2026新教材人教版九年级上册数学第二十五章、二十六章教案（共22课时）

第第页2026新教材人教版九年级上册数学第二十五章、二十六章教案（共22课时）第二十五章一元二次方程教案25.1一元二次方程的概念课题25.1一元二次方程的概念授课人教学目标1.数学抽象从实际问题中抽象出一元二次方程理解一元二次方程、二次项、一次项、常数项等概念掌握一元二次方程的一般形式2.逻辑推理通过观察、比较、归纳三个方程的共同特征，概括一元二次方程的定义能根据定义判断一个方程是否为一元二次方程理解a≠0的必要性3.数学建模能根据实际问题的数量关系建立一元二次方程模型体会方程思想在解决实际问题中的价值4.数学运算能将一个一元二次方程化为一般形式能准确指出一般形式中各项的系数会用代入法检验一个数是否为一元二次方程的根教学重点掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题.教学难点把实际问题转化为一元二次方程模型.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于3x2＋2x－1＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面请大家随我一起探索新知，揭开它的神秘面纱吧！通过创设情境，引导学生复习一元一次方程等概念和举例为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫探究新知1.一元二次方程的定义问题1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：等量关系为__底面的长×宽＝底面积__．设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得方程__(100－2x)(50－2x)＝3600__．整理，得__4x2－300x＋1400＝0__．问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？师生活动：教师引导学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程．分析：设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共eq\f(1,2)x(x－1)场，于是得到方程eq\f(1,2)x(x－1)＝28，整理，得eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x－28＝0.师生活动：观察上面所列的两个方程，分析以上两个方程与一元一次方程有什么区别与联系．学生观察、思考、讨论、交流、汇报．教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元；③二次．归纳：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.注意：三个关键点：一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式思考：类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式，并说出各项的名称吗？一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.思考：为什么二次项系数a≠0？a=0时，此方程就没有二次项，就成了一元一次方程了.思考：除了一般形式，还有哪些是一元二次方程？特殊形式：；；注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号；二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.师生活动：指出下列各方程的二次项、一次项和常数项.①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③eq\f(x－3x2,2)＝0.探究点3一元二次方程的根思考：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.下列哪些数是方程x2－x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出一元二次方程与一元一次方程的联系。巩固一元二次方程的概念，让学生在实践中感悟，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。此环节让学生通过自主探究，类比一元一次方程一般形式，得出一元二次方程一般形式和项，系数的概念，从而达到真正理解并掌握的目的。此环节让学生在实际问题出发的基础上理解一元二次方程的根的概念，达到真正理解并掌握的目的。典例精析【例1】判断下列关于x的方程是不是一元二次方程．（1）3x2＋7＝0；（2）2x2−3y＋1＝0；（3）3x2−4x（4）ax2−bx＋c＝0．【解】（1）符合一元二次方程的概念，是一元二次方程．（2）含有两个未知数，不是一元，故不是一元二次方程．（3）不是整式方程，故不是一元二次方程．．（4）a的取值不确定，若a＝0，则不是一元二次方程．【方法总结】一个方程是一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)整式方程.(2)只含有一个未知数.(3)未知数的最高次数是2.【例2】若方程(m＋2)x|m|−3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2B．m＝2C．m＝−2D．m＝±2【解析】根据一元二次方程的概念，可得m=2解得m＝2.答案：B.【方法总结】确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤(1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2,二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组；(2)解：解方程或不等式组；(3)定：确定字母的值(或取值范围).【例3】(教材p3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.【解】去括号，得．移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．其中二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．【方法总结】化一元二次方程为一般形式的步骤第1步：去分母；第2步：去括号；第3步：移项；第4步：合并同类项.【例4】下列哪些数是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根？－1，0，1，3．【解】把-1代入到式子x2－4x＋3中，得(-1)2-4×(-1)+3=8≠0，所以-1不是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；把0代入到式子x2－4x＋3中，得02-4×0+3=3≠0，所以0不是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；把1代入到式子x2－4x＋3中，得12-4×1+3=0，所以1是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；把3代入到式子x2－4x＋3中，得32-4×3+3=0，所以3是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根.【方法总结】1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法(1)代：将已知数值代入一元二次方程.(2)看：看方程左右两边是否相等.若左右两边相等，则这个数值是一元二次方程的根；若不相等，则这个数值不是一元二次方程的根.2.已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值.【针对训练】已知a是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式a2-3a+6的值是．【解】由条件可得a2-3a-1=0，即a2-3a=1，

