2025-2026学年河南洛阳市高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一质点的位移与时间之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（）A.3 B.4 C.5 D.72.二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于（）A. B. C. D.3.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.4.将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有（）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种5.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.4 B.3 C.2 D.16.在的展开式中，含的项的系数是（）A. B. C. D.7.已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（）A.2640 B.2160 C.3600 D.28808.在数列中，，若函数，的导数为，则（）A.8 B.16 C.32 D.64二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设函数，则下列说法正确的是（）A.函数的单调递减区间为B.函数有极小值C.曲线在处的切线方程为D.函数恰有两个零点10.在直三棱柱中，下列说法正确的是（）A.以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个B.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条C.过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对D.给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种11.已知函数，则（）A.当时，函数恰有2个极值点 B.当时，函数恰有2个零点C.当时，函数恰有2个单调区间 D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式中的系数为20，则的最小值为____________.13.某出版社的8名工人中，有3人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从8人中选3人排版，3人印刷，有_____________种不同的选法．（用数字作答）14.已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值16．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．17.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围．18.某科技展览会上，展示了编号为1至9的9种型号的无人机，学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各1架供学生实验操作．（1）甲、乙两同学从9架无人机中各选一架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，两个同学共有多少种不同的选择？（2）学校将买回的9架无人机全部都分给高一年级，高二年级，高三年级进行实验，每个年级至少一架．①若平均分给三个年级，一共有多少种分配方法？②若每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，一共有多少种分配方法？③若三个年级分得的数量各不相同，一共有多少种分配方法？（注：要写出算式，结果用数字表示）19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一质点的位移与时间之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（）A.3 B.4 C.5 D.7答案：C解析：思路：利用导数求得处的导数即可得时的瞬时速度.解答过程：由题意知，所以，所以该质点在时的瞬时速度为5.2.二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据二项式的展开式中所有项的二项式系数和为，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等求解即可.解答过程：二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为，因为奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和等于，3.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据题意，得到在该区间内是单调递减函数，结合导数的几何意义和割线的斜率，即可求解.解答过程：由函数的图象，函数在上是单调递减函数，且图象是向上凸起，此时切线的斜率随增大而减小，即在该区间内是单调递减函数，如图所示，表示在点处的切线的斜率，表示在点处的切线的斜率，表示过点的割线的斜率，根据导数的几何意义，可得，且.4.将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有（）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种答案：B解析：思路：在除了《水浒传》剩下的三本中，甲再拿1本和甲不再拿两种情况讨论求解即可.解答过程：在除了《水浒传》剩下的三本中，甲再拿1本，乙丙各1本，则有种情况；在除了《水浒传》剩下的三本中，甲不再拿，乙丙中1人拿2本，1人拿1本，有种情况，所以，不同的分配方法有种.5.