式分解法解一元二次方程.教学难点将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80m，测量人员说：“正方形土地面积是矩形土地面积的一半．”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？设正方形土地的边长为xm．根据题意，得2x2＝80x.在解此方程时，我们可以通过直接开平方法或配方法或公式法来解决．那么，一元二次方程除了上述解法外，还有其他解法吗？学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用因式分解法解一元二次方程根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度为(10x－4.9x2)m.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，则得方程10x－4.9x2＝0．请大家分别用配方法和公式法求解该方程．教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程，并提出疑问：除了配方法和公式法外，是否能找到更简便的方法？问题1：当a，b分别取什么值时，等式ab＝0成立？学生交流，讨论，得出结论．教师板书：理论依据：若ab＝0，则a＝0或b＝0.问题2：依据问题1，你能解情境问题中的一元二次方程10x－4.9x2＝0吗？对比配方法和公式法，这种解法有什么优点？方程左边分解因式，得x(10－4.9x)＝0，则x＝0或10－4.9x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(100,49).应用探究：(1)若(x＋1)(x－2)＝0，则x1＝__－1__，x2＝__2__；(2)若(2x－1)(3x＋5)＝0，则x1＝__eq\f(1,2)__，x2＝__－eq\f(5,3)__；(3)解方程x2－x＝0时，方程可以变形为__x(x－1)__＝0，则x1＝__0__，x2＝__1__；(4)解方程4x(x＋3)＋3(x＋3)＝0时，方程可以变形为__(4x＋3)(x＋3)__＝0，则x1＝__－eq\f(3,4)__，x2＝__－3__．学生自主解答问题，教师进行个别指导，然后学生进行做法讲述，教师进行点评与总结．利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边进行因式分解；③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；④解一元一次方程，得到方程的解．归纳：不用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过问题解决，总结因式分解法及其解一元二次方程的步骤.典例精析【例1】(教材p13例4)解下列方程：（1）x（x-2）+x-2=0

；(2)5x2－2x－＝x2－2x＋.【解】（1）因式分解，得x（x-2）+（x-2）=0

；（x-2）（x+1）=0，于是得x－2＝0，或x＋1＝0，解得：x1=2；x2=-1.⑵移项，合并同类项，得4x2−1＝0,因式分解，得（2x＋1）（2x−1）＝0,（2x＋1）=0；（2x−1）＝0,x1＝；x2＝－.【方法总结】因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【针对训练】用因式分解法解下列方程：(1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0.∴2x＋11＝0或2x－11＝0，x1＝－eq\f(11,2)，x2＝eq\f(11,2).(2)移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0.因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝eq\f(2,3)，x2＝－eq\f(1,2).（3）移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0.即(1－x)(3x－9)＝0.∴1－x＝0或3x－9＝0，∴x1＝1，x2＝3.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对因式分解法解方程的能力.随堂检测1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（）A．(x－1)(x－2)＝3B．2(x－1)2＝x2－1C．x2＋2x－1＝0D．x2＋4x＝2解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合．答案：B.2．方程2x2＝3x的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝－32D．x1＝0，x2＝解析：移项，得2x2－3x＝0，左边因式分解，得x(2x－3)＝0，∴x＝0或2x－3＝0，∴x1＝0，x2＝32答案：D.3．解下列方程：（1）3x2-6x=-3；（2）4x2-121=0.解：（1）化为一般式x2－2x＋1＝0．因式分解，得(x－1)(x－1)＝0．∴x－1＝0，∴x1＝x2＝1．（2）因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0．∴2x＋11＝0，或2x－11＝0，∴x1＝－eq\f(11,2)，x2＝eq\f(11,2).4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．（1）尝试．分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋)(x＋)；（2）应用．请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0．解：（1）24（2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)＝0，∴x－4＝0，或x＋1＝0，∴x1＝4，x2＝－1．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到什么方法？从知识内容上学到什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了因式分解法，体会“降次转化”思想，利用因式分解把一元二次方程化为两个一元一次方程，实现“二次→一次”的化归.2.知识内容层面：掌握因式分解法的核心依据：若ab=0，则a=0或b=0；熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；归纳解题步骤：移项→右边化为0→左边因式分解→令每个因式为0→解一元一次方程.3.概念联系与区别：因式分解法是特殊、简便方法，只适用于能轻松分解的方程；与配方法、公式法对比：配方法和公式法是通用方法，因式分解法是快捷方法；强调必须先把方程化为“一边为0，另一边乘积”的形式，不能直接开方或约分.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．巩固所学知识，加深对求根公式的理解与应用.作业布置《课时训练》p11—p12练习题板书设计用因式分解法解一元二次方程1.概念2.原理3.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）移项；（2）分界；（3）转化；（4）求解.教学反思第2课时一元二次方程解法的灵活选用课题25.2.3第2课时一元二次方程解法的灵活选用授课人教学目标1.