小学繁分数化简专题

小学奥数知识点汇编

第一章计算

1.1四则混合运算

1.1.1繁分数的化简技巧

1.1.1.1繁分数的定义

如果分数形式以分子或分母含有四则运算或分数，或分子与分母都含有四则运算或

分数的数，叫“繁分数”；其对应于“简分第”。

1.1.1.2繁分数化简的基本方法

1.1.1.2.1可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式。

例：+X

1.1.1.2.2利用分数的基本性质，去掉分子、分母上分数的分母后化为铜分数。一般情况

下，分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分体的最小公倍数。

例：

1.1.1.3繁分数化简的常用技巧

LL131化带分数为假分数：繁分数中的分子或分母若含有带分数，则把带分数化为假分数

再化简。

T兄一兄"小.18二9

2”§一一4。一20

333

1.1.1.3.2化小数为分数：繁分数中的分子或分母若含有小数，则一般可把小数化成分数再化

简。

0-15_20_^)X2°_3_1

3~3-3-15~5

——―-x20

444

1.1.1.33化分数为小数：繁分数中的分子或分母部分所含有的分数可化为有限小数.见可把

分子或分母中的分数化为小数再化简。

().15_().15_15_1

~"75~~5

-4

1.M.3.4化小数为整数：若分子、分母都是小数还可以利用分数的基本性质，分子与分母同

时扩大相同的倍数.把小数化成整数再化简。

-2.4_24_2

3.6--36--3

1.1.1.3.5化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算,则先加减运算再按繁分

数化简方法进行化简。繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。

12347

1154162063

4-526-2020

13

1—x3—x0.26°”〔1I.

/,、、241.5x3.75x0.26Ixlxl1

八6it„10.52x1.5x7.52x1x24

0.52x1.5x7-

2

1.1.136化多层为单层：化简复杂的繁分数要学会分层化简。

1112

r~T=29=29

2+乙n------------

2+11212

2+5

2

42

走进奥数

繁分数

根据实际问题列出的分数，有时它的分子或分母里又含有分

数，或者分子和分母里都含有分数，我们把这样的分数叫做繁

分数。

213

1232+8

71r5c

23-7X2

繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫

做繁分数的主分数线(也叫主分线)。主分线比其它分数线要

长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。

如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把

最长的那条主分线，叫做中主分线，依次向上为上一主分线，

上二主分线……；依次向下叫下一主分线，下二主分线……；

两端的叫末主分线。

如：

根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的

形式。

如：(3+)+(2-1)=

(1)把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分

数的化简。繁分数化简一般采用以下两种方法：

把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化

简。繁分数化简一般采用以下两种方法:

1

1+

1

4+----------

2+・・

这种繁分数叫连分数。连分数是繁分数的特殊形式，二

者之间是一般与特殊的关系。

计算连分数，采取自下而上的方法，先将连分数中最下面的分数

化简，然后逐步向上计算。

例如：==

]130

-]=~43=43

1+^0~30

13

例1:===1

3.己知二，求x.

解：用倒推法。

设1=,解得x1二。

又设2=,解得x2=

再设二，解得x3二

x+；1?,解得x二三5

拓展演练

用简便方法计算下面各题:

567+345x566987x655-321

⑴567x345+222②666+987x654

252525x252252213639x264528792

⑶525525x5252524)132396x213426639

“72”24

96+36

万口1+2+3+4+5+6++5+4+3+2+1

(5)

“241c8⑹666666x666666

3273+l225

242829

■+35+…+27而+284

33+54+71+，，，+5529+5930

2.计算

3.875X1+38.75X0.09-0.155彳0.4

IQ52911

2dX[(4.32-1.68-1^)XfT5KJ35+124

3.计算下面各题。

(1)-----——(2)-------—

2+~~~1-5+"1-

4+53+2

心2飞

(3)—(4)

