2026新教材人教版九年级上册数学25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 教案

第第页2026新教材人教版九年级上册数学25.3第2课时传播问题与平均变化率问题教案课题25.3实际问题与一元二次方程（课时2传播问题与平均变化率问题）课型新授课课时1课时（45分钟）教材版本人教版授课对象九年级学生授课时间年月日教学方法情境教学法、探究法、讲练结合法教学用具多媒体课件一、核心素养目标1.数学抽象从传染病传播、植物分支、成本变化等实际问题中抽象出一元二次方程模型理解传播问题的递推规律和平均变化率问题的指数增长模型2.逻辑推理通过特值分析法（从具体数字到字母变量）逐步推导传染模型的代数表达式能辨析传播问题与树干问题的区别：第二轮是否继续传播3.数学建模掌握传播问题公式(1+x)²和平均变化率公式a(1±x)²=b的建模过程能根据实际问题的数量关系建立不同类型的一元二次方程4.数学运算熟练运用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程能根据实际意义合理检验并舍去不符合题意的根二、教学重点与难点教学重点：1.掌握传播问题的数量关系：1+x+x(1+x)=(1+x)²2.掌握平均变化率问题的基本公式：a(1±x)²=b3.能区分传播问题与树干问题的模型差异（第二轮初始源是否继续参与）教学难点：1.理解传播问题中第二轮传染时传染源继续参与传染的递推逻辑2.区分「传播问题」与「树干问题」的第二轮传播模型差异3.理解平均下降额与平均下降率的区别（绝对量vs相对量）4.综合问题（增长率+利润）的多步骤建模能力三、教学过程环节一：情境导入（3-5分钟）【教师活动】观看视频，了解传染病的特征和防护措施，引出问题：传染病的传播速度有多快？怎样用数学模型来刻画传播过程？【互动提问】传染病为什么传播得这么快？你能用数学描述传染过程吗？【学生活动】观看视频，感受传染病传播的速度，思考背后的数学规律。【过渡语】今天我们就用一元二次方程来研究两类重要的实际问题——传播问题和平均变化率问题。先来看第一个探究。【设计意图】从传染病视频引入，激发学生兴趣的同时渗透科学防疫意识。特值分析法（从具体到抽象）降低认知门槛，符合新授课学生的认知规律。环节二：新知探究一——传播问题（15-18分钟）探究一：传播问题【问题呈现】某种传染病的传播速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？【特值分析】用特值分析法：假设每轮每人传染2人。第1轮后患病人数：(1+2)人；第2轮后患病人数：1+2+(1+2)×2人。注意：病源A在第二轮继续传染，不可忽视。【规律发现】设每轮传染中平均一个人传染x个人。第1轮传染后：1+x人；第2轮传染后：1+x+x(1+x)=(1+x)²人。由此发现规律：经过n轮传染后，患病人数为(1+x)ⁿ人。第1轮后：1+x=(1+x)¹第2轮后：1+x+x(1+x)=(1+x)²📕📕理解要点：传播问题的核心是：(1)每一轮所有已感染的人都继续传播；(2)第n轮后总人数=(1+x)ⁿ。这是一个指数增长模型。【列方程求解】由题意得(1+x)²=121。直接开平方得1+x=±11，解得x₁=10，x₂=-12（不合题意，舍去）。答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。(1+x)²=121直接开平方：1+x=±11x₁=10，x₂=-12（舍去）⚠️⚠️易错提示：用直接开平方法解(1+x)²=121时，注意开平方得到两个值，其中负数不符合实际意义应舍去。【延伸思考】思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人？第3轮：在第2轮总人数(1+x)²基础上，新增x(1+x)²人，故第三轮后总人数=(1+x)²+x(1+x)²=(1+x)³。当x=10时，(1+10)³=1331人。第3轮后：(1+x)²+x(1+x)²=(1+x)³当x=10时：(1+10)³=1331（人）【教师总结】1331人！从1人开始，仅三轮就能传染到1331人，这体现了阻止病毒传播的必要性和紧迫性。数学模型帮助我们看到传染病的指数增长威力。⭐⭐重点强调：传染病传播是指数增长！1人→3轮→1331人，这就是为什么我们必须及时阻断病毒传播。数学让我们看到了科学防疫的依据。