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：解答过程：由求导得，则曲线在处的切线斜率为，又，则切线方程为，即，当时，，当时，，所以该切线与坐标轴的交点分别为点与点，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.6.在的展开式中，含的项的系数是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用二项式通项公式，得出中项的系数为，再分别计算时的对应系数，最后将这些系数求和，即可得到展开式中项的总系数．解答过程：在的展开式中，含的项为，所以，中含的项的系数是，对于，含的项的系数为，对于，含的项的系数为，对于，含的项的系数为，对于，含的项的系数为，对于，含的项的系数为，因此在的展开式中，含的项的系数是．7.已知共七个人站成一排，要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为（）A.2640 B.2160 C.3600 D.2880答案：A解析：思路：先考虑和不相邻的排法，再考虑和不相邻，且A站两端的情况，相减后得到答案.解答过程：先考虑和不相邻的排法：先排A,B,C,D,E，有种排法，A,B,C,D,E排好后有6个空隙（含两端），从中选2个插入F和G，排法数：种，所以，总排法有：种；再考虑A站两端且F、G不相邻”的排法：先排A在两端，有种（如A在最左端），再排B,C,D,E共4人，排法数：种，此时5人（A,B,C,D,E）排好后有5个空隙（A的左边不算空隙），从中选2个插入F和G，排法数：种，所以，总排法：种，所以要求不站两端，且和不相邻，则不同的排法种数为种.8.在数列中，，若函数，的导数为，则（）A.8 B.16 C.32 D.64答案：B解析：思路：根据题意求得，令，进而得，再代入计算即可得答案.解答过程：因为，所以，当时，；当时，，，所以，满足时，，所以，令，则，所以，所以二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设函数，则下列说法正确的是（）A.函数的单调递减区间为B.函数有极小值C.曲线在处的切线方程为D.函数恰有两个零点答案：BC解析：思路：先对函数求导得到，再通过导数符号分析单调性与极值，计算特殊点处的导数值与函数值以验证切线方程，最后令求解零点，逐一判断选项正误．解答过程：对于A，函数的定义域为，，令，得，所以的单调递减区间为，A错误；对于B，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是极小值点，极小值为，B正确；对于C，，，所以曲线在处的切线方程为，即，C正确；对于D，令，得（因为），所以函数只有个零点，D错误．10.在直三棱柱中，下列说法正确的是（）A.以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个B.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条C.过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对D.给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种答案：ABD解析：思路：对于A，直接考虑选取的四面体的个数即可；对于B，直接考虑选取两个不同点的情况即可；对于C，结合A选项，根据每个四面体有3对异面直线求解；对于D，按用色数量的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定涂三点涂法数，再讨论点A，B，C的涂法数即可.解答过程：对于A，三棱柱有六个顶点，可组成个四面体，即三棱锥有12个，故A选项正确；对于B，三棱柱有六个顶点，可组成条直线，故B选项正确；对于C，三棱柱有六个顶点，可组成个四面体，而每个四面体有3对异面直线，则共有对，故C错误；对于D，计算不同涂色方法数有两类方法：当涂四色时，先涂，，，有种涂法，再从A，B，C中选一点涂第四种颜色，如A，再涂B，若B与同色，则C有2种涂法，若B与异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法，当涂三色时，先涂，，，有种涂法，再涂A，有2种涂法，则B，C各有1种涂法，故有种涂法，利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：(种)，所以不同的涂色方法共有264种，故D选项正确.11.已知函数，则（）A.当时，函数恰有2个极值点 B.当时，函数恰有2个零点C.当时，函数恰有2个单调区间 D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2答案：ACD解析：思路：根据函数求导判断函数的单调性，求出极值，利用函数与方程的转化思想，结合零点存在定理逐一判断各选项即可.解答过程：由求导得，设，则.对于A，当时，由得，由得，则函数在上单调递减，在上单调递增，故，又，，且，则函数在和上各有一个变号零点，故当时，函数恰有2个极值点，故A正确；对于B，因，当时，由A项可得函数在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，在上单调递增，故函数至多一个零点，故B错误；对于C，当时，恒成立，则函数在上单调递增，又，当时，，由零点存在定理，可知函数只有唯一零点，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数恰有2个单调区间，故C正确；对于D，由，显然，可得，设，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，当时，则，在上单调递增，故时，取得极小值.作出函数图象如下：因函数的零点个数等价于直线与的交点个数.当时，两者只有1个交点；当时，两者有2个交点，其中有1个横坐标为2，另1个横坐标为负数；当时，两者有3个交点，其中第1个横坐标为，第2个横坐标，第3个横坐标；当时，两者没有交点.因此当函数恰有2个零点时，仅当时成立，此时必有一个零点为2.