6-

167

4.已知"96

1+

1

2+-

3+'1

4+工

x

5.求下列式子的整数部分。

__________1__________

"iir

----+----+•••+----

199119922000

星级擂台

1111

1-2+3-4+-+99

111

-----++•••+

1+101---2+10250+150

拓展演练答案参考

567+345x566

1.(1)原式二=1(2)1(方法同1)

566x345+345+222

25x10101x252x10013

原A=525x1001x52x10101=13

(4)2(5)3(方法同7)

212345654321

51119811869

3十452930

(7)原式=

10223816221738

—+—+—+…+----+-----

34十52930

51119811869

―3+4+5++•■•+29+3-0--1

二，51119811869)瓦

2(尸了+5+…+3+式

2.2

3,(l)157(2)157(3)450(4)25

4.x=2

9提示：>>

星级擂台答案参考:2

提不：分子=(1++++♦•♦++)-2X(++…+)

11111

+-+-++++-+-+

=(-424

29900

1>1

++*+

505200

1

分

母/

1++・+

\♦♦1

5152100

参考部分

（一）分数与繁分数化简

L讲析：容易看出，分子中含有因数37,分母中含有因数71。所以可得

而八粘_37x10101010101_37

原刀=71x10101010101=710

2.（长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题）

讲析：注意到与二!，4x6=24,2+4=6,由此产生的一淬串算式：

644

讲析：注意到，4X6=24,2+4=6,由此产生的一连串算式：

16X4=64

166X4=664

1666X4=6664

于是，可立即得此原分数值是几

3.（1990年马鞍山市小学数学竞赛试题）

讲析：如果分别计算出分子与分母的值，则难度较大。观察式子，可发现分子

中含有326X274,分母中含有275X326。于是可想办法化成相同的数：

面十—275+326x274

—（274+1）X326-51

275+325x274.

■274x326+326-51-

4.（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：可把小数化成分数，把带分数都化成假分数，并注意将分子分母同乘以

一个数，以消除各自中的分母。于是可得

21_23321_11

原式=工=工HX欠=22

（二+当x2_1Z^X2_5621

12817924179

5.化简（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

讲析：由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计算。计算时，哪

一步中能简算的，就采用简算的办法去计算。

原式分子=311+38"--卫、2

8541002002

-.3.1*-3-1v_9__3_1x—1

-40402402

319I、

=-x（Z1+----）

4022，

31

=一;

8

原式分母=（+［（435-168-1.32）xn-Jx—+—

011/44

1311353531

~~+—X-^―+——=o

63544248

所以，原繁分数等于I。

什么叫做繁分数？_计算奥数专题一繁分数问题

在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这样形式的分数,

叫做繁分数。

23雪？

例如：|，28

3--x2

47

繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数

的主分数线（也叫主分线）。主分线比其他分数线要长一些，书写位置

要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分

和分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，

依次向上为上一主分线，上二主分线；依次向下叫下一主分线，下

二主分线……；两端的叫末主分线。

如:

2_二末三分线

T,二一三分线

8

中主分线

下一主分线

5下末主分线

根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。

7?3+~

如：(3+:)+(2-lp=―

42.0

什么叫做繁分数化简？_计算奥数专题一繁分数问题

把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一

般采用以下两种方法：

(1)先找出中主分线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分

分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部

分・分母部分”的形式，再求出最后结果。

_1_k_3_5

48_8_5J

例①

13-27810

5

5拎25

-X-=--

2728

4

此题也可改写成分数除法的运算式，再进行计算。

即：（3）+Q-2X2）

4845

(2)繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数

的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数(这个倍数必须是分子部分与

分母部分所有分母的最小公倍数)，从而去掉分子部分利分母部分的分

母，然后通过计算化为最简分数或整数。

979?