∴代数式a2-3a+6=1+6=7．

答案：7．【例5】有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A.x(x+1)=45B.x(x-1)=45C.x(x-1)=45D.x(x+1)=45【解】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

∴共比赛场数为x（x-1），

∴共比赛了45场，

∴x（x-1）=45，

答案：B．【方法总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤（1）审：阅读题干，弄清问题中已知量是什么,未知量是什么.（2）找：找出题中包含已知量和未知量的等量关系.（3）列：设未知数，根据等量关系，列出一元二次方程.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．一元二次方程3x2＝5x的二次项系数和一次项系数是（）A．3，5B．3，0C．3，－5D．5，0答案：C.2．下列哪些数是方程x2＋x－12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．答：－4，3是方程的根．3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）3x2＋1＝6x；（2）4x2＝81－5x；解：（1）一般形式：3x2－6x＋1＝0．二次项系数：3．一次项系数：－6．常数项：1．（2）一般形式：4x2＋5x－81＝0．二次项系数：4．一次项系数：5．常数项：－81．4．根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形？（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次聚会？解：（1）设长方形的长为xm，则宽为(0.5－x)m．根据题意，得x(0.5－x)＝0.06，整理，得50x2－25x＋3＝0．（2）设有x人参加了这次聚会，根据题意，得12整理，得x2－x－20＝0．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结，从方法上学到了什么方法?从知识内容上学到了什么内容?分清楚概念的区别和联系?1.将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法.2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项，归纳所学过的整式方程.3.一元二次方程的意义与一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)的区别和联系.强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳一元二次方程的定义、一般形式和解．巩固所学知识，加深对一元二次方程相关概念的理解.作业布置《课时训练》P1-P2训练题板书设计一元二次方程的概念1.一元二次方程概念2.一元二次方程的一般形式3.一元二次方程的解(根)教学反思25.2降次——解一元二次方程25.2.1配方法第1课时直接开平方法课题25．2.1第1课时直接开平方法授课人教学目标1.理解解一元二次方程“降次”——转化的数学思想.2.会用直接开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p或(mx+n)²=p的一元二次方程.3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实．教学重点熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程.教学难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？【分析】设这个正方形舞台的边长是x米．由题意列方程，得x2＝144.【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？【解】设这个正方形舞台的边长为x米．由题意，得x2＝144.根据平方根的意义，得x＝±eq\r(144)＝±12，∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12.∵边长不能为负数，∴x＝12.即这个正方形舞台的边长是12米．通过上面这道题，我相信很多同学已经知道怎样解一元二次方程了，这节课我们一起来系统探究下怎样解一元二次方程.引入实际问题，帮助学生回忆平方根的定义，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用直接开平方法解一元二次方程1.一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗？师生活动：教师适当引导学生寻找题中等量关系并求解：分析：10个正方体盒子的表面积＝1500dm2.若设其中一个正方体盒子的棱长为xdm，则这个正方体盒子的表面积为6x2dm2，可列方程10×6x2＝1500，化简，得x2＝25，开平方，得x＝±5，原方程有两个解，但棱长为正数，所以x＝5．故正方体盒子的棱长为5dm.结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.师生活动：教师指导，学生自主探究，然后讨论、交流，汇总思想，解答问题.请你用直接开平方法解下列方程：①x2＝12；②x2－eq\f(3,4)＝0；③2x2－8＝0；④9x2－5＝3.思考：一元二次方程2x2＋1＝0与1－2x2＝0的解相同吗？为什么？你能总结出ax2＋c＝0型一元二次方程的求解方法吗？归纳：一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，先将它变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解，其中，（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)；当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根．2.思考：(1)类比方程x2＝25的求解方法，你能解方程(x＋3)2＝5吗？试一试．由方程(x＋3)2＝5得，x＋3＝±.∴x1＝－3+，x2＝－3—.对于(x＋n)2＝p型的方程，你能说说它的基本解法吗？师生活动：教师指导，学生通过独立思考，小组合作交流。归纳：运用直接开平方法可以解形如x2＝p或(x＋n)2＝p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”.通过题目引发学生思考，检验学生列式与方程化简的能力.进一步加强学生用直接开方法解方程的能力，让学生直观感受方程的解的三种情况并进行总结.典例精析【例】运用开平方法解下列方程：(1)4x2-3=0；(2)(x＋2)2－9＝0.分析：(1)先把方程化为x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x＋2)2＝9，则x＋2是9的平方根，从而可以运用开平方法求解．【解】(1)移项，并将二次项系数化为1，得x2＝34由此可得x＝±32即x1＝32，x2＝－3(2)移项，得(x＋2)2＝9.由此可得x＋2＝±3.∴x＋2＝3或x＋2＝－3.即x1＝1，x2＝－5.【方法总结】用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数p的形式.只有当p为非负数时，方程才有解.当p>0时，要注意开平方的结果取“正、负”两种情况.【针对训练】解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．【解】由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对直接开平方法解一元二次方程的能力，发展学生计算能力.随堂检测1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（）A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－4答案：D.2．