传染传播示意图（特值分析法）探究一拓展：树干分支问题【问题呈现】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是183，每个支干长出多少个小分支？【特值分析】用特值分析：假设每个支干长出2枝→总量=1+2+2²=7；假设每个支干长出3枝→总量=1+3+3²=13；假设每个支干长出n枝→总量=1+n+n²。【列方程求解】设每个支干长出x个小分支。由题意得1+x+x²=183，即x²+x-182=0。因式分解：(x-13)(x+14)=0，解得x₁=13，x₂=-14（舍去）。答：每个支干长出13个小分支。(1+x)²=121直接开平方：1+x=±11x₁=10，x₂=-12（舍去）⚠️⚠️易错提示：用直接开平方法解(1+x)²=121时，注意开平方得到两个值，其中负数不符合实际意义应舍去。【对比辨析】对比归纳：(1)传播问题：1+x+x(1+x)=(1+x)²——传染源在第二轮继续传播；(2)树干问题：1+x+x²——主干在第二轮不再分支，只有支干分支。两个模型的关键区别：第二轮时初始源是否继续参与。模型两轮后公式第二轮初始源典型问题传染模型(1+x)²继续传播流感、病毒传染树干模型1+x+x²不再分支植物分支、微博转发💡💡判断技巧：判断用哪个模型的方法：看「源」在第二轮还「动」不「动」。源继续传播→(1+x)²；源停止→1+x+x²。植物主干支干分支示意图探究二：平均变化率问题【问题呈现】两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元。随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元。哪种食品成本的年平均下降率较大？【思考讨论】思考：年平均下降额等同于年平均下降率（百分数）吗？甲的年平均下降额=(10000-6000)÷2=2000元；乙的年平均下降额=(12000-7200)÷2=2400元。但下降率是百分比，需解方程。【学生活动】小组讨论，代表发言。【列方程求解】设甲种食品成本的年平均下降率为x。由题意：10000(1-x)²=6000，(1-x)²=0.6，1-x=±√0.6，解得x₁≈0.225=22.5%，x₂≈1.775（大于1，舍去）。同理，乙：12000(1-y)²=7200，(1-y)²=0.6，解得y₁=22.5%，y₂舍去。结论：甲乙下降率相同，均为22.5%。(1+x)²=121直接开平方：1+x=±11x₁=10，x₂=-12（舍去）⚠️⚠️易错提示：用直接开平方法解(1+x)²=121时，注意开平方得到两个值，其中负数不符合实际意义应舍去。【对比辨析】甲的年平均下降额为2000元，乙为2400元→乙的下降额更大。但下降率都是22.5%→相同。结论：成本下降额大的食品，其成本下降率不一定也大。下降额表示绝对变化量，下降率表示相对变化量，两者要兼顾才能全面比较。模型两轮后公式第二轮初始源典型问题传染模型(1+x)²继续传播流感、病毒传染树干模型1+x+x²不再分支植物分支、微博转发💡💡判断技巧：判断用哪个模型的方法：看「源」在第二轮还「动」不「动」。源继续传播→(1+x)²；源停止→1+x+x²。【归纳公式】一般公式：若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则a(1±x)ⁿ=b。其中增长取「+」，降低取「−」。当n=2时，a(1±x)²=b。a(1±x)ⁿ=b其中：a为初始量，x为增长（降低）率，n为期数，b为最终量。增长取「+」，降低取「−」。⭐⭐重点强调：当n=2时，公式简化为a(1±x)²=b。这是中考最常见的考查形式。环节三：例题精讲——公式变式应用（8-10分钟）例题：身高增长率比较【题目】小明2024年秋季升入七年级时身高140cm，小林2024年秋季身高145cm；2026年秋季升入九年级时小明身高169.4cm，小林身高170cm，谁身高的年平均增长率更大？【思路分析】本题将「下降率」模型变为「增长率」模型，公式中用「+」。需注意：(1)两年为两期，n=2；(2)分别设两人增长率为x和y，独立求解后比较。设小明身高的年平均增长率为x：140(1+x)²=169.4解得(1+x)²=1.21，1+x=±1.1，x₁=0.1=10%，x₂=-2.1（舍去）设小林身高的年平均增长率为y：145(1+y)²=170解得(1+y)²≈1.1724，1+y≈±1.083，y₁≈0.083=8.3%，y₂舍去∵10%>8.3%，∴小明同学身高的年平均增长率更大。