2026新教材人教版九年级上册数学26.1 二次函数的概念 教案

第第页2026新教材人教版九年级上册数学26.1二次函数的概念教案课题26.1二次函数的概念授课人教学目标1.理解二次函数的概念：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）.2.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.3.掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.4.通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学好数学的信心.教学重点对二次函数概念的理解.教学难点由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入形如ax＋b＝0（a≠0）的方程叫做一元一次方程，令y＝ax＋b，则y＝ax＋b（a≠0）为一次函数.经过上一章的学习，我们知道形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程叫做一元二次方程.如果我们令y＝ax2＋bx＋c，你会给y＝ax2＋bx＋c（a≠0）命名吗？通过创设情境，引导学生复习一元一次方程、一次函数、一元二次方程等概念，为后面学习二次函数的有关内容做好铺垫探究新知1.二次函数1.问题：如图，正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数解析式是什么？它是一次函数吗？有什么特点？y=6x2不是一次函数变量是2次方学生思考后回答，教师点拨：这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型.2.我们再来看下面的问题（1）n个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，场数m与球队数n之间有什么关系？每个队要与几个队各比赛一场？对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数。m＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n（2）某产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将由计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y＝20x2＋40x＋20教师提问：（1）以上问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？列出问题中的函数解析式；（3）观察上面的函数解析式，分析解析式有什么特点.让学生独立思考完成解答，教师适当地引导与点拨，共同得到问题的结论．教师归纳总结：在上面的问题中，y＝6x2，m＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n，y＝20x2＋40x＋20都是用自变量的二次式表示的．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．3.教师指导学生观察二次函数的定义，交流、讨论二次函数的特征，并进行总结：①等式左边是函数y，右边是关于自变量的整式；②a，b，c都是常数，a≠0；③等式右边自变量的最高次数为2，一次项和常数项可以为0，但是必须保留二次项；④自变量x的取值范围是全体实数．归纳：二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c是常数项.通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的概念，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决实际问题的能力。此环节让学生在实际问题出发的基础上理解二次函数的概念，达到真正理解并掌握的目的。典例精析【例1】下列函数中，哪些是二次函数？（1）y＝12（2）y＝3x2（3）y＝(x−1)2−x2（4）y＝2x（5）y＝ax2＋4x＋1答案：（2）是，（1）（3）（4）（5）不是.【方法总结】二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式是整式．（2）化简后自变量的最高次数是2．（3）二次项系数不为0．【例2】若y＝(m－2)xm²－2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式．【解】由题意得m−2∴m∴m＝－2，y＝－4x2＋4．【方法总结】要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.【例3】(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.(2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式.【解】(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr²+2πr·r,即S=4πr².(2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y=8(1－x)²,即y=8x²－16x+8.【方法总结】列二次函数解析式的一般步骤（1）审：找出已知量和未知量，分析它们之间的关系；（2）找：找到两个未知量之间的关系，用等式表示；（3）列：根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。随堂检测1．已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝_____．

解析：当x＝2时，y＝22＋3×2－5＝4＋6－5＝10－5＝5．2．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝．

解析：∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份研发资金为a×(1＋x)，∴三月份的研发资金y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2．3．正方形的边长为5cm，若正方形的边长增加xcm时，其面积增加ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加多少？解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．（2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24；当x＝3时，y＝32＋10×3＝39．所以当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加24cm2，39cm2．4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个．根据题意，得10(x－50)＜500，即x＜100．所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1400x－40000（50＜x＜100）．（2）当y＝8000时，即－10x2＋1400x－40000＝8000，解方程，得x＝60或80．结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了二次函数的概念，通过对比一次函数、正比例函数的定义，抓住函数解析式的结构特征判断函数类型，感受类比归纳、分类辨析的数学学习方法，理清各类函数的本质区别.2.知识内容层面掌握二次函数的标准定义、一般形式、成立条件和相关概念，明确判定规则与常见形式.3.概念联系与区别联系：二次函数与一次函数、正比例函数同属整式函数，自变量取值范围通常为全体实数，都是刻画变量之间对应关系的函数模型；区别：一次函数最高次数为1，解析式形