2025-2026学年江苏南京市励志高级中学高一下册第二次调研考数学试题 含解析

/数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，则的共轭复数（）A. B.C. D.2.已知向量，若，则（）A. B. C.4 D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.5.在中，若，，则形状为（）A.等边三角形 B.等腰但不等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.在中，，，，则边上的高为（）A. B. C. D.7.等边的边长为6，若，，则（）A.5 B.3 C. D.8.已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若为纯虚数，则D.若在复平面内对应的点位于第一象限，则10.在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.11.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若且，则C.的最小值为1D.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若，则__________.13.已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.14.在中，角所对的边分别为.已知的面积为，则__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若是单位向量，且，求与的夹角.16.已知锐角满足，（1）求的值.（2）求的大小.17.在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若C=75°,b=2，求边和三角形18.已知的三个内角所对的边分别为.（1）求角的大小.（2）若的面积为，求a的值.（3）若，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长.19.已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递减区间；（3）若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值.

数学一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，则的共轭复数（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程.2.已知向量，若，则（）A. B. C.4 D.答案：A解析：解答过程：由，得，即.解得.所以，则.3.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，得，所以.4.任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解.解答过程：由题意可得z=故z=cos−即的虚部为.5.在中，若，，则形状为（）A.等边三角形 B.等腰但不等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：A解析：解答过程：因为，且，所以.因为，由正弦定理得，因为sinB>0，所以因为，所以，所以.故为等边三角形．6.在中，，，，则边上的高为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：在中，，，，由余弦定理得，则．设边上的高为，由等面积法可得，则．7.等边的边长为6，若，，则（）A.5 B.3 C. D.答案：D解析：解答过程：如图：由题意，，，所以.又，，所以.8.已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式，再根据周期求函数的解析式，根据平移和伸缩变换求的解析式，最后根据选项，利用代入法求函数的一个单调递增区间.解答过程：最小正周期，得，即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数，A.当，，此区间先减后增，故A错误；B.当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误；C.当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确；D.当，，此区间先增后减，故D错误；二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若为纯虚数，则D.若在复平面内对应的点位于第一象限，则答案：ABD解析：解答过程：由，若，则z=2−1+2+1i=1+3i，则若，则z=(2+a)若为纯虚数，即且，则，故C错误；若在复平面内对应的点位于第一象限，则2+a>02−a>0，得10.在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.答案：AB解析：思路：应用余弦定理计算判断A，D，应用面积公式计算判断B，应用正弦定理求解判断C.解答过程：对于A，根据余弦定理，得，因此，故A正确；对于B，根据三角形面积公式S=对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确；对于D，因为，所以，故D不正确.11.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若且，则C.的最小值为1D.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为答案：BCD解析：解答过程：已知.对A：若，则，得错误.对B：若，则，得，又，所以，B正确.对C：，最小值为1，C正确对D：在上的投影向量为，得，D正确.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若，则__________.答案：-3解析：解答过程：由，则.13.已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：根据向量夹角范围得出数量积大于0，且向量不共线列式求解参数即可.解答过程：因为向量a=2,1,b=所以，且与不共线；所以2λ+1>0λ≠2，解得所以实数的取值范围是.14.在中，角所对的边分别为.已知的面积为，则__________.答案：5解析：解答过程：∵cosA，解得，∴a可得.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若是单位向量，且，求与的夹角.答案：（1）c=−26（2）解析：思路：（1）先设向量坐标，再根据模长及共线列式计算求解参数即可；（2）应用向量垂直的数量积为0结合向量夹角余弦公式计算求解.（1）设，由c=43，且，得1×y所以x=−26y故c=−26（2）因为b=1,a=所以，即a→2所以，即cosθ因为夹角，所以与的夹角.16.已知锐角满足，（1）求的值.（2）求的大小.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解；（2）先根据同角三角关系求，再利用两角和差公式可求，即可得结果.（1）因为α∈则所以；（2）因为β∈0,π则cosα且，所以.17.在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，求边和三角形的面积.答案：（1）（2），面积解析：思路：（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解；（2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解.（1）已知，由余弦定理得：，，化简得，又，故；（2）由（1）知A=180°−由正弦定理得a=b因为sin75°=sin45°+30°所以S=18.已知的三个内角所对的边分别为.（1）求角的大小.（2）若的面积为，求a的值.（3）若，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先根据正弦定理边化角，再根据对上式进行化简，最后求出的值.（2）根据三角形面积公式可求出的值，再结合余弦定理以及的值求解出的值.（3）先根据求解出的值，再利用面积法求解出角平分线的长度.（1）∵a在中，，，可得，∵C∈0,π,sinC（2）由，解得，由余弦定理得，故.（3）由，设的长为，由，解得，即.19.已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递减区间；（3）若锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据数量积运算结合三角恒