下列解方程的过程中，正确的是（）A．x2＝－2，解方程，得x＝±2B．(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4C．4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝14，x2＝7D．(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4答案：D.3．填空：（1）方程x2＝0.25的根是___________________．（2）方程2x2＝18的根是________________．（3）方程(2x－1)2＝9的根是_______________．答案：（1）x1＝0.5，x2＝－0.5；（2）x1＝3，x2＝－3；（3）x1＝2，x2＝－1.4．解下列方程：（1）x2－81＝0；（2）2x2＝50；（3）(x＋1)2＝4．答案：（1）x1＝9，x2＝－9．（2）x1＝5，x2＝－5．（3）x1＝1，x2＝－3．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了直接开平方法，体会“降次”思想，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，感受化归与转化的数学方法。2.知识内容层面：掌握直接开平方法的适用条件与步骤，理解形如x2=p，(x+m)2=p（p≥0）的方程解法，归纳可直接开平方的一元二次方程类型。3.概念联系与区别：明确直接开平方法是解一元二次方程的基础方法，适用于缺少一次项或可整理为“完全平方式等于常数”的方程；强调“p≥0”是开平方有实数解的前提，与后续配方法、公式法的逻辑关联。【知识网络】教学说明：教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.巩固所学知识，加深对一元二次方程相关概念的理解.作业布置《课时训练》p3—p4练习题板书设计直接开平方法1.直接开平方法的概念降次思想：二次方程→一次方程2.解题步骤形如x2=p，(x+m)2=p（p≥0）的方程解法.教学反思第2课时配方法课题25．2.1第2课时配方法授课人教学目标1.（2022新课标）理解配方法,能用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想.3．会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.4.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，会用数学的眼光观察世界．教学重点掌握配方法解一元二次方程.教学难点把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？学生带着问题去学习，引入完全平方公式，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用配方法解一元二次方程大家都知道，任何一个能变形为x2＝p或(x＋n)2＝p形式的一元二次方程，都可以用直接开平方法解.我们已经会解(x＋3)2＝5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？师生活动：学生先独立思考，再相互交流，最后阐述解法，引出配方法解一元二次方程.(1)探究解一元二次方程：x2＋6x＋4＝0.(2)什么叫配方法？用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤是什么？教师指导学生观察方程x2＋6x＋4＝0与(x＋3)2＝5的区别和联系，找两名学生说出自己的想法．方程(x＋3)2＝5可转换为x2＋6x＋4＝0，根据两个方程之间的联系讨论怎样把方程x2＋6x＋4＝0转化为方程(x＋3)2＝5，并解方程．师生活动：学生思考、讨论，发表意见，进行整理，师生合作写出解答过程：解：移项，得x2＋6x＝－4，(移项要变号)配方，得x2＋6x＋9＝－4＋9，(思考：为什么方程两边加9，添加：一次项系数一半的平方)整理，得(x＋3)2＝5，(方程左边写成完全平方形式)开方，得x＋3＝±eq\r(5)，(利用直接开平方法解方程)所以x1＝eq\r(5)－3，x2＝－eq\r(5)－3.归纳：用配方法解方程的一般步骤：（1）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．（2）要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)（3）方程变形为(x+m)2=n的形式．（4）如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．总结：通过配方成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.练习：①x2＋2x＋__1__＝(x＋__1__)2；②x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2；③x2＋__12x__＋36＝(x＋6)2；④x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2.观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式，常数项该如何变化？常数项是一次项系数一半的平方．思考：观察方程2x2＋1＝3x，与上面我们所解的方程有什么不同？怎样求解？你能总结出配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤吗？化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．师生活动：先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型．总结：配方法解一元二次方程的步骤：移项，二次项系数化为1，配方，开方，降次求解．练习：一元二次方程2x2－4x＋1＝0可配方成(x－1)2＝－eq\f(1,2)＋1后求解.通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过问题解决，呈现配方法的过程，总结配方法及其解题步骤.典例精析【例1】(教材p7例2)解下列方程：(1)x2-8x+1＝0；（2）2x2+1=3x；（3）3x2-6x+4＝0，【解】（1）移项得，配方，得，即(x-4)2＝15，由此可得x＝4±，∴x1＝4+，x2＝4-．（2）移项，得2x2﹣3x＝﹣1，二次项系数化为1，得x2，配方，得x2，即（x）2，由此可得x或x，∴x1＝1或x2．（3）移项，得3x2-6x＝-4，二次项系数化为1，得x2-2x＝-，配方，得x2-2x＋1＝-＋1，即（x-1）2＝-，因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)²都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.【方法总结】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化为（x+n）²=p的形式，那么就有（1）p＞0时，方程由两个不等的实数根；（2）p=0时，方程由两个相等的实数根；（3）p＜0时，方程无实数根.【针对训练】1.解方程：(1)x2－x－eq\f(7,4)＝0；(2)3x2＋6x－4＝0；【解】(1)移项，得x2－x＝eq\f(7,4).配方，得x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,4)＋eq\f(1,4)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝2.∴x－eq\f(1,2)＝±eq\r(2)，x1＝eq\f(1,2)＋eq\r(2)，x2＝eq\f(1,2)－eq\r(2).(2)移项，得3x2＋6x＝4.系数化为1，得x2＋2x＝eq\f(4,3).配方，得x2＋2x＋1＝eq\f(4,3)＋1，即(x＋1)2＝eq\f(7,3).∴x＋1＝±eq\f(\r(21),3)，x1＝－1＋eq\f(\r(21),3)，x2＝－1－eq\f(\r(21),3).【例2】用配方法求最值.