4--3-X12

34_3，

例②

2-+4-（2-+4-）X12

2626

56-45111

-30+58~88-8

繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分

与分母部分都是小数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进

行计算。如果是分数和小数混合出现的形式，可按照分数、小数四则混合运算的

方法进行处理。即：把小数化成分数，或把分数化成小数，再进行化简。

繁分数的运算基本法则.计算奥数专题.繁分数问题

繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.1.繁

分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”.找到最长的分数线，将其

上视为分子，其下视为分母.2.一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分

数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.3.某些时候将分数线视为除号，

可使繁分数的运算更加直观.4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算

即可.

繁分数运算典型问题解析1计算奥数专题繁分数问题

繁分数运算典型问题解析1

第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛•决赛一试第1题

7.11

——x4-+一

1.计辑：C-(鼻4

3416

7123

-H—

J运23/17

【分析与解】原式二*6x2—=-^r-X——=4——

13--12848128

33

繁分数运算典型问题解析2

。遮）一级数:**

第，五届“华罗庚金杯”少年数学递请春•复赛第1题

2.计算：

【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有19?.于是，我们想到改变运算

9

顺序，如果分子与分母在192后的两个数字的运售结果一致，那么作为被除数的这个整分数的值为1；

9

如果不一致，也不会噌加我们的计售量.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.

而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995X0.5.

具体过程如下：

59

原式二竿窠巴吧丝+生

1曰-62+5.22)1995x0.51995

950

191.321993x0.44xO.4xO.5x

—I-------+(------------+-------------)

192_1321995x0.41995x0.5

9

1993+20.4

=1+(--------x——

19950.50.54

繁分数运算典型问题解析3

级数:圜髀修,

也出市第三届“迎春杯”数学克赛•决赛第一题第L题

3.计辑：1-------L—

口

1987

1119861987

【分析与解】原式=1

卜1987—~3973~3973

1986

繁分数运算典型问题解析4

@@级数：**

18Q年全国小学数学奥林匹克•决赛B卷第2题

1O

4.计算：已知=——1—=-,则x等于多少?

1+^-H

2+工

1_1_8x+6_8

【分析与解】方法一：

1-114x+l-12x4-7-H

1+

”48x+6

乙1

4x+l

交叉相乘有88x坨6=96x+56,x=l.25.

方法二：有14------Lj——=—=1+—»所以24-----=—=2+—;所以x+4=二，那么X=1.25・

c,188,13342

繁分数运算典型问题解析5

感)魅级数：■4T"

5.求4,43,443,…，aS这10个数的和.

9个4

【分析与解】方法一：

4X3+443+…+44…43

'_"V--'

9个4

=4+(44-1)+(444-1)+...+(4<4-1)

】0个4

4

=4+444-444+...+44...4-9=-X(9+994-9994--+999...9)-9

10T49ioVS»

4

=-x[(10-1)4-(100-1)+(1000-1)+...+(1000...0-1)]-9

9

4

=-xlU100-9=4938271591.

Q'—~r--'

了9个1

方法二：先计算这10个数的个位数字和为3乂9乜=3臼；

再计算这10个数的十位数字和为4X9=36,加上个位的进位的3,为36+3=3国；

再计算这10个数的百位数字和为4X8=32,加上十位的进位的3,为32+3=3囱；

再计算这10个数的千位数字和为4X7=28,加上百位的进位的3,为28+3=3"：

再计算这10个数的万位数字和为4X6=24,加上千位的进位的3,为24+3=2回；

再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为20+2=2口

再计售这10个数的百万位数字和为4义4:16,加上十万位的进位的2,为16+2=1间;

再计算这10个数的千万位数字和为4X3=12,加上百万位的进位的1,为12+1=1国

再计算这10个数的亿位数字和为4X2=8,加上千万位的进位的1,为8+1=国；

最后计算这10个数的十亿位数字和为4X1=4,加上七位上没有进位，即为

所以，这10个数的和为4938271591.

