2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔市教联体高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.第一部分（选择题共58分）一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.数列的第9项为（）A. B. C. D.2.等差数列的前项和为，且，则（）A.90 B.105 C.110 D.2003.已知数列为正项等比数列，，则的值为（）A.10 B.16 C.15 D.114.已知函数的导函数为，若，则的值为（）A. B. C.2 D.45.函数的导函数为（）A. B.C. D.6.已知等差数列的前项和分别为，且，则（）A. B. C. D.7.在数列中，，则通项公式（）A. B. C. D.8.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（）A. B. C. D.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知数列的前项和，则（）A.是公差为2的等差数列 B.C.数列是等差数列 D.10.已知函数的图象如图所示，，则（）A.当时，B.C.D.11.已知函数，则（）A.B.曲线在点处的切线方程为C.恰有2个极值点D.的图象与轴恰有2个交点第二部分（非选择题共92分）三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______.13.已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为______．14.在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________.四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克.（1）求函数的解析式；（2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润.16.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．17.在数列中，.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，数列的前n项和为，证明.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在小于0的极小值，求的取值范围.19.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求的取值范围.

数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.第一部分（选择题共58分）一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.数列的第9项为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：数列，分子：，是等差数列，首项为，公差为，所以通项为；分母：，通项为，故数列的通项为，所以第9项.2.等差数列的前项和为，且，则（）A.90 B.105 C.110 D.200答案：B解析：解答过程：数列为等差数列，，，则.3.已知数列为正项等比数列，，则的值为（）A.10 B.16 C.15 D.11答案：D解析：解答过程：数列为正项等比数列，所以，，得.又，得.所以.4.已知函数的导函数为，若，则的值为（）A. B. C.2 D.4答案：B解析：解答过程：依题意，.5.函数的导函数为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：函数的定义域为，.6.已知等差数列的前项和分别为，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为等差数列的前项和分别为，且.所以可设.所以，所以.7.在数列中，，则通项公式（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，所以.8.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求导后参变分离可得在上恒成立，结合其单调性即可得解.解答过程：由函数在区间上单调递增，则，即在上恒成立，由的解析式可知其在区间上单调递增，所以，则，则的最大值为.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知数列的前项和，则（）A.是公差为2的等差数列 B.C.数列是等差数列 D.答案：ABC解析：解答过程：由，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以，故B正确；因为，所以是等差数列，故A正确；对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确；对于D，令，则，所以当时，，当时，，故，故D错误.10.已知函数的图象如图所示，，则（）A.当时，B.C.D.答案：ABD解析：解答过程：观察图象可知：当时，函数单调递增，则，A正确；由图象知方程的根为且三次项系数为1.所以可得，因为，对照各项系数，可得，故C错误；此时，所以，故B正确；因为的两根为，所以，故D正确.11.已知函数，则（）A.B.曲线在点处的切线方程为C.恰有2个极值点D.的图象与轴恰有2个交点答案：AB解析：解答过程：函数的定义域为.对于A，，令，可得，所以，即A正确；对于B，由A可得，则，所以切线方程为，即，可得B正确；对于C，函数的定义域为，，令，可得，所以当时，；当时，.因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误；对于D，由C中分析可知即对于任意恒成立，因此D错误.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______.答案：解析：思路：根据题设求出前5项，即可得到答案.解答过程：由，得，则数列的前5项中的最大值是.故答案为.13.已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为______．答案：解析：思路：对求导，利用导数求出函数在上的最值，从而可得的取值范围，即可得解．解答过程：，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增．因为，，所以的最小值为0，最大值为3e．因为对任意，都有，所以只需，所以，即的最小值为3e，故3e．14.在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________.答案：3379解析：解答过程：由，得，解得，同理由，所以，因此数列是以3为周期的数列，所以.四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克.（1）求函数的解析式；（2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润.答案：（1）；（2）当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元.解析：思路：（1）由题给、代入函数表达式，解方程求出参数的值，确定完整的函数解析式.（2）先根据单件利润与销量关系列出每日利润并化简，再对利润函数求导得到导函数，令导函数为零求出临界点并舍去区间外的解，依据导函数正负判断函数在区间内的单调性，确定为最大值点，最后代入算出最大利润，得出定价与最大利润的结论.（1）由题意可知，当时，，即，解得，所以.（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则，，令，得（舍去）或，所以当时，在为增函数；当时，在为减函数，故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，此时元.所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元.16.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等差数列性质计算即可；（2）先求得数列的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.（1）设等差数列的首项为，公差为，则，解得，因此通项公式为.（2）将代入，裂项得，所以.即.17.在数列中，.（1）求证：数列是等差数列；（2）令，数列的前n项和为，证明.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明；（2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证.（1）由，可得，又因为，所以，所以是首项为1，公差为3的等差数列.（2）由（1）知，，所以.，①，②①-②得，，所以，又，所以.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在小于0的极小值，求的取值范围.答案：（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）解析：思路：（1）利用导数，讨论和两种情况下，函数的单调性；（2）结合（1）的结论，根据在处取得极小值，由极小值小于，得关于的不等式，构造函数，并分析函数的单调性，可求出的取值范围.（1）函数的定义域为，且①当时，则，所以在区间上单调递增；②当时，，令，可得，时，时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）可知若在区间上单调递增，没有极值点，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，则在处取得极小值，则，即.令，由可得，是单调递增函数，因为，所以，即的取值范围为.19.已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求的取值范围.答案：（1）的极大值为的极小值为.（2）解析：思路：（1）利用导数，判断函数的单调性并确定极值；（2）分离参数，构造函数，将“函数