2026新教材人教版九年级上册数学26.4 第1课时 最大高度和几何图形面积问题 教案

第第页2026新教材人教版九年级上册数学26.4第1课时最大高度和几何图形面积问题教案26.4实际问题与二次函数第1课时最大高度和几何图形面积问题课题26.4第1课时最大高度和几何图形面积问题授课人教学目标1.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.（2022新课标）会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.3..通过抛物线或图形的面积关系列出函数解析式；.用二次函数的知识分析解决有关高度和面积的实际问题；体会二次函数是刻画现实世界的有效模型.4..从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”的思想．通过转化建模，会用数学的思维思考现实世界.教学重点用二次函数的知识分析解决有关高度和面积的实际问题.教学难点通过抛物线或图形的面积关系列出函数解析式.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10.2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.提示：求解二次函数的最值一般有两种方法：一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解.（1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6.（2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6.师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知实际问题与二次函数用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面积S随一边长l的变化而变化，当l是多少米时，矩形场地的面积S最大？师生活动：教师引导学生分析与矩形面积相关的量；教师设问，如何用含l的代数式表示与其相邻的边的长度；学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性；针对问题要求进行求解，并回答问题.教师关注：①学生能否根据矩形的面积公式列函数解析式；②学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值.师生活动：师生探讨解题思路、总结解题过程.（1）确定解题的步骤：先表示矩形的长和宽，再利用面积公式列解析式，最后求最值.（2）解答过程：矩形场地的一边长为lm，则另一边长为（30－l）m，所以矩形场地的面积S＝l（30－l）＝－l2＋30l（0<l<30）.当l＝－eq\f(b,2a)＝15时，S有最大值eq\f(4ac－b2,4a)＝225.也就是说，当l是15m时，矩形场地的面积S最大.总结：教师指导学生总结解答问题的方法和步骤，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：（1）表示与面积相关的量；（2）利用面积公式列函数解析式，并进行整理；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用公式求出最值.通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.典例精析【例1】在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）【解】对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11,当t=-b2a=−2.82×−4.94ac−b24a因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.函数h=-4.9t²+2.8t+11的图象,直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化.【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？【解】设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(20-2x)m,矩形菜园的面积S=x(20-2x),即S=-2x²+20x(0<x<10).当x=-b2a=−2024ac−b24a因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m².师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.随堂检测1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（）A．25cm2B．50cm2C．100cm2D．不确定答案：B.2．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20B．40C．100D．120答案：D.3.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h=-5t2+20t,则小球运动中的最大高度是

m.解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，

∵-5＜0，

∴当t=2时，h有最大值，最大值为20，

故答案为：20．4．如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y，则BD＝(10－x)．所以y=12x(10-x)=-12(x-5)2所以，当x=5时，y有最大值252即当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1.方法层面学习了利用二次函数解决最大高度、几何图形面积的实际问题，紧扣建模思想、数形结合、最值求解的核心思路，将生活中的抛射物体、几何图形等实际场景，转化为二次函数模型，通过求函数顶点最值解决实际最优问题，体会从实际到数学、再从数学到实际的转化方法，掌握实际应用题的建模、求解、验根全流程。2.知识内容层面掌握两类典型二次函数实际应用问题的建模思路、解题步骤、最值求法和实际意义检验.通用解题步骤审题设元：找准自变量和因变量，设定合适的未知数。建立模型：根据题意和公式，列出二次函数解析式。确定范围：结合实际场景，确定自变量的取值范围。求最值：用配方法或顶点公式，求出函数的顶点最值。检验合理性：判断最值