繁分数运算典型问题解析6

1995年全国小学数学奥林匹克•初赛A卷第4题

,我们规定,符号“0”表示选择两数中较大数的运算,例如：3.502.9=2.903.E=3.5.符号

(0.625A||)x(igo0.4)

表示选择两数中较小数的运算，例如：请计算:

3.5A2.9=2.9A3.5=2.9.-1=235

(-O0.5+(—A2.25)

【分析与解】原式

0.625x—。个

-_384=2x1^.21=25

1+225&38412256

3

繁分数运算典型问题解析7

奥奥级数£*岸—

1996隼金国小学数学奥林匹克•初赛B卷第5题

8.规定(3)=2X3X4,(4)=3X4X5,(5)=4X5X6,(10)=9X10X11,….如果_1_一_L=_1_又口，

(16)(17)(17)-

那么方框内应填的数是多少?

看.意，卷二器”

【分析与解】□二（16x17x181

15xl6xl7-I=5

繁分数运算典型问题解析8

殿越级数:油/L

1996年全国小学数学奥林西克•初赛B卷第5题

.规定()，(())….如果1

83=2X3X44)=3X4X5,5=4X5X6,(10=9X10X11,-l---1x口

(16)(17)(17)

那么方框内应填的数是多少?

看「忘，看二器”

【分析与解】□二（16x17x181

15xl6xl7-I=5

繁分数运算典型问题解析9

骸励级数：**

北京市第二届“迎春杯''教学竞赛•决赛第二题第2题

9.从和式1+工+1+」+工+工中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?

24681012

【分析与解】因为上+2=1,所以LLLL的和为1,因此应去掉1与2.

612424612810

繁分数运算典型问题解析10

曲税级数：***

1989年全国小学般学奥林匹克•决春第4题

io.如图1-2拄列在上io个数按顺时针次序可以组成讦多个整数部分是一位的循环小数,

例如1.892915929.那么在所有这种数中。最大的一个是多少？

【分析与解】有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最大的为

9.291892915.

繁分数运算典型问题解析11

命嫡级数：***

第一届“华罗庚金杯”少隼数学邀请赛•决赛二试第1题

11.请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个

分数的分母谁也不是谁的约数”.

【分析与解】有—H---------，----1---------+---=---

6101510156351410

评注：本题实质可以说是寻找李生质数，为什么这么说呢?

36c

Hi11c+aSM1Q-L~f=r11c十a1

注息至!1------F-----=---------»=a+c=b时，有------1------------------=------.

axbcxbaxbxcaxbcxbaxbxcaxe

当a、b、c两两互质时，显然满足题意.

显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2,不

妨设a为2,那么有2+c=b,显然b、c为一对学生质数.

111

即可得出一般公式:----------^-1----c--与---c-+--2-均--为--质--数即可.

2x(c+2)cx(c+2)2xc

繁分数运算典型问题解析12

⑥⑥级数：***

12.计算：(1--^—)x(1--!—)x...x(l--?-)

2x23x310x10，

【分析与解】

原式:Q-DXQ+DYG-DXG+DYX(107)X(10+1)

2x23x310x10

Ix3x2x4x3xi)x4x6x2)x7x6x8x7x9x8x10x9x11

2x2x3x3x4x4x...xl0xl0

1X2X3X3X4X4X5X5X...X9X9X10X11

2x2x3x3x4x4x...x9x9x10x10

：1x2x10x11二11

2x2x10x1020,

繁分数运算典型问题解析13

知领级数：■**

第二届”华罗庚金杯”少年敬学邀请春・决赛第6题

_11x66+12x674-13x684-14x69+15x70

13.已知a-11x65+12x66+13x67+14x68+15x69xlOO.间a的整数部分是多少?

【分析与解】

11x66+12x67+13x684-14x69+15x70…

a=-------------------------------------x100

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

=11x(65+1)+12x06+l)+13x(67+l)+14x(6X+l)+15x(69+l)乂[00

-11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

=(1+_________生吆E3__________)X100

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

_________11+12+13+14+15_________

X100.