(1)2x2－4x＋5的最小值；；(2)－3x2＋6x－7的最大值．【解】(1)原式＝2(x－1)2＋3．当x＝1时，有最小值3．（2）原式＝－3(x－1)2－4．当x＝1时，有最大值－4．【方法总结】ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数)型代数式求最值或证明恒为正（负）等问题时，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x＋m)2＋n的形式来解决．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对利用配方法解一元二次方程的能力，发展学生计算能力.随堂检测1．方程x2－4＝0的解是（）A．x＝2B．x＝－2C．x＝±2D．x＝±4答案：C.2．方程2x2－3m－x＋m2＋2＝0有一根为x＝0，则m的值为（）A．1B．1C．1或2D．1或－2答案：C.3．解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8．解：方程化简，得x2＋2x＋5＝8．移项，得x2＋2x＝3．配方，得x2＋2x＋1＝3＋1，即(x＋1)2＝4．开平方，得x＋1＝±2．解得x1＝1，x2＝－3．4．用配方法解x2－4x＝1．解：配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2，即(x－2)2＝5．开平方，得x－2＝±5．解得x1＝2＋5，x2＝2－5．5．解方程：3x2＋8x－3＝0．解：两边同除以3，移项得x2＋83配方，得x2＋83x＋432＝432＋1，即(x＋4开方，得x＋43＝±5即x＋43＝53或x＋43所以x1＝13，x2师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了配方法，体会“配方降次”的核心思想，通过构造完全平方式将一元二次方程转化为可直接开平方的形式，感受化归与转化的数学方法。2.知识内容层面：掌握配方法的完整步骤：移项→化二次项系数为1→配方→开方求解；理解完全平方式的结构(x+m)2=x2+2mx+m2，归纳配方法在解方程、代数式变形中的应用。3.概念联系与区别：明确配方法是直接开平方法的延伸，适用于所有一元二次方程；强调“配方时两边同时加一次项系数一半的平方”这一关键操作，以及与直接开平方法、公式法的逻辑关联：配方法是推导求根公式的基础，而直接开平方法是配方法的特殊形式。【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．巩固所学知识，加深对配方法及其解题步骤的理解.作业布置《课时训练》p5—p6练习题板书设计配方法1.定义2.利用配方法解一元二次方程的一般步骤（1）移项；（2）二次项系数化为1；（3）配方；（4）开方.教学反思25.2.2公式法第1课时一元二次方程根的判别式课题25.2.2第1课时一元二次方程根的判别式授课人教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．3．能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.4．通过运用公式法解一元二次方程，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，并会用数学的语言表达世界.教学重点一元二次方程求根公式的推导，利用根的判别式进行相关的判定和计算.教学难点一元二次方程求根公式法的推导.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入张老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速做出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知一元二次方程根的判别式如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac≥0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=归纳：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△=b2-4ac.通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过问题解决，利用配方法推导一元二次方程的根，总结判别式的概念.典例精析【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2＋x－4＝0；（2）4y2＋9＝12y；（3）5(t2＋1)－6t＝0．【解】（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4，∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）把原方程化为一般形式，得4y2－12y＋9＝0．这里a＝4，b＝－12，c＝9．∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）把原方程化为一般形式，得5t2－6t＋5＝0．这里a＝5，b＝－6，c＝5．∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0，∴原方程没有实数根．【方法总结】给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【例2】已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．【解】（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0，解不等式，得k＜94∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0，故k的取值范围是k＜94（2）取不等式k＜94则方程为2x2－3x＋1＝0．应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝12【方法总结】应用判别式求字母的取值范围的思路利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b²—4ac与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式(组),最后求解.【拓展提升】有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．【解】（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0，解得k＝36．此时方程为x2－12x＋36＝0，解得x1＝x2＝6．长为3，6，6的线段能构成等腰三角形．（2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根．把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27，∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9．∵3＋3＜9，∴长为3，3，9的线段不能构成三角形，∴k＝27不符合要求．综上，k的值为36．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对利用根的判别式判断一元二次方程的根的能力.随堂检测1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个实数根答案：A.2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0，∵关于x的一元二次方程有实数根，∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0，解得a≥1，∴a的取值范围为a≥1．答案：D.3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4m2＝1＋4m＞0，∴m＞－14又二次项系数不为0，∴m≠0，即m＞－14答案：m＞－14且m≠04．