，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式中的系数为20，则的最小值为____________.答案：解析：思路：求得二项式的通项公式，结合题意，求得，结合基本不等式，即可求解.解答过程：由二项式的展开式的通项为，当时，可得的系数，即，即，则，当且仅当时，即或时，等号成立，所以的最小值为.13.某出版社的8名工人中，有3人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从8人中选3人排版，3人印刷，有_____________种不同的选法．（用数字作答）答案：37解析：思路：根据分类加法计数原理，这个问题可按承担印刷任务的人员中“只会印刷”者的人数进行分类求解.解答过程：以承担印刷任务的人员中“只会印刷”者的人数进行分类：第一类：3名印刷工均是“只会印刷”者，有种；第二类：有2名印刷工是“只会印刷”者，有种；第三类：有1名印刷工是“只会印刷”者，有种.所以共有（种）.14.已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________．答案：解析：思路：构造函数，进而将原不等式转化为，再根据题意得在上是单调递减函数，最后根据单调性解不等式即可.解答过程：因为对任意的满足，即，令，则，所以在上是单调递减函数，因为，，所以，所以，即不等式的解集是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极大值16．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．答案：（1）（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）根据题意得，解方程并检验即可得；（2）结合（1）的检验过程得时的单调性，再结合端点值即可求得答案.（1）由，得．因为在处取得极大值16，所以，解得,此时，时或，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，在处取得极大值16，所以．（2）由（1）可知，当时，函数的单调性如下：当时，单调递减；当时，单调递增；又因为．所以在[1,3]上的最大值为，最小值为.16.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）0（2）（3）6561解析：思路：（1）根据题意，令，得到，再令，得到，即可求解；（2）化简二项式为，结合二项展开式，即可求得的值；（3）求得二项展开式中的系数为，得到，结合赋值法，即可求解.（1）解：由，令，可得，令，可得，所以.（2）解：由，所以.（3）解：由，可得展开式中的系数为，所以都大于零，而都小于零，则，令，可得，所以．17.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）极小值为，无极大值（2）解析：思路：（1）当时，求得，利用导数求得函数的单调区间，结合极值的定义，即可求解；（2）转化为，令，求得，令，求得是增函数，由，得出的单调性和最大值，即可求解.（1）解：当时，函数，则，令，即，解得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以的极小值为，无极大值．（2）解：由恒成立，即，即，令，则，令，则，所以是增函数，且，当时，，所以，当时，，从而，即在上单调递增，在上单调递减，所以．所以，即实数的取值范围为．18.某科技展览会上，展示了编号为1至9的9种型号的无人机，学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各1架供学生实验操作．（1）甲、乙两同学从9架无人机中各选一架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，两个同学共有多少种不同的选择？（2）学校将买回的9架无人机全部都分给高一年级，高二年级，高三年级进行实验，每个年级至少一架．①若平均分给三个年级，一共有多少种分配方法？②若每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，一共有多少种分配方法？③若三个年级分得的数量各不相同，一共有多少种分配方法？（注：要写出算式，结果用数字表示）答案：（1）32（2）①1680；②2268；③12096解析：思路：（1）编号数字之和为偶数，等价于两架无人机编号同奇或同偶．编号1至9中奇数编号有5个，偶数编号有4个．由于甲、乙两名同学有身份区分，且9架无人机各不相同，所以按有序选择计数．（2）9架无人机彼此不同，三个年级也彼此不同，属于把9个不同元素分配到3个不同对象的问题．①平均分配即各年级各得3架，按顺序选择即可；②每个年级至少2架，且恰有两个年级数量相同，只能是数量分配为2，2，5；③三个年级数量各不相同，且每个年级至少1架，只需列出正整数拆分1，2，6，1，3，5，2，3，4，再分别分配无人机并安排给三个年级．（1）编号1至9中，奇数编号有1，3，5，7，9，共5个；偶数编号有2，4，6，8，共4个．因为两架无人机编号的数字之和为偶数，所以两架无人机编号同为奇数或同为偶数．又甲、乙两名同学有身份区分，甲选某架、乙选某架与甲乙互换选择是不同的选择，因此用排列数计数．若两架无人机编号同为奇数，则不同选择有种；若两架无人机编号同为偶数，则不同选择有种．根据分类加法计数原理，共有种不同的选择．（2）①若平均分给三个年级，则每个年级各得3架．先从9架中选3架给高一年级，有种方法；再从剩下6架中选3架给高二年级，有种方法；最后剩下3架给高三年级，有种方法．根据分步乘法计数原理，共有种分配方法．②因为每个年级至少2架，且恰有两个年级分得的数量相同，而总数为9，所以三个年级分得的数量只能为2，2，5．先确定哪个年级分得5架，有种方法；再从9架中选5架给这个年级，有种方法；剩下4架中选2架给另外一个确定的年级，有种方法；最后2架给剩下的年级，有种方法．根据分步乘法计数原理，共有种分配方法．③因为三个年级分得的数量各不相同，且每个年级至少1架，三个正整数和为9，所以不计顺序时，数量只能为1，2，6，