2025-2026学年吉林省吉林市永吉县第四中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（）A.24 B.20 C.10 D.92.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是A.在上为减函数B.在处取得最大值C.在上为减函数D.在处取得最小值3.下列各组数据中方差最大的一组是（）A.6，6，6，6，6 B.5，5，6，7，7 C.4，5，6，7，8 D.4，4，6，8，84.设，若，则（）A. B. C. D.5.袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球、3个白球，依次从中不放回地取球，则第一次取到白球，且第二次取到红球的概率为（）A. B. C. D.6.将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（）A.90种 B.180种 C.60种 D.120种7.函数，则（）A.B.C.D.关系不确定8.函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（）A.女生排在中间的排法有种B.女生不在头尾的排法有种C.女生不相邻的排法有种D.女生甲在女生乙右边的排法有种10.关于的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式中共有9项B.第3项为C.各项系数的和为256D.二项式系数的最大值为7011.设离散型随机变量的分布列为4680.30.4若，则（）A. B. C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在点处的切线方程是__________.13.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．14.若函数的极大值为1，则函数的极小值为________，四、解答题（本题共5小题，共77分）15.设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024.（1）求的值；（2）求的值.16.甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求：（1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布列;（2）的均值和方差，17.现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率.18.已知函数（1）若在处有极小值，求；（2）若，求在区间上的最值.19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”，事件“被调查者摸到白球”．（1）直接写出与的值；（2）用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值；（3）已知=，求的值，

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（）A.24 B.20 C.10 D.9答案：B解析：思路：直接根据排列公式计算可得；解答过程：解：依题意从5名同学中选出正、副组长各一名，则有种方法故选：B方法提示：本题考查简单的排列问题，属于基础题.2.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是A.在上为减函数B.在处取得最大值C.在上为减函数D.在处取得最小值答案：C解析：解答过程：分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误；由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．故选C．点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.3.下列各组数据中方差最大的一组是（）A.6，6，6，6，6 B.5，5，6，7，7 C.4，5，6，7，8 D.4，4，6，8，8答案：D解析：思路：根据数据的波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平均值和方差来得出答案.解答过程：对于A：数据全部为6，相等，没有波动，所以方差为0.对于B：平均数为，方差为.对于C：平均数为，方差为.对于D：平均数为，方差为.通过比较可知，选项D的方差最大.故选：D.4.设，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出函数的导数，结合已知条件，即得答案.解答过程：由，得，故由，得，故选：B5.袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球、3个白球，依次从中不放回地取球，则第一次取到白球，且第二次取到红球的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先算出第一次取到白球的概率，然后再计算第一次取到白球后第二次取到红球的概率，利用乘法公式，两者相乘即可.解答过程：根据题意，设第一次取到白球为事件，第二次取到红球为事件，则，，所以P(6.将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（）A.90种 B.180种 C.60种 D.120种答案：A解析：思路：先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解.解答过程：由题先将5名志愿者分成三组有种分法，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法，所以所求的不同的分配方案有种.故选：A.7.函数，则（）A.B.C.D.关系不确定答案：C解析：思路：求得，结合导数的符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果.解答过程：解：由已知可得，令，解得．当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增．因为，所以.故选：C8.函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由题意可得在上恒成立，从而得在上恒成立，求出函数在上的值域，即可得答案.解答过程：因为fx所以，由题意可得在上恒成立，所以，在上恒成立，又因为在上单调递增，所以y=2所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即，所以实数的取值范围为.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（）A.女生排在中间的排法有种B.女生不在头尾的排法有种C.女生不相邻的排法有种D.女生甲在女生乙右边的排法有种答案：AC解析：思路：按照分步乘法计数原理判断A，首先排两个男生在头尾、其余人全排列即可判断B，利用插空法判断C，定序问题用倍缩法，即可判断D.解答过程：对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置，则有种排法，故A正确；对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误；对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确；对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误；故选：AC10.关于的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式中共有9项B.第3项为C.各项系数的和为256D.二项式系数的最大值为70答案：ABD解析：解答过程：对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确；对于B，第3项为，故B正确；对于C，令，得各项系数的和为，故C错误；对于D，二项式系数的最大值为，故D正确.11.设离散型随机变量的分布列为4680.30.4若，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值.解答过程：对于A、B项，由表格可得，所以.则，.故A正确，B正确；对于C、D项，因为，，，所以，，，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在点处的切线方程是__________.答案：解析：思路：求出函数在点处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案.解答过程：由题意得在处的切线斜率为，故切线方程是，即，故13.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．答案：288解析：思路：先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.解答过程：先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法.故28814.若函数的极大值为1，则函数的极小值为________，答案：解析：解答过程：因为，由得，且当时，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且f(−1)=−13+1+m函数在处取得极小值，且.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）（2）-1解析：思路：（1）利用二项式系数和为求得的值；（2）令，得，再令，即可求得.（1）由题意得，解得.（2）令，得，令，得，.16.甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求：（1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布列;（2）的均值和方差，答案：（1）01（2）解析：思路：（1）先确定甲的得分的可能取值，再根据甲、乙赢机器人的概率分别计算对应取值的概率，从而可写出分布列；（2）利用均值公式和方差公式即可求得.（1）由题意知，的可能取值为，且，，，所以X的分布列为01（2）由（1）得，，.17.现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率.答案：解析：思路：先以等概率任选一袋,分别用组合公式算出从第一袋6男4女、第二袋7男5女中各抽2份且男女各1份的条件概率与,再套用全概率公式加权求和,求得总概率为.解答过程：设表示选到第一袋,表示选到第二袋,表示抽到男、女报名表各1份.由题意得,.第一袋有6男4女,共10份,则.第二袋有7男5女,共12份,则.由全概率公式得.所以恰好抽到男、女报名表各1份的概率为.18.已知函数（1）若在处有极小值，求；（2）若，求在区间上的最值.答案：（1）（2）最小值为，最大值为.解析：思路：（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解；（2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值.（1）由，得，因为为的极小值点所以，解得或，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以为的极小值点；当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以为的极大值点；经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以；（2）当时，，令得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以为在区间的极大值，也是最大值.由于，，，所以最小值为.综上所述，在区间上的最小值为，最大值为.19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计