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________．解析：分两种情况讨论．（1）若方程为一元一次方程，则k＝0，方程化为－4x＋2＝0，解得x=12（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0，解得k≤2且k≠0，综上所述，k的取值范围为k≤2．答案：k≤2.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体会“代数运算预判结论”的思想，通过计算判别式的值，无需解方程即可直接判断根的类型，感受从“具体求解”到“抽象判断”的数学方法。2.知识内容层面：掌握一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac，明确：Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ=0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根理解判别式的推导来源（配方法），归纳判别式在判断根的情况、求参数取值范围中的应用。3.概念联系与区别：明确根的判别式是配方法的直接产物，与一元二次方程的一般形式紧密关联；强调“a≠0”是判别式存在的前提，若a=0，则方程退化为一元一次方程；区分“判别式判断根的存在性”与“求根公式求解根”的逻辑关系：判别式是求根公式的前提，求根公式是判别式与根的具体表达.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．巩固所学知识，加深对根的判别式的理解.作业布置《课时训练》p7—p8练习题板书设计一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ＜0⇔方程没有实数根.教学反思第2课时用公式法解一元二次方程课题25.2.2第2课时用公式法解一元二次方程授课人教学目标1.（2022新课标）能用公式法解数字系数的一元二次方程.2.熟练应用公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方程化为一般形式.教学重点利用根的判别式进行相关的判定和计算.教学难点利用公式法解一元二次方程．授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入上节课我们学习一元二次方程求根公式的推导过程及根的判别式来判断一元二次方程根的情况,提出问题:（1）根的判别式是什么？如何利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况？（2）求根公式是什么？求根公式的条件是什么？（3）利用判别式判断方程这节课我们一起用公式法来解一元二次方程.学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用公式法解一元二次方程回顾一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求解过程，你能分析出它的解的情况吗？师生活动：学生小组内交流、讨论，教师给予指导和帮助，达成共识．因为a≠0，所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，x1=，x2=．（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=.（3）当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．归纳：（1）当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，其实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．（2）解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接带入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫公式法．（3）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过问题解决，总结一元二次方程的求根公式.典例精析【例1】(教材p11例3)用公式法解下列方程：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【解】（1）由题意得：，，，∴，∴方程有两个不等的实数根∴．∴，；（2）由题意得：，，，∴，∴方程有两个相等的实数根，∴；（3）方程化为，∴，，，∴，∴方程有两个不等的实数根，，即，；（4）方程化为．∴，，，∴．∴方程无实数根．【方法总结】用公式法解一元二次方程的步骤（1）把方程化为一般形式，一般应使a＞0；（2）指出一般式中的a，b，c的值；（3）计算代数式b2－4ac的值，判断其是否非负；（4）当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式求解．【例2】用公式法解方程：x2＋3＝23x．【解】将方程化为一般形式，得x2－23x＋3＝0．这里a＝1，b＝－23，c＝3．∵b2－4ac＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x＝23即x1＝x2＝3．【例3】用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：(x＋1)(3x－1)＝1．【解】将方程化为一般形式，得3x2＋2x－2＝0．这里a＝3，b＝2，c＝－2．∵b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0，∴x＝−2±282即x1＝−1+73≈−1+2.6463≈0.55，x2＝−1−【方法总结】用公式法解一元二次方程，首先将方程化成一般形式，确定各项的系数(注意符号)，当b2－4ac≥0时，将各系数代入求根公式求解．注意只有在b2－4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对一元二次方程的求根公式解方程的能力.随堂检测1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______．解析：x2－6x＋8＝0，这里a＝1，b＝－6，c＝8．∵b2－4ac＝(－6)2－4×1×8＝4＞0，∴x＝−−6±42×1＝6∵6－3＜第三边的长＜6＋3，即3＜第三边的长＜9，∴第三边的长为4．∴这个三角形周长为3＋6＋4＝13．答案：13.2．用公式法解方程：(x－2)(1－3x)＝6．解：化为一般式，得3x2－7x＋8＝0，这里a＝3，b＝－7，c＝8．∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝49－96＝－47＜0，∴原方程没有实数根．3．用公式法解下列一元二次方程．（1）x2－3x－2＝0；（2）－x2－2x＝2x＋1．解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－2，∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0．∴x＝−−3±17∴x1＝3+172，x2＝（2）方程化为x2＋4x＋1＝0．∵a＝1，b＝4，c＝1，∴b2－4ac＝42－4×1×1＝12＞0，∴x＝−4±122×∴x1＝−2+3，x2＝−2-3．4．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值．解：把x＝0代入原方程，得m2－3m＋2＝0．这里a＝1，b＝－3，c＝2，∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，∴m＝−−3±12×1＝又原方程为关于x的一元二次方程，∴m－1≠0，即m≠1，∴m＝2．5．无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由．解：方程化简为x2－5x＋6－p2＝0，∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝4p2＋1≥1，∴Δ＞0，∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了公式法，体会“通法求解”的思想，通过代入求根公式直接计算一元二次方程的根，感受从特殊到一般、从配方法推导通用解法的数学方法.2.