2025-2026学年河南省信阳市商城县达权店高级中学高二下册5月第一次月考数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分.1.设函数是函数的导函数，若，则（

）A. B. C. D.2.物体做直线运动，其运动规律是（为时间，单位是，为路程，单位是），则它在s末的瞬时速度为（）A. B. C. D.3.若，则下列各结论中正确的是（）A.B.C.D.4.袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（）A. B. C. D.5.方程的实根个数是（）A.0 B.1 C.2 D.36.点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A.5或 B.1或3 C.1 D.57.已知且，且，且，则（）A. B.C. D.8.设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数，若，则，则（）A.“或”为真 B.“且”为真 C.假真 D.，均为假命题二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知随机变量，则（）A.， B.C. D.11.已知曲线和直线，则（）A.曲线上与直线l平行的切线的切点为B.曲线上与直线l平行的切线的切点为C.曲线上的点到直线l的最短距离为D.曲线上的点到直线l的最短距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数f(x)在区间[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．13.若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是________.14.已知，则曲线在点处的切线方程为___________四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求下列各函数的导数．（1）；（2）；（3）．16.据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表：送货单数30405060天数甲10102010乙515255已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元．（1）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲快递公司的快递员的日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．17.设数列的前项和为，对任意正整数，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证.18.某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望；（3）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在（单位：小时）内的概率，其中，1，2，，20.当最大时，写出k的值.（只需写出结论）.19.已知函数，当时，函数取得极值.（1）求实数a的值；（2）若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、错选均不得分.1.设函数是函数的导函数，若，则（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出函数的导函数，再代入计算可得.解答过程：因为，所以，所以.故选：A2.物体做直线运动，其运动规律是（为时间，单位是，为路程，单位是），则它在s末的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出导数，分析得该物体在s末的瞬时速度即为时的导数值，将代入导数即可得解.解答过程：，该物体在s末的瞬时速度即为时的导数.故选C方法提示：本题考查求解具体函数的导数、导数的意义，属于基础题.3.若，则下列各结论中正确的是（）A.B.C.D.答案：D解析：思路：对进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断ab,a解答过程：∵f(x)=ln当时，，为减函数，，∴b∴f4.袋子中装有除颜色外完全相同的2个白球和2个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，已知第一次摸到的是白球，则第二次摸到黑球的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率.解答过程：第一次摸到的是白球，余下1白2黑的3个球，所以第二次摸到黑球的概率为.故选：D5.方程的实根个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：设，求导，利用导数分析函数的单调性及极值，可判断零点个数，即可求解.解答过程：设,则，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当x=1时，函数取得极大值f(1)=6，当x=2时函数取得极小值f(2)=5,又x→+∞时，f(x)>0,x→-∞时,f(x)→-∞,故函数f(x)与x轴只有一个交点.故选：B方法提示：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，函数零点个数，转化思想，属于中档题.6.点P在函数的图像上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A.5或 B.1或3 C.1 D.5答案：D解析：思路：在曲线的点作切线，使得此切线与直线平行，得，进而根据题意得点到直线的距离为时满足条件，根据点到直线的距离公式得或，再结合图形分析即可得答案.解答过程：过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，因为，于是，所以，∴，于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，∴，解得或，又当时，函数的图象与直线不相交（如图），从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；当时，函数的图象与直线相交，满足条件.故选：D．7.已知且，且，且，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：设，将原式变形即可得到、、，再利用导数研究函数的单调性，即可得到函数的草图，数形结合即可判断；解答过程：解：设.由且，变形得，即；由且，变形得﹐即；由且，变形得，即.∵，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的草图如图所示.∵，，，，，，∴，故选：A.8.设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：是任意实数，若，则，则（）A.“或”为真 B.“且”为真 C.假真 D.，均为假命题答案：A解析：解答过程：对于命题：因为，所以，所以y'|x=−1由导数的几何意义可得在点处切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以命题是真命题；对于命题：令满足，但是，即，不满足，所以命题是假命题，所以“或”为真命题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论中不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：ABD解析：思路：根据导数运算法则逐一验证即可解答过程：A：，A错误B：，B错误C：，C正确D：，D错误故选：ABD10.已知随机变量，则（）A.， B.C. D.答案：AC解析：思路：根据正态分布的性质计算可得.解答过程：解：由题意，得，，即，，故A正确；∵，∴，故B错误；∵，，∴，故C正确；，故D错误．故选：AC11.已知曲线和直线，则（）A.曲线上与直线l平行的切线的切点为B.曲线上与直线l平行的切线的切点为C.曲线上的点到直线l的最短距离为D.曲线上的点到直线l的最短距离为答案：BC解析：思路：根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D.解答过程：设与直线平行的直线和相切，则斜率为.因为，所以，令，可得切点为，故A错误，B正确；则点到直线的距离就是曲线上的点到直线的最短距离，由点到直线的距离公式知最短距离为，故C正确，D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数f(x)在区间[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．答案：①.小②.大解析：思路：由导函数与单调性的关系即得.解答过程：由f′(x)>0知，函数f(x)在区间[a，b]上为增函数，所以f(a)为最小值，f(b)为最大值．故小；大.13.若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是________.答案：解析：思路：求出斜率为1且与曲线相切的直线的方程，再根据两平行线间的距离公式求解即可.解答过程：解：设斜率为的直线与曲线相切于点，因为，所以，令，解得，所以，所以切线的方程为：，所以要求点到直线的最小距离，即求切线到直线的距离，由两平行线间的距离公式可得,所以点到直线的最小距离是.故14.已知，则曲线在点处的切线方程为___________答案：解析：思路：利用导数的几何意义，先对函数求导，从而可求得切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程.解答过程：∵，∴，，∴，∴在处的切线方程为：，即．故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求下列各函数的导数．（1）；（2）；（3）．答案：（1）（2）（3）解析：思路：运用导数四则运算和简单复合函数导数得运算规则计算即可.（1）化简得，∴．（2）∵，∴．（3）．16.据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表：送货单数30405060天数甲10102010乙515255已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元．（1）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲快递公司的快递员的日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．答案：（1），；（2）见解析解析：解答过程：试题分析：（1）根据题意可得，利用分段函数进行表示；（2）①的所有可能取值为，分别计算出其对应的概率，得分布列得期望；②先求出乙快递公司的快递员这50天的工资和为，得其平均工资为，将其和106比较得结果.试题解析：（1）甲快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为：；乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为：．（2）①由题中表格易知的所有可能取值为，则；；；．所以的分布列为90100110120故（元）．②乙快递公司的快递员这50天的工资和为：（元），所以乙快递公司的快递员的日平均工资为（元），由①知，甲快递公司的快递员的日平均工资为元．当，即时，小赵应选择甲快递公司；当，即时，小赵选择甲、乙快递公司均可；当，即时，小赵应选择乙快递公司．17.设数列的前项和为，对任意正整数，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证.答案：（Ⅰ）；(Ⅱ)证明略．解析：解答过程：试题分析：（Ⅰ）根据进行求解；(Ⅱ)由(Ⅰ)得数列是等比数列，由等比数列的前项和公式进行证明．试题解析：（Ⅰ）∵对任意正整数，，∴，∴，即，∴，解得当时，，即.∴,∴数列的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得.∴，，∴，∴.考点：1.与的关系；2.等比数列的前项和公式．18.某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望；（3）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在（单位：小时）内的概率，其中，1，2，，20.当最大时，写出k的值.（只需写出结论）.答案：（1）（2）分布列见解析，期望为（3）解析：思路：（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值即可；（2）由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在