💡💡判断技巧：注意：身高问题看似是说「小明比小林高」，但最终比较的是「增长率」，不是绝对身高。这正好呼应下降额≠下降率的辨析。环节四：课堂练习（10-15分钟）基础巩固1.为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程可列为（D）A.(n+1)²=1641B.(n-1)²=1641C.n(n+1)=1641D.1+n+n²=1641【答案】D【解析】这是树干型问题——第一人发出后不再参与第二轮发出，与树干分支模型相同。总人数=1+n+n²=1641。2.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元。设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（B）A.80(1-x²)=60B.80(1-x)²=60C.80(1-x)=60D.80(1-2x)=60【答案】B【解析】平均下降率公式：a(1-x)²=b，其中a=80，b=60。3.某生物实验室需培育一群有益菌。现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若干个固定数目的有益菌。（1）每轮分裂中一个有益菌可分裂成多少个有益菌？（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培育后共有多少个有益菌？【答案】（1）20个；（2）480000个【解析】（1）设每轮分裂成x个。由60x²=24000，x²=400，x=20（x=-20舍去）。（2）24000×20=480000。4.某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售300条，6月份销售432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同。（1）求该跳绳销售量的月增长率；（2）若此种跳绳的进价为30元/条，当售价为40元/条时月销售量为600条，若售价每上涨1元月销售量减少10条，为使月销售利润达到10000元且尽可能让顾客得到实惠，售价应定为多少元/条？【答案】（1）20%；（2）50元/条【解析】（1）设月增长率为x：300(1+x)²=432，(1+x)²=1.44，1+x=±1.2，x=0.2=20%。（2）设售价a元，利润=(a-30)(1000-10a)=10000，a²-130a+4000=0，(a-50)(a-80)=0，a=50或80。考虑让顾客得实惠，取a=50。环节五：课堂小结（2-3分钟）【教师引导】本节课我们学习了两类重要的实际问题，请同学们回顾：传播问题有哪些模型？平均变化率公式是什么？两个模型的核心区别在哪里？【课堂互动】学生回答，教师补充板书。◆传播问题：传染模型（源继续传播）：1+x+x(1+x)=(1+x)²树干模型（源不再分支）：1+x+x²两者关键区别：第二轮时初始源是否继续参与◆平均变化率问题：公式a(1±x)ⁿ=b（增长取+，降低取−）当n=2时a(1±x)²=b下降额（绝对量）≠下降率（相对量）检验：舍去负根和大于1的增长/下降率四、板书设计25.3课时2传播问题与平均变化率问题一、传播问题（两种模型）1.传染模型：1+x+x(1+x)=(1+x)²特点：传染源在每轮都继续传播2.树干模型：1+x+x²特点：主干第二轮不再分支二、平均变化率问题公式a(1±x)ⁿ=b（n=2时，a(1±x)²=b）★下降额（绝对量）≠下降率（相对量）★检验：舍去负根、大于1的率五、教学反思1.传染病视频导入是否有效激发了学生的学习兴趣和探究欲望？2.特值分析法（从具体数字2→字母x）的过渡是否自然？学生能否自主推导出(1+x)²的规律？3.传播问题与树干问题的对比辨析是否清晰？学生能否准确判断「第二轮初始源是否继续参与」？4.平均变化率中「下降额vs下降率」的区分，学生是否真正理解了绝对量与相对量的本质差异？5.身高增长率的例题作为公式变式应用，学生能否独立从「降低」模型迁移到「增长」模型？6.四道课堂练习的梯度设计（辨模型→选公式→解方程→综合应用）是否有效分层检测？六、补充说明本节课是25.3的第二课时，在第一课时（几