知识内容层面：掌握一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的求根公式，明确公式的推导来源（配方法），归纳公式法的解题步骤：化一般形式→确定系数→计算判别式→代入公式求解；理解判别式Δ=b2−4ac决定根的存在性与类型.3.概念联系与区别：明确公式法是配方法的直接产物与通用形式，适用于所有一元二次方程；强调“a≠0”是公式成立的前提，若a=0则方程退化为一元一次方程；区分公式法与配方法：配方法是推导公式的基础，公式法是通用解法.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．巩固所学知识，加深对求根公式的理解与应用.作业布置《课时训练》p9—p10练习题板书设计用公式法解一元二次方程1.求根公式2.用公式法解一元二次方程的步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；四代（求根公式计算）教学反思25.2.3因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程课题25.2.3第1课时用因式分解法解一元二次方程授课人教学目标1.了解因式分解法的概念.用因式分解法解一元二次方程．2.掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法.3.（2022新课标）能用因式分解法解数字系数的一元二次方程.4.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．教学重点因式分解法解一元二次方程.教学难点将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80m，测量人员说：“正方形土地面积是矩形土地面积的一半．”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？设正方形土地的边长为xm．根据题意，得2x2＝80x.在解此方程时，我们可以通过直接开平方法或配方法或公式法来解决．那么，一元二次方程除了上述解法外，还有其他解法吗？学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知用因式分解法解一元二次方程根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度为(10x－4.9x2)m.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，则得方程10x－4.9x2＝0．请大家分别用配方法和公式法求解该方程．教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程，并提出疑问：除了配方法和公式法外，是否能找到更简便的方法？问题1：当a，b分别取什么值时，等式ab＝0成立？学生交流，讨论，得出结论．教师板书：理论依据：若ab＝0，则a＝0或b＝0.问题2：依据问题1，你能解情境问题中的一元二次方程10x－4.9x2＝0吗？对比配方法和公式法，这种解法有什么优点？方程左边分解因式，得x(10－4.9x)＝0，则x＝0或10－4.9x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(100,49).应用探究：(1)若(x＋1)(x－2)＝0，则x1＝__－1__，x2＝__2__；(2)若(2x－1)(3x＋5)＝0，则x1＝__eq\f(1,2)__，x2＝__－eq\f(5,3)__；(3)解方程x2－x＝0时，方程可以变形为__x(x－1)__＝0，则x1＝__0__，x2＝__1__；(4)解方程4x(x＋3)＋3(x＋3)＝0时，方程可以变形为__(4x＋3)(x＋3)__＝0，则x1＝__－eq\f(3,4)__，x2＝__－3__．学生自主解答问题，教师进行个别指导，然后学生进行做法讲述，教师进行点评与总结．利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边进行因式分解；③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；④解一元一次方程，得到方程的解．归纳：不用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过问题解决，总结因式分解法及其解一元二次方程的步骤.典例精析【例1】(教材p13例4)解下列方程：（1）x（x-2）+x-2=0

；(2)5x2－2x－＝x2－2x＋.【解】（1）因式分解，得x（x-2）+（x-2）=0

；（x-2）（x+1）=0，于是得x－2＝0，或x＋1＝0，解得：x1=2；x2=-1.⑵移项，合并同类项，得4x2−1＝0,因式分解，得（2x＋1）（2x−1）＝0,（2x＋1）=0；（2x−1）＝0,x1＝；x2＝－.【方法总结】因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【针对训练】用因式分解法解下列方程：(1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2.解：(1)因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0.∴2x＋11＝0或2x－11＝0，x1＝－eq\f(11,2)，x2＝eq\f(11,2).(2)移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0.因式分解，得(2x＋1)(3x－2)＝0.∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝eq\f(2,3)，x2＝－eq\f(1,2).（3）移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0.即(1－x)(3x－9)＝0.∴1－x＝0或3x－9＝0，∴x1＝1，x2＝3.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生对因式分解法解方程的能力.随堂检测1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（）A．(x－1)(x－2)＝3B．2(x－1)2＝x2－1C．x2＋2x－1＝0D．x2＋4x＝2解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合．答案：B.2．方程2x2＝3x的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝－32D．x1＝0，x2＝解析：移项，得2x2－3x＝0，左边因式分解，得x(2x－3)＝0，∴x＝0或2x－3＝0，∴x1＝0，x2＝32答案：D.3．解下列方程：（1）3x2-6x=-3；（2）4x2-121=0.解：（1）化为一般式x2－2x＋1＝0．因式分解，得(x－1)(x－1)＝0．∴x－1＝0，∴x1＝x2＝1．（2）因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0．∴2x＋11＝0，或2x－11＝0，∴x1＝－eq\f(11,2)，x2＝eq\f(11,2).4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．（1）尝试．分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋)(x＋)；（2）应用．请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0．解：（1）24（2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)＝0，∴x－4＝0，或x＋1＝0，∴x1＝4，x2＝－1．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到什么方法？