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

[-T-1S.11+12+13+14+15..11+12+13+14+15100

因为----------------------------------------xlA00<-----------------、——xlA0A0=——

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69(711+12+13+14+15)x6565

所以aV100+100=⑶叁.

6565

11+12+13+14+1511+12+13+14+15sc100

同时

x100>7-----------------r----X100=——

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69(11+12+13+14+15)x6969

所以a>1004--=101—.

6969

综上有1013Va<101史.所以a的整数部分为1C1.

6965

繁分数运算典型问题解析14

J___________________

域）四级数：****

第六届“华罗庚金杯”少年数孕邀请赛•夏赛第8题

14.问kA级*...X国与,相比，哪个更大，为什么？

246810010

【分析与解】方法一：令LA2XL...XR=4ZxTfx级...><四B，

24681003579101

心…13579924681001

有AxB=-x—x-x-x...x------x-x-x-x-x...x------=——.

24681003579101101

而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B>A,

有AXAV4XB（=』-）<1111,那么AV」_

—，所以有AXAV—X--

1011001010101010

即L&2/x...x99与工相比,工更大.

24681001010

13579799

：设N=-x-x-x—x..x—x---,

246898100

2133559999

则A--XXX—XX—X...XX

224466100100

Ix3x3x5x5x5x7x...x97x97x99x99x1

2x2x4x4x6x6x8x...x96x98x98xl00xl00,

显然1x33x55x7薪、爵都是小于】的‘所以有代?,于是AV」.

、’“、2x2、4x4、6x610

繁分数运算典型问题解析15

的励级数：*****

院二心“华罗庚金杯”少年做学邀请赛•决察二试第6题

15.下面是两个1989位整数相乘：问：乘积的各位数字之和是多少?

1989个1198WH

【分析与解疏算式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为能被9整除,所以将一个

1989个11989个1

乘以9,另一个除以9,更原算式变成：

999.….99x123456790.….012345679

------------------->•--------------'--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------'

1%6个9共19盘位数

.(1000……00-1)x123456790……012345679

-v-----------------V-----------------v------------------------------------------V---------------------------------------------'

1989个0共1988位数

=123456790.012345679000……00-123456790.012345679

共1988位投19妨个0共1988位数

123456790012345679123456789876543209..987654320987654321

共197位数共1980位数

数学计算公式（常用公式）

☆工数学计算公式

常用公式

_HX(W+1)

~~2-

1.

…储⑦+D

2.6d

H3"(ji+iy

V+25+33+-—h=(1+2+3+—+RJ

3.

1+3+5+7+--+(2J!-1)=1+2+3+—+(w-l)+w+(j!-1)+™+3+2+1=w3

S.=C+J尸二咛

等比数列求和公式：ql（?#1）;

平方差公式："-加）；

6.=9+0）9”

-y.个平•方_八_|z.（tz+A）=，+2o&+A，（a-A）=，—2o6+A，；

7.

用文字表述为：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或

者减去）这两个数的积的2倍，两条公式乜可以合写在一起：

g±"='士加’户.为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方,

2倍乘积在中央，

繁分数的计算练习题及答案讲解1_计算奥数专题一繁分数问题

繁分数的计算练习题及答案讲解1

物化筒骁霖

（1990年马鞍山市小学数学竞赛试题）

讲析3如果分别计算出分子-与分母的值,则难度较大。观察式子，可发现分

子中含有326X274,分母中含有275X326.于是可想办法化成相同的数:

国-275+326x274

原,/(274+1)x326-51

275+326x274,

■274x3264.326-51~

繁分数的计算练习题及答案讲解2_计算奥数专题一繁分数问题

繁分数的计算练习题及答案讲解2

2消x2小

例2化简

(3-+4375)*191

（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

说折，可把小数化成分成,把带分数都化成假分数,并注意将分子分母同乘

以个数,以消除各自中的分母,于是可得

212332111

X

原式二T-314,T'T_X56,17

原X—(37359~179956—21

(12+^17914179

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