掌握用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.能根据方程的特征，会灵活选择适当的方法解一元二次方程.2.通过对一元二次方程解法的复习,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识.3.培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力.教学重点熟练运用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.教学难点灵活选择适当的方法解一元二次方程.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入学生解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）分析：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．我们学过了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法4种常用的解方程方法，那么具体选用哪一种方法解方程呢？这节课我们一起学习灵活选用方法解一元二次方程.学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知灵活选用方法解一元二次方程思考:(1)直接开平方法的方程特征是什么？一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，能变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解.其中，①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)；②当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；③当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．②化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．③要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)④方程变形为(x+m)2=n的形式．⑤如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．常数项成为一次项系数一半的平方，化为完全平方形式.（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？①确定a，b，c.②把a，b，c所代表的数值代入△=b²-4ac，根据△的值确定根的情况.③把a，b，c所代表的数值代入求根公式x=，求出方程的值.（4）分解因式法的条件是什么?①将方程的右边化为0，左边进行因式分解；②令每个因式为0，得到两个一元一次方程；③解一元一次方程，得到方程的解．师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.思考：归纳总结直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.方法适合方程类型注意事项直接开平方法(x＋a)2＝bb＞0时，x1＝－a＋eq\r(b)，x2＝－a－eq\r(b)；b＝0时，x1＝x2＝－a；b＜0时，无解.配方法x2＋px＋q＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方求解.公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0)b2－4ac≥0时，方程有解；求根公式为x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积.方程的一边必须是0，另一边可用因式分解法求解.师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过探究，总结一元二次方程的解法的特点及注意事项.典例精析例用适当的方法解方程：（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)；（2）(5x＋1)2＝1；（3）x2－12x＝4；（4）3x2＝4x＋1．解：（1）变形得(3x－5)(x＋5)＝0．即3x－5＝0，或x＋5＝0．解得x1＝53，x2＝（2）开平方，得5x＋1＝±1．解得x1＝0，x2＝-25（3）配方，得x2－12x＋62＝4＋62，即(x－6)2＝40．开平方，得x-6=±210.解得x1＝6+210，x2＝6-210.（4）整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0．∵Δ＝b2－4ac＝28＞0，∴x=−−4±28∴x1＝2+73，x2＝【方法总结】一元二次方程的解法选择基本思路（1）一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法；（2）若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；（3）化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法．【针对训练】若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．【解】∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生灵活选用一元二次方程的解法能力，发展计算能力.随堂检测1．将下列序号填到对应的横线上．①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2)．适合运用直接开平方法：___________________；适合运用因式分解法：___________________；适合运用公式法：___________________；适合运用配方法：___________________．答案：②⑥③⑤⑨①⑦⑧④2．按题目要求的方法解下列方程：（1）(x−1)2−4＝0；（直接开平方法）（2）3x(2x＋3)−2(2x＋3)＝0；（因式分解法）（3）x2＋4x−3＝0．（配方法）解：（1）(x−1)2＝4，∴x−1＝±2，∴x1＝3，x2＝−1．（2）(3x−2)(2x＋3)＝0，∴x1＝23，x2＝−3（3）x2＋4x＝3，∴(x＋2)2＝7，x＋2＝±7，∴x1＝7-2，x2＝−7-2．3．用适当方法解下列方程：（1）(2x＋3)2－25＝0；（2）x2＋5x＋7＝3x＋11；解：（1）化简，得4x2＋12x＋9－25＝0，整理，得x2＋3x－4＝0，分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0，解得x1＝1，x2＝－4．（2）化简，得x2＋2x＝4，配方法，得x2＋2x＋1＝5，即(x＋1)2＝5，可得x＋1=±5，解得x1＝-1+5，x2＝－1-5．4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0．解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0．∵a＝5，b＝－1，c＝－4，b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0，∴方程有两个不相等