从知识内容上学到什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了因式分解法，体会“降次转化”思想，利用因式分解把一元二次方程化为两个一元一次方程，实现“二次→一次”的化归.2.知识内容层面：掌握因式分解法的核心依据：若ab=0，则a=0或b=0；熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；归纳解题步骤：移项→右边化为0→左边因式分解→令每个因式为0→解一元一次方程.3.概念联系与区别：因式分解法是特殊、简便方法，只适用于能轻松分解的方程；与配方法、公式法对比：配方法和公式法是通用方法，因式分解法是快捷方法；强调必须先把方程化为“一边为0，另一边乘积”的形式，不能直接开方或约分.【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．巩固所学知识，加深对求根公式的理解与应用.作业布置《课时训练》p11—p12练习题板书设计用因式分解法解一元二次方程1.概念2.原理3.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）移项；（2）分界；（3）转化；（4）求解.教学反思第2课时一元二次方程解法的灵活选用课题25.2.3第2课时一元二次方程解法的灵活选用授课人教学目标1.掌握用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.能根据方程的特征，会灵活选择适当的方法解一元二次方程.2.通过对一元二次方程解法的复习,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识.3.培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力.教学重点熟练运用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.教学难点灵活选择适当的方法解一元二次方程.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入学生解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）分析：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．我们学过了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法4种常用的解方程方法，那么具体选用哪一种方法解方程呢？这节课我们一起学习灵活选用方法解一元二次方程.学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知灵活选用方法解一元二次方程思考:(1)直接开平方法的方程特征是什么？一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，能变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解.其中，①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)；②当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；③当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根．（2）配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．②化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．③要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)④方程变形为(x+m)2=n的形式．⑤如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．常数项成为一次项系数一半的平方，化为完全平方形式.（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？①确定a，b，c.②把a，b，c所代表的数值代入△=b²-4ac，根据△的值确定根的情况.③把a，b，c所代表的数值代入求根公式x=，求出方程的值.（4）分解因式法的条件是什么?①将方程的右边化为0，左边进行因式分解；②令每个因式为0，得到两个一元一次方程；③解一元一次方程，得到方程的解．师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.思考：归纳总结直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.方法适合方程类型注意事项直接开平方法(x＋a)2＝bb＞0时，x1＝－a＋eq\r(b)，x2＝－a－eq\r(b)；b＝0时，x1＝x2＝－a；b＜0时，无解.配方法x2＋px＋q＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方求解.公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0)b2－4ac≥0时，方程有解；求根公式为x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a).因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积.方程的一边必须是0，另一边可用因式分解法求解.师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过探究，总结一元二次方程的解法的特点及注意事项.典例精析例用适当的方法解方程：（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)；（2）(5x＋1)2＝1；（3）x2－12x＝4；（4）3x2＝4x＋1．解：（1）变形得(3x－5)(x＋5)＝0．即3x－5＝0，或x＋5＝0．解得x1＝53，x2＝（2）开平方，得5x＋1＝±1．解得x1＝0，x2＝-25（3）配方，得x2－12x＋62＝4＋62，即(x－6)2＝40．开平方，得x-6=±210.解得x1＝6+210，x2＝6-210.（4）整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0．∵Δ＝b2－4ac＝28＞0，∴x=−−4±28∴x1＝2+73，x2＝【方法总结】一元二次方程的解法选择基本思路（1）一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法；（2）若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；（3）化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法．【针对训练】若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．【解】∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强学生灵活选用一元二次方程的解法能力，发展计算能力.随堂检测1．将下列序号填到对应的横线上．①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2)．适合运用直接开平方法：___________________；适合运用因式分解法：___________________；适合运用公式法：___________________；适合运用配方法：___________________．答案：②⑥③⑤⑨①⑦⑧④2．按题目要求的方法解下列方程：（1）(x−1)2−4＝0；（直接开平方法）（2）3x(2x＋3)−2(2x＋3)＝0；（因式分解法）（3）x2＋4x−3＝0．（配方法）解：（1）(x−1)2＝4，∴x−1＝±2，∴x1＝3，x2＝−1．（2）(3x−2)(2x＋3)＝0，∴x1＝23，x2＝−3（3）x2＋4x＝3，∴(x＋2)2＝7，x＋2＝±7，∴x1＝7-2，x2＝−7-2．3．用适当方法解下列方程：（1）(2x＋3)2－25＝0；（2）x2＋5x＋7＝3x＋11；解：（1）化简，得4x2＋12x＋9－25＝0，整理，得x2＋3x－4＝0，分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0，解得x1＝1，x2＝－4．（2）化简，得x2＋2x＝4，配方法，得x2＋2x＋1＝5，即(x＋1)2＝5，可得x＋1=±5，解得x1＝-1+5，x2＝－1-5．4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0．解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0．∵a＝5，b＝－1，c＝－4，b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴x＝1±812∴x1＝-45，x2＝1因式分解法：方程左边提公因式，得(5x＋4)(x－1)＝0，则x1＝-45，x2＝1师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么策略？从知识内容上学到了什么内容？分清楚各种方法的适用场景与优劣？1.方法层面：学习了一元二次方程解法的灵活选用，体会“择优而治”的核心策略。不机械套用某一种方法，而是根据方程特征，高效选择最简便的解法，感受数学解题中的优化思维与分类讨论思想。2.知识内容层面：系统梳理四种解法的逻辑关联与操作要点：直接开平方法：适用于形如x2=p或(x+m)2=p的特殊结构。因式分解法：适用于左边能轻松分解为因式乘积、右边为0的方程，追求运算速度。配方法：适用于推导公式、求代数式最值，或作为其他方法的理论基础。公式法：适用于所有一元二次方程，是通解通法，追求普适性。3.概念联系与区别：明确四种方法并非孤立，而是层层递进的有机整体：优先序：能因式分解→能直接开方→公式法。核心区别：因式分解法和直接开平方法是特殊速解，配方法和公式法是通用通解。决策逻辑：解题前先观察系数与结构，判断是否能因式分解、能否直接开方，再决定是否使用公式法兜底。【知识网络】教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤．巩固所学知识，加深对一元二次方程的解法的灵活运用.作业布置《课时训练》p13—p14练习题板书设计一元二次方程解法的灵活选用1.解法直接开平方法配方法公式法因式分解法2.根的判别式教学反思25.2.4一元二次方程的根与系数的关系课题25.2.4一元二次方程的根与系数的关系授课人教学目标1.（2022新课标）熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.4.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程.教学重点一元二次方程根与系数的关系及其推导过程.教学难点一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.探究新知一元二次方程根与系数的关系1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？方程x1x2x1＋x2x1·x22x2－5x－12＝04－eq\f(3,2)eq\f(5,2)－6x2＋2x＋1＝0－1－1－21x2＋2x－1＝0－1＋eq\r(2)－1－eq\r(2)－2－1（1）2x2－5x－12＝0；（2）x2＋2x＋1＝0；（3）x2＋2x－1＝0.思考：观察一元二次方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？当二次项系数是1时，两根之和为负的一次项系数，两根之积为常数项；当二次项系数不为1时，两根之和为负的一次项系数除以二次项系数，两根之积为常数项除以二次项系数.运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程2x2－3x－2＝0的两根分别是x1和x2，则x1＋x2＝eq\f(3,2)，x1·x2＝－1.思考：如何证明以上发现的规律呢？2.论证结论：教师与学生共同整理证明过程：证明：当Δ>0时，由求根公式得x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，所以x1＋x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq\f(2b,2a)＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(（－b）2－（b2－4ac）,4a2)＝eq\f(c,a)；当Δ＝0时，x1＝x2＝－eq\f(b,2a)，所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).归纳：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.通过问题引发学生思考，引导学生探究.通过探究，总结一元二次方程的根与系数的关系.典例精析【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：（1）

；（2）

；（3）【解】（1）∵，∴，，，∴，；（2）∵，∴，，，∴，；（3）∵，即∴，，，∴，．【方法总结】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入．【针对训练】已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则1a＋1A．32 B．−32 C．23 【解析】∵a2－6a＋4＝0和b2－6b＋4＝0两个等式的形式相同，且a≠b，∴a，b可以看成是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴a＋b＝6，ab＝4，∴1a＋1b＝bab＋aab＝答案：A.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．通过例题，加强一元二次方程的根与系数的关系的应用，发展计算能力.随堂检测1．关于x的方程x2＋px＋q＝0的根为x1＝1＋n，x2＝1－n，则p＝______，q＝______．答案：-2-1.2．已知方程5x2＋kx－6＝0的一根是2，则另一根是______，k＝______．答案：-353．求下列方程的两根x1，x2的和与积．（1）x2－3x＋2＝0；（2）x2＋x＝5x＋6解：（1）x1＋x2＝3，x1x2＝2．（2）化简得x2－4x－6＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝－6．4．x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，不解方程求下列各式的值．（1）1x1+1x2；（2）解：∵x1，x2是方程x2－5x－7＝0的两根，则x1＋x2＝5，x1x2＝－7．（1）1x1+1x2=x1（2）x12+x=x=52-2×（-7）=39.5．已知关于x的方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根之和等于两根之积，求m的值．解：设方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两根为x1，x2．∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2．根据题意得m2＝2m＋3，解得m1＝3，m2＝－1．当m＝3时，原方程为x2－9x＋9＝0，b2－4ac＝45＞0，方程有实数根．当m＝－1时，原方程为x2－x＋1＝0，b2－4ac＝－3＜0，方程无实数根，此m值舍去．∴m的值为3．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面：学习了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），体会“先求根再归纳规律”的推导方法，以及“整体代入”的解题思想，无需单独求出方程两个根的具体数值，就能直接利用系数关系快速计算根的和、积以及相关代数式的值，感受数学规律的简洁性与实用性，突破传统先解方程再计算的常规思路.2.知识内容层面：掌握一元二次方程根与系数的核心关系，明确适用